2023年2020-2021年高中数学 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法练习新人教.pdf

2.3 反证法与放缩法 A级 基础巩固 一、选择题 1用反证法证明命题“如果ab，那么3a3b”时，假设的内容是()A.3a3b B.3a3b C.3a3b，且3a3b D.3a3b或3a3b 解析：应假设3a3b，即3a3b或3a3b.答案：D 2用反证法证明命题“a，b，c全为 0”时，其假设为()Aa，b，c，全不为 0 Ba，b，c至少有一个为 0 Ca，b，c至少有一个不为 0 Da，b，c至多有一个不为 0 解析：“a，b，c全为 0”的否定是“a，b，c至少有一个不为 0”答案：C 3对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立 其中判断正确的命题个数是()A0 B1 C2 D3 解析：对于，若(ab)2(bc)2(ca)20，则abc，与已知矛盾，故对；对于，当ab与ab及ac都不成立时，有abc，不符合题意，故对；对于，显然不正确 答案：C 4设x，y，z都是正实数，ax1y，by1z，cz1x，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于 2 B 都小于 2 C至少有一个不小于 2 D 都大于 2 解析：因为abcx1xy1yz1z2226，当且仅当xyz1 时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于 2.答案：C 5若a，b，cR，且abc1，设M82727a，N(ac)(ab)，则()AMN BMN CMN DMN 解析：依题设，1a，1b，1c均大于 0，又abc1，所以3（1a）（1b）（1c）13(1 a)(1 b)(1 c)23，所以(1 a)(1 b)(1 c)827，从而82727a(1 b)(1 c)(ac)(ab)，所以MN，当且仅当abc13时，等号成立 答案：A 二、填空题 6用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为 180相矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_ 解析：由反证法证明的步骤知，先假设即，再推出矛盾即，最后做出判断，肯定结论即，即顺序应为.答案：7lg 9 lg 11与 1 的大小关系是_ 答案对是不全相等的正数给出下列判断与及中至少有一个成立不能同时成立其中判断正确的命题个数是解析对于若则不大于都小于至少有一个不小于都大于解析因为当且仅当时等号成立所以三者中至少有一个不小于答案若且设则解析直角的过程归纳为以下三个步骤这与三角形内角和为相矛盾则不成立所以一个三角形中不能有两个直角假设中有两个 解析：因为 lg 9 lg 11 lg 9 lg 112lg 992lg 10021，所以 lg 9 lg 11 1.答案：lg 9 lg 11 1 8设M1210121011210212111，则M与 1 的大小关系为_ 解析：因为 2101210，2102210，2111210，所以 M12101210112102 答案：M1 三、解答题 9已知x，y0，且xy2.求证：1xy，1yx中至少有一个小于 2.证明：(反证法)设1xy2，1yx2，则1x2y，1y2x.由式可得 2xy2(xy)，即xy2，与题设矛盾 所以1xy，1yx中至少有一个小于 2.10已知nN*，求证：12 23n（n1）（n1）22.证明：由基本不等式，得n（n1）nn122n12，所以1223n（n1）32522n1235（2n1）2n（n2）2n22n2（n1）22，故原不等式成立 B级 能力提升 1(2018浙江卷)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1a2a3a4ln(a1a2a3)，若a11，则()Aa1a3，a2a3，a2a4 Ca1a4 Da1a3，a2a4 答案对是不全相等的正数给出下列判断与及中至少有一个成立不能同时成立其中判断正确的命题个数是解析对于若则不大于都小于至少有一个不小于都大于解析因为当且仅当时等号成立所以三者中至少有一个不小于答案若且设则解析直角的过程归纳为以下三个步骤这与三角形内角和为相矛盾则不成立所以一个三角形中不能有两个直角假设中有两个 解析：构造不等式 ln xx1，则a1a2a3a4ln(a1a2a3)a1a2a31，所以a4a1q31.由a11，得q1，所以 ln(a1a2a3)0，矛盾 因此1q0，a2a4a1q(1 q2)a3，a2a4.答案：B 2设x，y，z，t满足 1xyzt100，则xyzt的最小值为_ 解析：因为xy1y1z，且ztz100，所以xyzt1zz1002 1zz10015，当且仅当x1，yz10，t100 时，等号成立 答案：15 3已知数列an满足a12，an1211n2an(nN*)，(1)求a2，a3并求数列an的通项公式；(2)设cnnan，求证：c1c2c3cn710.(1)解：因为a12，an1211n2an(nN*)，所以a221112a116，a321122a272.又因为an1（n1）22ann2，nN*，所以ann2为等比数列，所以ann2a1122n12n，所以ann22n.答案对是不全相等的正数给出下列判断与及中至少有一个成立不能同时成立其中判断正确的命题个数是解析对于若则不大于都小于至少有一个不小于都大于解析因为当且仅当时等号成立所以三者中至少有一个不小于答案若且设则解析直角的过程归纳为以下三个步骤这与三角形内角和为相矛盾则不成立所以一个三角形中不能有两个直角假设中有两个(2)证明：cnnan1n2n，所以c1c2c3cn 112122213231n2n 12181241412412512n 2314124112n3112 2314124112 231326796 6709609679610710，所以不等式得证 答案对是不全相等的正数给出下列判断与及中至少有一个成立不能同时成立其中判断正确的命题个数是解析对于若则不大于都小于至少有一个不小于都大于解析因为当且仅当时等号成立所以三者中至少有一个不小于答案若且设则解析直角的过程归纳为以下三个步骤这与三角形内角和为相矛盾则不成立所以一个三角形中不能有两个直角假设中有两个