最新全国高等教育自学考试工程数学1月——2011年试卷02198.pdf

全 国 高 等 教 育 自 学 考 试 工 程 数 学(线 性 代 数)2 0 0 6 年 1 月 2 0 1 1 年 试 卷 0 2 1 9 8 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2011 年 10 月全国自考工程数学线性代数模拟试卷（一）一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的 四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设 A 是 l k 矩阵,B 是 m n 矩阵，如果乘积 TAC B 有意义，则 C 应是（）A.n k 矩阵 B.m k 矩阵 C.m l 矩阵 D.l m 矩阵 答案：D 2.若行列式 aa则,0 25532211（）A.2 B.3 C.2 D.3 答案：B 3.设 A 为 n 阶方阵，那么有（）A.112 2 A A B.11122 A A C.111det 2 det2 A A D.1det 2 2det A A 答案：B 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 4.设 1 2 m,均为 n 维向量，则下列结论中正确的是（）A.若对任一组不全为零的数 mk k k,2 1,都有 1 1 2 20m mk k k，则 1 2 m,线性无关 B.若 1 2 m,线性相关，则对任意一组不全为零的数 mk k k,2 1，都 有 1 1 2 20m mk k k C.若 1 1 2 20m mk k k，则 1 2 m,线性相关 D.若向量组 1 2 m,3 m 中任意两个向量都不成比例，则 1 2 m,线 性无关 答案：A 5.设向量组 1 2 3,线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）A.1 2 2 3 3 1,B.1 3 2 3 1 3,2,3 C.1 2 3 1 2 3 1 2 32,2 3,3 4 D.1 1 2 3 1 2 3,2,2 3 6 答案：B 由于 1 3 2 3 1 32 3 1 2 3 1 0 10 1 01 2 3，且矩阵1 0 10 1 01 2 3 为满秩矩阵，故1 3 2 3 1 3,2,3 线性无关.6.设 n元齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系为1 2 3 4,，则下列向量组中为 Ax 0 的基础解系的是（）A.1 2 2 3 3 4 4 1,求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 B.1 2 2 3 3 4 4 1,C.1 1 2 1 2 3 1 2 3 4,D.1 2 2 3 3 4 4 1,答案：C.7.设 3 阶方阵 A 有一个特征值为 2，则 2A 必有一个特征值为（）A.8 B.4 C.4 D.8 答案：C.8.二次型 2 12221 2 16 5 2,x x x x x x f 的规范型是（）A.2221y y B.22y C.2221y y D.2221y y 答案：C f的矩阵 2 33 5 A，易用顺序主子式判定 f正定，故 f的 规范型中的 两个系数都为 1，于是只有选项 C 正确.9.设 A 为 n 2 n 阶矩阵，且 2 A E，则必有（）A.A 的行列式等于 1 B.A 的逆矩阵等于 E C.A 的秩等于 n D.A 的特征值均为 1 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 答案：C 10.已知矩阵 A 与对角矩阵 1 0 00 1 00 0 1 D 相似，则 2 A（）A.A B.D C.E D.E 答案：C 由于 A 与对角矩阵相似，从而存在可逆阵 P，使 1 D P AP，12 1 1 2 1.A PDPA PDP PDP PD P E，二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.若4 5 06 7 00 0 8 A，则1 A.答案：810002250327 12.若方程组 0 2003 2 13 2 13 2 1x x xx kx xx x kx有非零解，则常数 k.答案：4 1 或 13.设 1 2 32,3,5,3,7,8,1,6,1,则1 2 33.答案：2,28,10 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 14.已知 0 为矩阵 0 2 22 2 22 2 2 A 的 2 重特征值，则 A 的另一个特征值 为.答案：4 解析：因为 22 2 2 22 2 2 0 4 02 2 2 2 2 2 E A，故 1 2 30,4.15.齐次线性方程组12341 2 3 0 01 1 1 1 0 xxxx 的基础解系中所含向量个数为.答案：2 16.设矩阵4 3,A O 但,AB O 其中1 21 31 4 B 则矩阵 A 的秩 r A.答案：1 解析：因,AB O 所以 B 的两个列向量都是齐次线性方程组 Ax 0 的解，而 B的两个列向量是线性无关的，故 Ax 0 的基础解系中至少含 2 个向量，而基础解系中所含向量个数为 3,n r r A A 所以 3 2,r A 即 1,r A 另外4 3 A O 1,r A 故 1.r A 17.设 2 阶矩阵2 02 3 A，则 A A.答案：6 E 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 18.设 1 2,1 0 A 则 22 A A E.