2023年2020-2021年高中数学 相似三角形的判定及有关性质 1.4 直角三角形的射影定理练习新人教.pdf
四 直角三角形的射影定理 课时过关能力提升 基础巩固 1 如图,在矩形ABCD中,若AB=4,BC=6,则线段AC在AB上的射影长等于()A.4 B.6 C.2 D.2 13 解析BCAB,AC在AB上的射影是AB.答案 A 2 如图,在ABC中,ABAC,ADBC于点D,若BDDC=16,则AD等于()A.2 B.4 C.16 D.不确定 解析由题意知,AD2=BDDC=16,故AD=4.答案 B 3 在 RtMNP中,MNMP,MQPN于点Q,如图,若NQ=3,则MN等于()A.3PN B.13PN C.3 D.9PN 解析MNMP,MQPN,MN2=NQPN.又NQ=3,MN=3.答案 C 4 在 RtABC中,BAC=90,ADBC于点D,若=34,则等于()A.34 B.43 C.169 D.916 解析如图,由射影定理,得AC2=CDBC,AB2=BDBC,22=(34)2,即=916,=169.答案 C 5 如图,已知在 RtABP中,ABP=90,BCAP,垂足为点C,且AB=2 6,AC=4,则PB=.解析在 RtABP中,ABP=90,BCAP,AB2=ACAP,即(2 6)2=4AP,解得AP=6.在 RtABP中,由勾股定理,得 BP=2-2=62-(2 6)2=2 3.答案 2 3 6 已知PA是O的切线,切点为A,PA=2 cm,AC是O的直径,PC交O于点B,AB=3 cm,则ABC的面积为 cm2.解析如图,由于PA是O的切线,AC是O的直径,则PAAC,ABBC,则PB=2-2=1cm.又AB2=PBBC,图由射影定理得即答案如图已知在中垂足为点且则解析在中即解得在中由勾股定理得答案已知是的切线切点为是的直形的面积解析在中解得矩形的面积答案如图已知是的高垂足分别为点求证分析应用射影定理转化为证明证明在中有在为在中所以所以又因为在中在中所以所以又因为所以所以即所以所以如图已知线段求作线段使是和的比例中项并加以 所以(3)2=1BC,所以BC=3cm.所以ABC的面积为12ABBC=12 33=3 32(cm2).答案3 32 7 如图,在矩形ABCD中,DEAC于点E,若AE=1,EC=8,则矩形ABCD的面积S=.解析在 RtADC中,ADC=90,DEAC,DE2=AEEC=18=8,解得DE=2 2.AC=AE+EC=1+8=9.矩形ABCD的面积S=2SADC=21292 2=18 2.答案 18 2 8 如图,已知AD是ABC的高,DPAB,DQAC,垂足分别为点P,Q.求证:APAB=AQAC.分析应用射影定理转化为证明APAB=AD2,AQAC=AD2.证明DPAB,DQAC,ADBC,在 RtADB中,有AD2=APAB.在 RtADC中,有AD2=AQAC.APAB=AQAC.9 如图,已知 RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,DEAC于点E,DFBC于点F.求证:AEBFAB=CD3.分析分别在 RtABC,Rt ADC,Rt BDC中运用射影定理,再将线段进行代换,就可以实现等积式的证明.证明因为在 RtABC中,ACB=90,CDAB,所以CD2=ADBD,所以CD4=AD2BD2.图由射影定理得即答案如图已知在中垂足为点且则解析在中即解得在中由勾股定理得答案已知是的切线切点为是的直形的面积解析在中解得矩形的面积答案如图已知是的高垂足分别为点求证分析应用射影定理转化为证明证明在中有在为在中所以所以又因为在中在中所以所以又因为所以所以即所以所以如图已知线段求作线段使是和的比例中项并加以 又因为在 RtADC中,DEAC,在 RtBDC中,DFBC,所以AD2=AEAC,BD2=BFBC,所以CD4=AEBFACBC.又因为A=A,ACB=ADC=90,所以ABCACD.所以=,即ACBC=ABCD,所以CD4=AEBFABCD.所以AEBFAB=CD3.10 如图,已知线段a,b,求作线段c,使b是a和c的比例中项,并加以证明.作法如图.(1)作线段AB=a,过点B作AB的垂线l,在l上取一点C,使BC=b;(2)连接AC,过点C作AC的垂线l,l交AB的延长线于点D,则线段BD为所求作线段c.证明:ACCD,CBAD,CB2=ABBD.b2=ac,即线段c使得b是a和c的比例中项.能力提升 1 已知在 RtABC中,CD是斜边AB上的高,若AD=p,BD=q,则 tan A的值是()A.pq B.q C.pD.解析由射影定理得CD2=ADBD=pq,CD=.tanA=.