2023年2020-2021年高中数学 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义练习新人教.pdf

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 A级 基础巩固 一、选择题 1下列各式计算正确的个数是()(7)6a42a；a2b2(ab)3a；ab(ab)0.A0 B1 C2 D3 解析：根据向量数乘的运算律可验证正确；错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数 答案：C 2如图，在ABC中，点D是边AB的中点，则向量DC()A.12BABC B.12BABC C12BABC D12BABC 解析：因为D是AB的中点，所以BD12BA，所以DCBCBDBC12BA.答案：D 3已知非零向量a，b，且ABa2b，BC5a6b，CD7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D 解析：因为ABa2b，BC5a6b，CD7a2b，所以ACABBC4a8b，BCCD2a4bBD2AB，所以A，B，D三点共线 答案：A 4设P是ABC所在平面内的一点，BCBA2BP，则()A.PAPB0 B.PCPA0 C.PBPC0 D.PAPBPC0 解析：如图，因为BCBA2BP，中点所以所以答案已知非零向量且则一定共线的三点是解析因为所以所以三点共线答案设是所在平面内的一点则解析条件可知所以所以答案二填空题若与的方向相反且则解析因为所以又方向相反所以答案设向量不平行向量与平行则实所以答案三解答题已知其中为已知向量求其中为已知向量求已知解原方程可化为即所以由得代入得所以即所以所以已 所以P是线段AC的中点，所以PAPC，即PCPA0.答案：B 5在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若ABa，ADb，则AF()A.13ab B.12ab Ca13b Da12b 解析：由已知条件可知BE3DE，所以DF13AB，所以AFADDFAD13AB13ab.答案：A 二、填空题 6若|a|5，b与a的方向相反，且|b|7，则a_b.解析：因为|a|5，|b|7，所以|a|b|57，又方向相反，所以a57b.答案：57 中点所以所以答案已知非零向量且则一定共线的三点是解析因为所以所以三点共线答案设是所在平面内的一点则解析条件可知所以所以答案二填空题若与的方向相反且则解析因为所以又方向相反所以答案设向量不平行向量与平行则实所以答案三解答题已知其中为已知向量求其中为已知向量求已知解原方程可化为即所以由得代入得所以即所以所以已 7设向量a，b不平行，向量 ab与a2b平行，则实数_ 解析：因为 ab与a2b平行，所以 abt(a2b)，即 abt a2t b，所以t，12t，解得12，t12.答案：12 8已知ABC和点M满足MAMBMC0，若存在实数m使得ABACmAM成立，则m的值为_ 解析：因为MAMBMC0，所以点M是ABC的重心，所以ABAC3AM，所以m3.答案：3 三、解答题 9(1)已知 3(xa)3(x2a)4(xab)0(其中a，b为已知向量)，求x；(2)已知3x4ya，2x3yb，其中a，b为已知向量，求x，y.解：(1)原方程可化为 3x3a3x6a4x4a4b0，即 2xa4b0，所以x2b12a.(2)3x4ya，2x3yb，由得y23x13b，代入，得 3x423x13ba，所以 3x83x43ba，即 17x4b3a，所以x417b317a，所以y23417b317a13b851b217a13b217a317b.10已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足ABe2f，BC4ef，CD5e3f.中点所以所以答案已知非零向量且则一定共线的三点是解析因为所以所以三点共线答案设是所在平面内的一点则解析条件可知所以所以答案二填空题若与的方向相反且则解析因为所以又方向相反所以答案设向量不平行向量与平行则实所以答案三解答题已知其中为已知向量求其中为已知向量求已知解原方程可化为即所以由得代入得所以即所以所以已(1)将AD用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形(1)解：根据向量的线性运算法则，有ADABBCCD(e2f)(4ef)(5e3f)(1 45)e(2 13)f8e2f.(2)证明：因为AD8e2f2(4ef)2BC，所以AD与BC同向，且AD的长度为BC长度的 2 倍，所以在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD是梯形 B级 能力提升 1如图，ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是()A.BG23BE B.CG2GF C.DG12AG D.13DA23FC12BC 解析：因为G是ABC的重心，所以BG23BE，CG2GF，DG12AG，所以BG23BE，CG2GF，DG12AG，中点所以所以答案已知非零向量且则一定共线的三点是解析因为所以所以三点共线答案设是所在平面内的一点则解析条件可知所以所以答案二填空题若与的方向相反且则解析因为所以又方向相反所以答案设向量不平行向量与平行则实所以答案三解答题已知其中为已知向量求其中为已知向量求已知解原方程可化为即所以由得代入得所以即所以所以已 所以13DA23FCDGGCDC12BC.所以 C不正确 答案：C 2若APtAB(tR)，O为平面上任意一点，则OP_(用OA，OB表示)解析：APtAB，OPOAt(OBOA)，OPOAtOBtOA(1 t)OAtOB.答案：(1 t)OAtOB 3设a，b是不共线的两个非零向量(1)若OA2ab，OB3ab，OCa3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若 8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)若OMma，ONnb，OP a b，其中m，n，均为实数，m0，n0，若M，P，N三点共线，求证：mn1.(1)证明：因为ABOBOA(3ab)(2ab)a2b，而BCOCOB(a3b)(3ab)(2a4b)2AB，所以AB与BC共线，且有公共点B，所以A，B，C三点共线(2)解：因为 8akb与ka2b共线，所以存在实数，使得 8akb(ka2b)，即(8 k)a(k2)b0.因为a与b不共线，所以8k0，k20，解得2，所以k24.(3)证明：因为M，P，N三点共线，O为直线外一点，所以存在实数x，y，使得OPxOMyON，且xy1.又因为OP a b，且a，b不共线，所以OPxmaynb a b，所以xm，yn，所以mnxy1.中点所以所以答案已知非零向量且则一定共线的三点是解析因为所以所以三点共线答案设是所在平面内的一点则解析条件可知所以所以答案二填空题若与的方向相反且则解析因为所以又方向相反所以答案设向量不平行向量与平行则实所以答案三解答题已知其中为已知向量求其中为已知向量求已知解原方程可化为即所以由得代入得所以即所以所以已 中点所以所以答案已知非零向量且则一定共线的三点是解析因为所以所以三点共线答案设是所在平面内的一点则解析条件可知所以所以答案二填空题若与的方向相反且则解析因为所以又方向相反所以答案设向量不平行向量与平行则实所以答案三解答题已知其中为已知向量求其中为已知向量求已知解原方程可化为即所以由得代入得所以即所以所以已