答案：2 21 1 19.若矩阵 1 1 01 2 20 2 5 A，则二次型 T x Ax.答案：2 2 21 2 3 1 2 2 32 5 2 4 x x x x x x x 20.已知 2 阶方阵 A 的特征值为1 22,3,则 2det A.答案：36 解析：由特征值的性质知2A 的全部特征值为 4，9，故 2det A 4 9 36.三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21.计算行列式1 0 1 22 1 3 1.0 1 0 11 3 4 2D 解：1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 20 1 1 5 0 1 1 5 0 1 1 5310 1 0 1 0 0 1 6 0 0 1 60 3 5 4 0 0 2 19 0 0 0 31D.22.已知矩阵1 1 1 1,1 0 0 2 A B 矩阵 X 满足,AX B X 求 X.解：由 AX B X E A X B 1 X E A B，即 X12 1 1 1 1 1 1 111 1 0 2 1 2 0 2 3 1 31.1 3 3 23.设向量组 1 2 31,1,1,1,2,3,4,5,t，问 t 取何值时，该向量组线性相关？何时线性无关？并在线性相关时把3 表示成1 2,的线性组合.求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 解：由 1 2 31 1 4 1 1 4 1 1 41 2 5 0 1 1 0 1 11 3 0 1 5 0 0 6T T Tt t t A，知 1 2 3,线性相关（线性无关）6 6.t t 当 6 t 时，由1 0 30 1 1,0 0 0 A 得3 1 23.24.设二次型 3 2 1 3 2 1232221 3 2 12 2 2,x x x x x x ax ax ax x x x f，确定常数 a 的最大取值范围使该二次型正定.解：二次型 f 对应的矩阵 A的特征值为 1,1,2 a a a.当1 02 0aa 时，即1 a 时，二次型 f 正定.25.对矩阵5 0 00 1 30 3 1 A，求一个正交矩阵 P，使1 T P AP P AP 为对角矩阵.解：由 5 0 0det 0 1 3 5 4 2 00 3 1 E A，得 A 的特征值1 2 35,4,2.由 5 E A0 0 0 0 1 00 4 3 0 0 10 3 4 0 0 0，得属于15 的特征向量 11,0,0T e；同理可得属于2 34,2 的特征向量分别为 20,1,1,T 30,1,1T，其单位特征向量分别为 210,1,12T e，310,1,12T e.求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 故所求正交矩阵可取为 1 2 31 0 01 102 21 102 2 P e e e，它使 1 T P AP P AP5 0 00 4 00 0 2.26.求方程组1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 52 02 03 3 3 3 4 04 5 5 5 7 0 x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x 的基础解系和通解.解：对系数矩阵 A 作初等行变换：2 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 2 2 1 1 1 13 3 3 3 4 3 3 3 3 44 5 5 5 7 4 5 5 5 7 1 1 1 1 20 3 3 3 50 6 6 6 100 9 9 9 15 11 1 1 1 2 1 0 0 01 1 1 1 2350 3 3 3 5 5 0 1 1 10 1 1 1330 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0，由此知方程组的用自由未知量表示的通解为：1 52 3 4 51353x xx x x x 任意5 4 3,x x x，取4 5 30,1 x x x，得 10,1,1,0,0T，取3 5 40,1 x x x，得 20,1,0,1,0T，取3 4 50,3 x x x，得 31,5,0,0,3T，求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 故方程组的通解为 1 1 2 2 3 3k k k x.四、证明题（本题 6 分）27.设1 2 3,均为 n 维向量，已知1 可由2 3,线性表示，但3 不能由1 2,线性表示.证明：1 可由2 线性表示.证明：由条件知存在常数,s t（,s t 不全为零）使得1 2 3,s t 因3 不能由1 2,线性表示，故上式中的 t 必为零（否则 0 t，则有3 1 2 3 1 21,st st t 这与3 不能由1 2,线性表示矛 2011 年 10 月全国自考工程数学线性代数模拟试卷（一）一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设 A 是 l k 矩阵,B 是m n 矩阵，如果乘积TAC B 有意义，则 C应是（）A.n k 矩阵 B.m k 矩阵 C.m l 矩阵 D.l m 矩阵 答案：D 2.若行列式 aa则,0 25532211（）A.2 B.3 C.2 D.3 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 答案：B 3.设 A 为 n 阶方阵，那么有（）A.112 2 A A B.11122 A A C.111det 2 det2 A A D.1det 2 2det A A 答案：B 4.