2023年2020-2021年高中数学 证明不等式的基本方法评估验收卷新人教.pdf

评估验收卷(二)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设ta2b，Sab21，则下列t与S的大小关系中正确的是()AtS BtS CtS DtS 解析：tSa2b(ab21)(b22b1)(b1)20.故应选 D.答案：D 2设a(m21)(n24)，b(mn2)2，则()Aab Bab Cab Dab 解析：因为ab(m21)(n24)(mn2)24m2n24mn(2mn)20，所以ab.答案：D 3已知a 6 7，b 5 8，c5，则a，b，c的大小关系排列为()Aabc Bacb Cbac Dcab 解析：由已知得a2672 42132 42；b2854 10132 40；c2251312132 36，因为 2 362 402 42.所以abc.答案：A 4已知a，bR，则使1a31b3成立的一个充分不必要条件是()Aab0 Bab(ab)0 Cba0 Dab 解析：1a31b31a1bab0 或ba0 或a0b，所以使1a31b3成立的一个充分不必要条件是ba0.答案：C 5已知xyz，且xyz1，则下列不等式中恒成立的是()Axyyz Bxzyz Cx|y|z|y|Dxyxz 解析：法一(特殊值法)令x2，y0，z1，可排除 A、B、C，故选 D.法二 3zxyz3x，所以x13z，由x0，yz，得xyxz.答案：D 6要使3a3b3ab成立，a，b应满足的条件是()Aab0 且ab Bab0 且ab Cab0 且ab Dab0 且ab或ab0 且ab 解析：3a3b3ab(3a3b)3ab33ab233a2b ab(ab)0.当ab0 时，ab；当ab0 时，ab.答案：D 7已知ba0，且ab1，那么()A2aba4b4abab2b B2abab2a4b4abb C.a4b4ab2abab2b D2abab2bQ BPQ CP0.所以PQ.答案：A 12已知a，b，c，dR且Saabcbbcdccdadabd，则下列判断中正确的是()A0S1 B1S2 C2S3 D3S4 解析：用放缩法，aabcdaabcaac；babcdbbcdbdb；cabcdccdacca；dabcdddabddb.以上四个不等式相加，得 1Sbc0，l1（ca）2b2，l2（bc）2a2，l3（ab）2c2，则l1l2，l2l3，l22，l23中最小的一个是_ 解析：利用赋值法比较，令a3，b2，c1，可得l1 20，l2 18，l3 26，则l1l2 360，l2l3 468，l22 324，l23 676，可知l22最小 答案：l22 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)设a，b，c，d均为正数，求证：a2b2c2d2（ac）2（bd）2.证明：欲证a2b2c2d2（ac）2（bd）2，只需证(a2b2c2d2)2(ac)2(bd)2，即证（a2b2）（c2d2）acbd，已知得因为所以答案已知则使成立的一个充分不必要条件是或或解析所以使成立的一个充分不必要条件是答案已知且或且解析当时当时答案已知且那么解析取特殊值法令则答案故选若是直角三角形的三边长是斜边上的高则有解析因为式成立时不等式不成立故应选答案已知则之间的大小关系是不能确定解析因为又即所以答案则设且解析因为都是正实 就是证(a2b2)(c2d2)(acbd)2，就是证b2c2a2d22abcd.也就是证(bcad)20.此式显然成立，故所证不等式成立 18(本小题满分 12 分)设|a|1，|b|1，求证：|ab|ab|2.证明：当ab与ab同号时，|ab|ab|abab|2|a|2；当ab与ab异号时，|ab|ab|ab(ab)|2|b|2.所以|ab|ab|2.19(本小题满分 12 分)若a，b，c均为正数，abc3，求证：abc3.证明：假设abc3，则(abc)29，即abc2ab2bc2ac9，因为abc3，所以abbcac3.又因为abab2，bcbc2，acac2，所以abbcacabc3(当且仅当abc1 时，等号成立)，这与abbcac3 矛盾 故abc3.20(本小题满分 12 分)已知An(n，an)为函数y1x21的图象上的点，Bn(n，bn)为函数y2x的图象上的点，设Cnanbn，其中nN*.(1)求证：数列Cn既不是等差数列，也不是等比数列(2)试比较Cn与Cn1的大小(1)证明：根据题意可知：ann21，bnn，Cnn21n.假设数列Cn为等差数列，则 2C2C1C3，即有 2(52)21 103，有 2 5 2 10，这与事实相矛盾，因而不是等差数列，假设数列Cn为等比数列，则应有(C2)2C1C3，即(52)2(21)(103)，这与事实相矛盾，所以Cn不是等比数列，由以上可知数列Cn既不是等差数列，也不是等比数列(2)解：因为Cnn21n0，Cn1（n1）21(n1)0，所以Cn1Cn（n1）21（n1）n21n n21n（n1）21（n1）.已知得因为所以答案已知则使成立的一个充分不必要条件是或或解析所以使成立的一个充分不必要条件是答案已知且或且解析当时当时答案已知且那么解析取特殊值法令则答案故选若是直角三角形的三边长是斜边上的高则有解析因为式成立时不等式不成立故应选答案已知则之间的大小关系是不能确定解析因为又即所以答案则设且解析因为都是正实 因为 0n21（n1）21，0nn1，所以n21n（n1）21n1，所以 0n21n（n1）21（n1）1，即Cn1Cn1，从而有Cn1Cn.21(本小题满分 12 分)已知x，yR，且|x|1，|y|1，求证：11x211y221xy.证明：因为|x|1，|y|1，所以11x20，11y20.所以11x211y22（1x2）（1y2）.故要证明结论成立，只需证2（1x2）（1y2）21xy成立，即证 1xy（1x2）（1y2）成立即可，因为(yx)20，有2xyx2y2，所以(1 xy)2(1 x2)(1 y2)，所以 1xy（1x2）（1y2）0，所以不等式成立 22(本小题满分 12 分)等差数列an各项均为正整数，a13，前n项和为Sn.等比数列bn中，b11，且b2S264，ban是公比为 64 的等比数列(1)求an与bn；(2)证明：1S11S21S31Sn34.(1)解：设an的公差为d(dN)，bn的公比为q，则an3(n1)d，bnqn1.依题意ban1banq3nd1q3（n1）d1qd64，S2b2（6d）q64.由知，q641d26d.由知，q为正有理数所以d为 6 的因子 1，2，3，6 中之一，因此由知d2，q8，故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)证明：Sn357(2n1)n(n2)，已知得因为所以答案已知则使成立的一个充分不必要条件是或或解析所以使成立的一个充分不必要条件是答案已知且或且解析当时当时答案已知且那么解析取特殊值法令则答案故选若是直角三角形的三边长是斜边上的高则有解析因为式成立时不等式不成立故应选答案已知则之间的大小关系是不能确定解析因为又即所以答案则设且解析因为都是正实 则1Sn1n（n2）121n1n2.所以1S11S21S31Sn 12113121413151n1n2 121121n11n2123234 已知得因为所以答案已知则使成立的一个充分不必要条件是或或解析所以使成立的一个充分不必要条件是答案已知且或且解析当时当时答案已知且那么解析取特殊值法令则答案故选若是直角三角形的三边长是斜边上的高则有解析因为式成立时不等式不成立故应选答案已知则之间的大小关系是不能确定解析因为又即所以答案则设且解析因为都是正实