2023年2020-2021年高中数学 数列 2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念与通项公式练习新人教.pdf

第 1 课时 等差数列的概念与通项公式 A级 基础巩固 一、选择题 1有穷等差数列 5，8，11，3n 11(n N*)的项数是()A n B 3n 11 C n 4 D n 3 解析：在 3n 11 中令 n 1，结果为 14，它是这个数列的第 4 项，前面还有 5，8，11三项，故这个数列的项数为 n 3.答案：D 2若 an 是等差数列，则由下列关系确定的数列 bn 也一定是等差数列的是()A bn a2n B bn an n2 C bn an an 1 D bn nan 解析：an 是等差数列，设 an 1 an d，则数列 bn an an 1满足：bn 1 bn(an 1 an 2)(an an 1)an 2 an 2d.答案：C 3在等差数列 an 中，a2 2，a3 4，则 a10()A 12 B 14 C 16 D 18 解析：设 an 的公差为 d，因为 d a3 a2 2，所以 a1 a2 d 0，所以 an 0 2(n 1)2(n 1)，所以 a10 2(10 1)18.答案：D 4 2 018 是等差数列 4，6，8，的()A 第 1 005 项 B第 1 006 项 C第 1 007 项 D 第 1 008 项 解析：由题易知通项 an 4(n 1)2 2n 2，令 2 018 2n 2，所以 n 1 008.答案：D 5若 lg 2，lg(2x 1)，lg(2x 3)成等差数列，则 x 的值等于()A 0 B log25 C 32 D 0 或 32 解析：依题意得 2lg(2x 1)lg 2 lg(2x 3)，所以(2x 1)2 2(2x 3)，所以(2x)242x 5 0，所以(2x 5)(2x 1)0，所以 2x 5 或 2x 1(舍)，所以 x log2 5.答案：B 二、填空题 6已知 a，b，c 成等差数列，那么二次函数 y ax2 2bx c(a 0)的图象与 x 轴的交点有 _个 解析：因为 a，b，c 成等差数列，所以 2b a c，又因为 4b2 4ac(a c)2 4ac(a c)2 0，所以二次函数的图象与 x 轴的交点有 1 或 2 个 答案：1 或 2 7已知1an是等差数列，且 a4 6，a6 4，则 a10 _ 解析：设公差为 d，因为1a61a41416112 2d，所以 d124.同理，1a101a6 4d 412416，所以 a10125.答案：125 8数列 an 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，数列 bn 是首项为 2，公差为 4 的等差数列若 an bn，则 n 的值为 _ 解析：an 2(n 1)3 3n 1，bn 2(n 1)4 4n 6，令 an bn，得 3n 1 4n 6，所以 n 5.答案：5 三、解答题 9等差数列 an 中，a3 a4 4，a5 a7 6.(1)求 an 的通项公式；(2)设 bn an，求数列 bn 的前 10 项和，其中 x 表示不超过 x 的最大整数，如 0.9 0，2.6 2.差数列设则数列满足答案在等差数列中则解析设的公差为因为所以所以所以答案是等差数列的第项第项第项第项解析 成等差数列那么二次函数的图象与轴的交点有个解析因为成等差数列所以又因为所以二次函数的图象与轴的交点有或 公差为的等差数列若则的值为解析令得所以答案三解答题等差数列中求的通项公式设求数列的前项和其中表示不超过 解：(1)设数列 an 的公差为 d，由题意有 2a1 5d 4，a1 5d 3.解得 a1 1，d25.所以 an 的通项公式为 an2n 35.(2)由(1)知，bn2n 35.当 n 1，2，3 时，12n 35 2，bn 1；当 n 4，5 时，22n 35 3，bn 2；当 n 6，7，8 时，32n 35 4，bn 3；当 n 9，10 时，42n 35 5，bn 4.所以数列 bn 的前 10 项和为 1 3 2 2 3 3 4 2 24.10已知数列 an 满足 an 11 an3 an(n N*)，且 a1 0.(1)求 a2，a3的值(2)是否存在一个实数，使得数列1an 为等差数列？请说明理由 解：(1)a213，a312.(2)存在 理由：假设存在一个实数，使得数列1an 为等差数列，则1a1，1a2，1a3 成等差数列，所以2a2 1a1 1a3，所以213 10 112，解得 1.因为1an 1 11an 111 an3 an 11an 13 an2（an 1）1an 11 an2（an 1）12，又1a1 1 1，所以存在一个实数 1，使得数列1an 是首项为 1，公差为12的等差数列 B 级 能力提升 1 设数列 an，bn 都是等差数列，且 a1 25，b1 75，a2 b2 100，则 a37 b37等于()A 0 B 37 C 100 D 37 解析：设 an，bn 的公差分别为 d1，d2，则(an 1 bn 1)(an bn)(an 1 an)(bn 1 bn)d1 d2，所以 an bn 为等差数列，差数列设则数列满足答案在等差数列中则解析设的公差为因为所以所以所以答案是等差数列的第项第项第项第项解析 成等差数列那么二次函数的图象与轴的交点有个解析因为成等差数列所以又因为所以二次函数的图象与轴的交点有或 公差为的等差数列若则的值为解析令得所以答案三解答题等差数列中求的通项公式设求数列的前项和其中表示不超过 又 a1 b1 a2 b2 100，所以 an bn 为常数列，所以 a37 b37 100.答案：C 2在数列 an 中，a1 3，且对于任意大于 1 的正整数 n，点(an，an 1)都在直线 x y 3 0 上，则 an _ 解析：由题意得 an an 1 3，所以数列 an 是首项为 3，公差为 3的等差数列，所以 an 3n，an 3n2.答案：3n2 3已知数列 an 满足 a1 4，an 1 44an，其中 n N*.设 bn1an 2.(1)求证：数列 bn 是等差数列；(2)求数列 an 的通项公式(1)证明：因为 bn 11an 1 2144an 2an2an 4，所以 bn 1 bnan2（an 2）1an 2an 22（an 2）12，b11a1 212，所以数列 bn 是首项为12，公差为12的等差数列(2)由(1)知1an 2构成以1a1 212为首项，d12为公差的等差数列，所以1an 212(n1)12n2，所以 an 22n，所以数列 an 的通项公式为 an 22n(n N*)差数列设则数列满足答案在等差数列中则解析设的公差为因为所以所以所以答案是等差数列的第项第项第项第项解析 成等差数列那么二次函数的图象与轴的交点有个解析因为成等差数列所以又因为所以二次函数的图象与轴的交点有或 公差为的等差数列若则的值为解析令得所以答案三解答题等差数列中求的通项公式设求数列的前项和其中表示不超过