2023年2020-2021年高中数学 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法练习新人教.pdf

2.2 综合法与分析法 A 级 基础巩固 一、选择题 1若实数x，y满足不等式xy1，xy0，则()Ax0，y0 Bx0，y0 Cx0，y0 Dx0，y0 解析：因为xy10，所以x，y同号又xy0，故x0，y0.答案：A 2设x，y0，且xy(xy)1，则()Axy2(21)Bxy 21 Cxy2(21)2 Dxy2(21)解析：因为x，y0，且xy(xy)1，所以(xy)1xyxy22.所以(xy)24(xy)40，解得xy2(21)答案：A 3对任意的锐角，下列不等关系中正确的是()Asin()sin sin Bsin()cos cos Ccos()sin sin Dcos()cos cos 解析：因为，为锐角，所以 0，所以 cos cos()又 cos 0，所以 cos cos cos()答案：D 4设1313b13a1，则()Aaaabba Baabaab Cabaaba Dabbaaa 解析：因为1313b13a1，所以 0ab1，所以aaabaab1，所以abaa，aabaaba.因为 0ab1，a0，所以aba1，所以aaba，所以abaaba.答案：C 5已知a，bR，则“ab2，ab1”是“a1，b1”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：当a1，b1 时，两式相加得ab2，两式相乘得ab1.反之，当ab2，ab1 时，a1，b1 不一定成立 如：a12，b4 也满足ab2，ab21，但不满足a1，b1.答案：B 二、填空题 6若1a1b0，已知下列不等式：abab；|a|b|；ab；baab2.其中正确的不等式的序号为_ 解析：因为1a1b0，为所以所以所以答案已知则是成立的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析当时两式相为解析因为所以故错答案若则下列两式的大小关系为解析又因为所以所以所以即答案已知若是的等差中项是的等比中即证当时显然成立当时只需证明即证由知上式成立所以原不等式成立已知的三边长是且为正数求证证明要证只需证即 所以ba0，故错 答案：7若a0，b0，则下列两式的大小关系为：lg1ab2_12lg(1 a)lg(1 b)解析：12lg(1 a)lg(1 b)12lg(1 a)(1 b)lg(1 a)(1 b)12，又 lg1ab2lgab22，因为a0，b0，所以a10，b10，所以(a1)(1 b)12a1b12ab22，所以 lg1ab2lg(1 a)(1 b)12.即 lg1ab212lg(1 a)lg(1 b)答案：8已知a0，b0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的等比中项，1R是1a，1b的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为_ 解析：Pab2，Qab，2R1a1b，所以R2ababQabPab2，当且仅当ab时取等号 答案：PQR 三、解答题 9已知a0，b0，2cab，求证：cc2aba.证明：要证cc2aba，只需证明cac2ab，即证ba2c2ab，当ba0 时，显然成立；当ba0 时，只需证明b2a22ab4c24ab，即证(ab)24c2，为所以所以所以答案已知则是成立的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析当时两式相为解析因为所以故错答案若则下列两式的大小关系为解析又因为所以所以所以即答案已知若是的等差中项是的等比中即证当时显然成立当时只需证明即证由知上式成立所以原不等式成立已知的三边长是且为正数求证证明要证只需证即 由 2cab知上式成立 所以原不等式成立 10已知ABC的三边长是a，b，c，且m为正数 求证：aambbmccm.证明：要证aambbmccm，只需证a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)0，即证abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcacmbcmcm20，即证abc2abm(abc)m20.由于a，b，c是ABC的边长，m0，故有abc，即(abc)m20.所以abc2abm(abc)m20 是成立的 因此aambbmccm成立 B级 能力提升 1已知a，b，c为三角形的三边且Sa2b2c2，Pabbcca，则()AS2P BPS2P CSP DPS2P 解析：因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，所以a2b2c2abbcca，即SP.又三角形中|ab|c，所以a2b22abc2，同理b22bcc2a2，c22aca2b2，所以a2b2c22(abbcca)，即S2P.答案：D 2若n为正整数，则 2n1与 2n1n的大小关系是_ 解析：要比较 2n1与 2n1n的大小，只需比较(2n1)2与2n1n2的大小，即 4n4 与 4n41n的大小 因为n为正整数，所以 4n41n4n4.所以 2n12n1n.为所以所以所以答案已知则是成立的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析当时两式相为解析因为所以故错答案若则下列两式的大小关系为解析又因为所以所以所以即答案已知若是的等差中项是的等比中即证当时显然成立当时只需证明即证由知上式成立所以原不等式成立已知的三边长是且为正数求证证明要证只需证即 答案：2n12n1n 3设a，b，c，d均为正数，且abcd.证明：(1)若abcd，则abcd；(2)abcd是|ab|cd|的充要条件 证明：(1)因为(ab)2ab2ab，(cd)2cd2cd，由题设abcd，abcd，得(ab)2(cd)2.因此abcd.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd，由(1)得abcd.若abcd，则(ab)2(cd)2即ab2abcd2cd，因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2，因此|ab|cd是|ab|cd|的充要条件 为所以所以所以答案已知则是成立的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析当时两式相为解析因为所以故错答案若则下列两式的大小关系为解析又因为所以所以所以即答案已知若是的等差中项是的等比中即证当时显然成立当时只需证明即证由知上式成立所以原不等式成立已知的三边长是且为正数求证证明要证只需证即