答案 C 图由射影定理得即答案如图已知在中垂足为点且则解析在中即解得在中由勾股定理得答案已知是的切线切点为是的直形的面积解析在中解得矩形的面积答案如图已知是的高垂足分别为点求证分析应用射影定理转化为证明证明在中有在为在中所以所以又因为在中在中所以所以又因为所以所以即所以所以如图已知线段求作线段使是和的比例中项并加以 2 如图,在 RtMNP中,MNMP,MQPN于点Q,若MN=3,PN=9,则NQ等于()A.1 B.3 C.9 D.27 解析MN2=NQNP,32=9NQ.NQ=1.答案 A 3 如图,在ABC中,ACB=90,CDAB于点D,若AD=3,BD=2,则AC BC的值是()A.32 B.94 C.3 2 D.2 3 解析在 RtABC中,ACB=90,CDAB,由射影定理知,AC2=ADAB,BC2=BDAB.又AD=3,BD=2,AB=AD+BD=5,AC2=35=15,BC2=25=10.=15 10=3 2,即AC BC=3 2.答案 C 4 在 RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,若AD=4,sin ACD=45,则CD=,BC=.解析在 RtADC中,AD=4,sin ACD=45,由 sin ACD=,得AC=sin=445=5,由射影定理知,AC2=ADAB,即AB=2=254.BD=AB-AD=254-4=94.由射影定理知,CD2=ADBD=494=9,图由射影定理得即答案如图已知在中垂足为点且则解析在中即解得在中由勾股定理得答案已知是的切线切点为是的直形的面积解析在中解得矩形的面积答案如图已知是的高垂足分别为点求证分析应用射影定理转化为证明证明在中有在为在中所以所以又因为在中在中所以所以又因为所以所以即所以所以如图已知线段求作线段使是和的比例中项并加以 CD=3.由射影定理知,BC2=BDAB,BC=94254=154.答案 3 154 5 在 RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,若CD=6,AB=5,则AD=.解析ACB=90,CDAB,CD2=ADDB.CD=6,ADDB=6.又AB=5,DB=5-AD.AD(5-AD)=6,解得AD=2 或 3.答案 2 或 3 6 如图,四边形ABCD是正方形,E为AD上一点,且AE=14AD,N是AB的中点,NFCE于点F.求证:FN2=EFFC.证明如图,连接NE,NC.设正方形的边长为a.AE=14a,AN=12a,NE=216+24=54.BN=12a,BC=a,NC=24+2=52.DE=34a,DC=a,EC=9216+2=54.NE2=5216,NC2=524,EC2=25216.NE2+NC2=25216.NE2+NC2=EC2.图由射影定理得即答案如图已知在中垂足为点且则解析在中即解得在中由勾股定理得答案已知是的切线切点为是的直形的面积解析在中解得矩形的面积答案如图已知是的高垂足分别为点求证分析应用射影定理转化为证明证明在中有在为在中所以所以又因为在中在中所以所以又因为所以所以即所以所以如图已知线段求作线段使是和的比例中项并加以 ENNC,ENC是直角三角形.又NFEC,NF2=EFFC.7 如图,分别在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M,且=12,AH和BM相交于点P.求证:AP=9PH.证明在正方形ABCD中,=12,=13,=13.又ABH=C=90,ABHBCM,PBH=BAH.又BAH+BHA=90,PBH+BHP=90,即BPAH.在 RtABH中,设BH=k,则AB=3k,AH=10k.AB2=APAH,BH2=PHAH.22=(3)22.AP=9PH.8如图,在ABC中,D,F两点分别在AC,BC上,且ABAC,AFBC,BD=DC=FC=1.求AC的长.解在ABC中,设AC=x,ABAC,AFBC,又FC=1,根据射影定理,得AC2=FCBC,即BC=x2.再由射影定理,得AF2=BFFC=(BC-FC)FC,即AF2=x2-1.AF=2-1.图由射影定理得即答案如图已知在中垂足为点且则解析在中即解得在中由勾股定理得答案已知是的切线切点为是的直形的面积解析在中解得矩形的面积答案如图已知是的高垂足分别为点求证分析应用射影定理转化为证明证明在中有在为在中所以所以又因为在中在中所以所以又因为所以所以即所以所以如图已知线段求作线段使是和的比例中项并加以 在BDC中,过点D作DEBC于点E,如图,又BD=DC=1,BE=EC,又AFBC,DEAF,=.DE=2-1.在 RtDEC中,DE2+EC2=DC2,即(2-1)2+(22)2=12,2-12+44=1.整理得x6=4.x=23.AC=23.图由射影定理得即答案如图已知在中垂足为点且则解析在中即解得在中由勾股定理得答案已知是的切线切点为是的直形的面积解析在中解得矩形的面积答案如图已知是的高垂足分别为点求证分析应用射影定理转化为证明证明在中有在为在中所以所以又因为在中在中所以所以又因为所以所以即所以所以如图已知线段求作线段使是和的比例中项并加以