设1 2 m,均为 n 维向量，则下列结论中正确的是（）A.若对任一组不全为零的数mk k k,2 1,都有1 1 2 20m mk k k，则1 2 m,线性无关 B.若1 2 m,线性相关，则对任意一组不全为零的数mk k k,2 1，都 有1 1 2 20m mk k k C.若1 1 2 20m mk k k，则1 2 m,线性相关 D.若向量组1 2 m,3 m 中任意两个向量都不成比例，则1 2 m,线 性无关 答案：A 5.设向量组1 2 3,线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）A.1 2 2 3 3 1,B.1 3 2 3 1 3,2,3 C.1 2 3 1 2 3 1 2 32,2 3,3 4 D.1 1 2 3 1 2 3,2,2 3 6 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 答案：B 由于 1 3 2 3 1 32 3 1 2 3 1 0 10 1 01 2 3，且 矩阵 1 0 10 1 01 2 3 为满秩矩阵，故 1 3 2 3 1 3,2,3 线性无关.6.设 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系为1 2 3 4,，则下列向量组中为 Ax 0 的基础解系的是（）A.1 2 2 3 3 4 4 1,B.1 2 2 3 3 4 4 1,C.1 1 2 1 2 3 1 2 3 4,D.1 2 2 3 3 4 4 1,答案：C.7.设 3阶方阵 A有一个特征值为 2，则2A 必有一个特征值为（）A.8 B.4 C.4 D.8 答案：C.8.二次型 2 12221 2 16 5 2,x x x x x x f 的规范型是（）A.2221y y B.22y C.2221y y D.2221y y 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 答案：C f的矩阵 2 33 5 A，易用顺序主子式判定 f正定，故 f的 规范型中的 两个系数都为 1，于是只有选项 C 正确.9.设 A 为 n 2 n 阶矩阵，且 2 A E，则必有（）A.A 的行列式等于 1 B.A 的逆矩阵等于 E C.A 的秩等于 n D.A 的特征值均为 1 答案：C 10.已知矩阵 A 与对角矩阵 1 0 00 1 00 0 1 D 相似，则 2 A（）A.A B.D C.E D.E 答案：C 由于 A 与对角矩阵相似，从而存在可逆阵 P，使 1 D P AP，12 1 1 2 1.A PDPA PDP PDP PD P E，二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.若4 5 06 7 00 0 8 A，则1 A.求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 答案：810002250327 12.若方程组 0 2003 2 13 2 13 2 1x x xx kx xx x kx有非零解，则常数 k.答案：4 1 或 13.设 1 2 32,3,5,3,7,8,1,6,1,则1 2 33.答案：2,28,10 14.已知 0 为矩阵0 2 22 2 22 2 2 A 的 2 重特征值，则 A 的另一个特征值为.答案：4 解析：因为 22 2 2 22 2 2 0 4 02 2 2 2 2 2 E A，故1 2 30,4.15.齐次线性方程组12341 2 3 0 01 1 1 1 0 xxxx 的基础解系中所含向量个数为.答案：2 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 16.设矩阵 4 3,A O 但,AB O 其中1 21 31 4 B 则矩阵 A 的秩 r A.答案：1 解析：因,AB O 所以 B 的两个列向量都是齐次线性方程组 Ax 0 的解，而 B的两个列向量是线性无关的，故 Ax 0 的基础解系中至少含 2 个向量，而基础解系中所含向量个数为 3,n r r A A 所以 3 2,r A 即 1,r A 另外4 3 A O 1,r A 故 1.r A 17.设 2 阶矩阵2 02 3 A，则 A A.答案：6 E 18.设1 2,1 0 A 则22 A A E.答案：2 21 1 19.若矩阵1 1 01 2 20 2 5 A，则二次型T x Ax.答案：2 2 21 2 3 1 2 2 32 5 2 4 x x x x x x x 20.已知 2 阶方阵 A 的特征值为1 22,3,则 2det A.答案：36 解析：由特征值的性质知2A 的全部特征值为 4，9，故 2det A 4 9 36.三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21.计算行列式1 0 1 22 1 3 1.0 1 0 11 3 4 2D 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 解：1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 20 1 1 5 0 1 1 5 0 1 1 5310 1 0 1 0 0 1 6 0 0 1 60 3 5 4 0 0 2 19 0 0 0 31D.22.已知矩阵1 1 1 1,1 0 0 2 A B 矩阵 X 满足,AX B X 求 X.解：由 AX B X E A X B 1 X E A B，即 X12 1 1 1 1 1 1 111 1 0 2 1 2 0 2 3 1 31.1 3 3 23.设向量组 1 2 31,1,1,1,2,3,4,5,t，问 t 取何值时，该向量组线性相关？何时线性无关？并在线性相关时把3 表示成1 2,的线性组合.解：由1 2 31 1 4 1 1 4 1 1 41 2 5 0 1 1 0 1 11 3 0 1 5 0 0 6T T Tt t t A，知1 2 3,线性相关（线性无关）6 6.t t 当 6 t 时，由1 0 30 1 1,0 0 0 A 得3 1 23.24.设二次型 3 2 1 3 2 1232221 3 2 12 2 2,x x x x x x ax ax ax x x x f，确定常数 a 的最大取值范围使该二次型正定.解：二次型 f 对应的矩阵 A的特征值为 1,1,2 a a a.当1 02 0aa 时，即1 a 时，二次型 f 正定.25.对矩阵5 0 00 1 30 3 1 A，求一个正交矩阵 P，使1 T P AP P AP 为对角矩阵.求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 解：由 5 0 0det 0 1 3 5 4 2 00 3 1 E A，得 A 的特征值1 2 35,4,2.由 5 E A0 0 0 0 1 00 4 3 0 0 10 3 4 0 0 0，得属于15 的特征向量 11,0,0T e；同理可得属于2 34,2 的特征向量分别为 20,1,1,T 30,1,1T，其单位特征向量分别为 210,1,12T e，310,1,12T e.故所求正交矩阵可取为 1 2 31 0 01 102 21 102 2 P e e e，它使1 T P AP P AP5 0 00 4 00 0 2.26.求方程组1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 52 02 03 3 3 3 4 04 5 5 5 7 0 x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x 的基础解系和通解.解：对系数矩阵 A 作初等行变换：2 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 2 2 1 1 1 13 3 3 3 4 3 3 3 3 44 5 5 5 7 4 5 5 5 7 1 1 1 1 20 3 3 3 50 6 6 6 100 9 9 9 15 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 11 1 1 1 2 1 0 0 01 1 1 1 2350 3 3 3 5 5 0 1 1 10 1 1 1330 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0，由此知方程组的用自由未知量表示的通解为：1 52 3 4 51353x xx x x x 任意5 4 3,x x x，取4 5 30,1 x x x，得 10,1,1,0,0T，取3 5 40,1 x x x，得 20,1,0,1,0T，取3 4 50,3 x x x，得 31,5,0,0,3T，故方程组的通解为1 1 2 2 3 3k k k x.四、证明题（本题 6 分）27.设1 2 3,均为 n 维向量，已知1 可由2 3,线性表示，但3 不能由1 2,线性表示.证明：1 可由2 线性表示.证明：由条件知存在常数,s t（,s t 不全为零）使得1 2 3,s t 因3 不能由1 2,线性表示，故上式中的 t 必为零（否则 0 t，则有3 1 2 3 1 21,st st t 这与3 不能由1 2,线性表示矛盾），于是得1 2s 盾），于是得1 2s 2011 年 10 月全国自考工程数学线性代数模拟试卷（一）一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 1.设 A 是 l k 矩阵,B 是 m n 矩阵，如果乘积 TAC B 有意义，则 C 应是（）A.n k 矩阵 B.m k 矩阵 C.m l 矩阵 D.l m 矩阵 答案：D 2.若行列式 aa则,0 25532211（）A.2 B.3 C.2 D.3 答案：B 3.设 A 为 n 阶方阵，那么有（）A.112 2 A A B.11122 A A C.111det 2 det2 A A D.1det 2 2det A A 答案：B 4.设1 2 m,均为 n 维向量，则下列结论中正确的是（）A.若对任一组不全为零的数mk k k,2 1,都有1 1 2 20m mk k k，则1 2 m,线性无关 B.若1 2 m,线性相关，则对任意一组不全为零的数mk k k,2 1，都 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 有 1 1 2 20m mk k k C.若 1 1 2 20m mk k k，则 1 2 m,线性相关 D.若向量组 1 2 m,3 m 中任意两个向量都不成比例，则 1 2 m,线 性无关 答案：A 5.设向量组 1 2 3,线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）A.1 2 2 3 3 1,B.1 3 2 3 1 3,2,3 C.1 2 3 1 2 3 1 2 32,2 3,3 4 D.1 1 2 3 1 2 3,2,2 3 6 答案：B 由于 1 3 2 3 1 32 3 1 2 3 1 0 10 1 01 2 3，且矩阵1 0 10 1 01 2 3 为满秩矩阵，故1 3 2 3 1 3,2,3 线性无关.6.设 n元齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系为1 2 3 4,，则下列向量组中为 Ax 0 的基础解系的是（）A.1 2 2 3 3 4 4 1,B.1 2 2 3 3 4 4 1,C.1 1 2 1 2 3 1 2 3 4,D.1 2 2 3 3 4 4 1,答案：C.求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 7.设 3 阶方阵 A 有一个特征值为 2，则 2A 必有一个特征值为（）A.8 B.4 C.4 D.8 答案：C.8.二次型 2 12221 2 16 5 2,x x x x x x f 的规范型是（）A.2221y y B.22y C.2221y y D.2221y y 答案：C f的矩阵 2 33 5 A，易用顺序主子式判定 f正定，故f的规范型中的 两个系数都为 1，于是只有选项 C 正确.9.设 A 为 n 2 n 阶矩阵，且2 A E，则必有（）A.A 的行列式等于 1 B.A 的逆矩阵等于 E C.A 的秩等于 n D.A 的特征值均为 1 答案：C 10.已知矩阵 A 与对角矩阵1 0 00 1 00 0 1 D 相似，则2 A（）A.A 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 B.D C.E D.E 答案：C 由于 A 与对角矩阵相似，从而存在可逆阵 P，使 1 D P AP，12 1 1 2 1.A PDPA PDP PDP PD P E，二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.若4 5 06 7 00 0 8 A，则1 A.答案：810002250327 12.若方程组 0 2003 2 13 2 13 2 1x x xx kx xx x kx有非零解，则常数 k.答案：4 1 或 13.设 1 2 32,3,5,3,7,8,1,6,1,则1 2 33.答案：2,28,10 14.已知 0 为矩阵0 2 22 2 22 2 2 A 的 2 重特征值，则 A 的另一个特征值为.答案：4 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 解析：因为 22 2 2 22 2 2 0 4 02 2 2 2 2 2 E A，故 1 2 30,4.15.齐次线性方程组12341 2 3 0 01 1 1 1 0 xxxx 的基础解系中所含向量个数为.答案：2 16.设矩阵4 3,A O 但,AB O 其中1 21 31 4 B 则矩阵 A 的秩 r A.答案：1 解析：因,AB O 所以 B 的两个列向量都是齐次线性方程组 Ax 0 的解，而 B的两个列向量是线性无关的，故 Ax 0 的基础解系中至少含 2 个向量，而基础解系中所含向量个数为 3,n r r A A 所以 3 2,r A 即 1,r A 另外4 3 A O 1,r A 故 1.r A 17.设 2 阶矩阵2 02 3 A，则 A A.答案：6 E 18.设1 2,1 0 A 则22 A A E.答案：2 21 1 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 19.若矩阵 1 1 01 2 20 2 5 A，则二次型 T x Ax.答案：2 2 21 2 3 1 2 2 32 5 2 4 x x x x x x x 20.已知 2 阶方阵 A 的特征值为1 22,3,则 2det A.答案：36 解析：由特征值的性质知2A 的全部特征值为 4，9，故 2det A 4 9 36.三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21.计算行列式1 0 1 22 1 3 1.0 1 0 11 3 4 2D 解：1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 20 1 1 5 0 1 1 5 0 1 1 5310 1 0 1 0 0 1 6 0 0 1 60 3 5 4 0 0 2 19 0 0 0 31D.22.已知矩阵1 1 1 1,1 0 0 2 A B 矩阵 X 满足,AX B X 求 X.解：由 AX B X E A X B 1 X E A B，即 X12 1 1 1 1 1 1 111 1 0 2 1 2 0 2 3 1 31.1 3 3 23.设向量组 1 2 31,1,1,1,2,3,4,5,t，问 t 取何值时，该向量组线性相关？何时线性无关？并在线性相关时把3 表示成1 2,的线性组合.解：由1 2 31 1 4 1 1 4 1 1 41 2 5 0 1 1 0 1 11 3 0 1 5 0 0 6T T Tt t t A，知1 2 3,线性相关（线性无关）6 6.t t 求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无分设是矩阵是矩阵如果乘积有意义则应是矩阵矩阵矩阵矩阵 删除精品好资料如有侵权请联系网站删除设均为维向量则下列结论中正确的是若对任一组不全为零的数都有则线性无 设向量组线性无关则下列向量组中线性无关的是答案由于且矩阵为满秩矩阵故线性无关设元齐次线性方程组的一个基精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 当 6 t 时，由 1 0 30 1 1,0 0 0 A 得 3 1 23.24.设二次型 3 2 1 3 2 1232221 3 2 12 2 2,x x x x x x ax ax ax x x x f，确定常数 a 的最大取值范围使该二次型正定.解：二次型 f 对应的矩阵 A的特征值为 1,1,2 a a a.当1 02 0aa 时，即1 a 时，二次型 f