2023年2020-2021年高中数学 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理练习新人教.pdf

2.3.1 平面向量基本定理 A级 基础巩固 一、选择题 1 设 e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A e1 e2和 e1 e2 B 3e1 4e2和 6e1 8e2 C e1 2e2和 2e1 e2 D e1和 e1 e2 解析：B 中，因为 6e1 8e2 2(3 e1 4e2)，所以(6 e1 8e2)(3 e1 4e2)，所以 3e1 4e2和 6e1 8e2不能作为基底 答案：B 2在菱形 ABCD 中，A 3，则 AB与 AC的夹角为()A.6 B.3 C.56 D.23 解析：由题意知 AC平分 BAD，所以 AB与 AC的夹角为6.答案：A 3在 ABC 中，点 D在 BC边上，且 BD 2DC，设 AB a，AC b，则 AD可用基底 a，b 表示为()A.12(a b)B.23a13b C.13a23b D.13(a b)解析：因为 BD 2DC，所以 BD 23BC.所以 AD AB BD AB23BC AB23(AC AB)13AB23AC13a23b.答案：C 4如图，在 OAB 中，P 为线段 AB上一点，OP xOA yOB，且 BP 3PA，则()A x23，y13 B x13，y23 C x14，y34 D x34，y14 解析：由已知 BP 3PA，得 OP OB 3(OA OP)，整理，得 OP34OA14OB，故 x34，y14.答案：D 5(2018全国卷)在 ABC 中，AD 为 BC边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB()A.34AB14AC B.14AB34AC C.34AB14AC D.14AB34AC 答案：A 二、填空题 在边上且设则可用基底表示为解析因为所以所以答案如图在中为线段上一点且则解析由已知得整理得故答案全国卷在 则由已知得所以为等腰直角三角形所以所以与的夹角为答案如果其中为已知向量则解析由解得答案三解答题如图所示 在直角中因为所以故即所以如图所示中分别是的中点为的交点若试以为基底表示解如图所示连接延长交于点点是的重 6若 OP1 a，OP2 b，P1P PP2(1)，则 OP _ 解析：因为 OP OP1 P1P OP1 PP2 OP1(OP2 OP)OP1 OP2 OP，所以(1)OP OP1 OP2.所以 OP11 OP11 OP211 a1 b.答案：11 a1 b 7已知|a|1，|b|2，且 a b 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角为 _ 解析：如图，作向量 OA a，OB b，则 BA a b.由已知，得 OA 1，OB 2，OA AB，所以 OAB 为等腰直角三角形，所以 AOB 45，所以 a 与 b 的夹角为 45.答案：45 8 如果 3e1 4e2 a，2e1 3e2 b，其中 a，b 为已知向量，则 e1 _，e2 _ 解析：由a 3e1 4e2，b 2e1 3e2，解得e1 3a 4b，e2 3b 2a.答案：3a 4b 3b 2a 三、解答题 9如图所示，平面内有三个向量 OA，OB，OC，其中 OA与 OB的夹角为 120，OA与 OC的夹角为 30，且|OA|OB|1，|OC|2 3，若 OC OA OB(，R)求 的值 在边上且设则可用基底表示为解析因为所以所以答案如图在中为线段上一点且则解析由已知得整理得故答案全国卷在 则由已知得所以为等腰直角三角形所以所以与的夹角为答案如果其中为已知向量则解析由解得答案三解答题如图所示 在直角中因为所以故即所以如图所示中分别是的中点为的交点若试以为基底表示解如图所示连接延长交于点点是的重 解：如图所示，以 OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形 ODCE，则 OC OD OE.在直角 OCD 中，因为|OC|2 3，COD 30，OCD 90，所以|OD|4，|CD|2，故 OD 4OA，OE 2OB，即 4，2，所以 6.10如图所示，ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC的中点，G为 DE，BF的交点，若 AB a，AD b，试以 a，b 为基底表示 DE，BF，CG.在边上且设则可用基底表示为解析因为所以所以答案如图在中为线段上一点且则解析由已知得整理得故答案全国卷在 则由已知得所以为等腰直角三角形所以所以与的夹角为答案如果其中为已知向量则解析由解得答案三解答题如图所示 在直角中因为所以故即所以如图所示中分别是的中点为的交点若试以为基底表示解如图所示连接延长交于点点是的重 解：DE AE AD AB BE AD a 12b b a 12b.BF AF AB AD DF AB b12a a b12a.如图所示，连接 DB，延长 CG，交 BD于点 O，点 G是 CBD 的重心，故 CG CE EG12CB EG12CB13ED12b13a12b13a13b.B 级 能力提升 1如果 e1，e2是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()e1 e2(，R)可以表示平面 内的所有向量；对于平面 内任一向量 a，使 a e1 e2的实数对(，)有无穷多个；若向量 1e1 1e2与 2e1 2e2共线，则有且只有一个实数，使得 1e1 1e2(2e1 2e2)；若存在实数，使得 e1在边上且设则可用基底表示为解析因为所以所以答案如图在中为线段上一点且则解析由已知得整理得故答案全国卷在 则由已知得所以为等腰直角三角形所以所以与的夹角为答案如果其中为已知向量则解析由解得答案三解答题如图所示 在直角中因为所以故即所以如图所示中分别是的中点为的交点若试以为基底表示解如图所示连接延长交于点点是的重 e2 0，则 0.A B C D 解析：由平面向量基本定理可知，是正确的；对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于，当两向量的系数均为零，即 1 2 1 2 0 时，这样的 有无数个 答案：B 2如图，向量 BP14BA，若 OP xOA yOB，则 x y _ 解析：因为 OP OB BP OB14BA OB14(BO OA)14OA34OB，所以 x14，y34.所以x y12.答案：12 3设 e1，e2是不共线的非零向量，且 a e1 2e2，b e1 3e2.(1)证明：a，b 可以作为一组基底；(2)以 a，b 为基底，求向量 c 3e1 e2的分解式；(3)若 4e1 3e2 a b，求，的值(1)证明：若 a，b 共线，则存在 R，使 a b，则 e1 2e2(e1 3e2)由 e1，e2不共线得，1，3 2，1，23.在边上且设则可用基底表示为解析因为所以所以答案如图在中为线段上一点且则解析由已知得整理得故答案全国卷在 则由已知得所以为等腰直角三角形所以所以与的夹角为答案如果其中为已知向量则解析由解得答案三解答题如图所示 在直角中因为所以故即所以如图所示中分别是的中点为的交点若试以为基底表示解如图所示连接延长交于点点是的重 所以 不存在，故 a 与 b 不共线，可以作为一组基底(2)解：设 c ma nb(m，n R)，得 3e1 e2 m(e1 2e2)n(e1 3e2)(m n)e1(2m 3n)e2.所以m n 3，2m 3n 1，m 2，n 1.所以 c 2a b.(3)解：由 4e1 3e2 a b，得 4e1 3e2(e1 2e2)(e1 3e2)()e1(2 3)e2.所以 4，2 3 3，3，1.故所求，的值分别为 3 和 1.在边上且设则可用基底表示为解析因为所以所以答案如图在中为线段上一点且则解析由已知得整理得故答案全国卷在 则由已知得所以为等腰直角三角形所以所以与的夹角为答案如果其中为已知向量则解析由解得答案三解答题如图所示 在直角中因为所以故即所以如图所示中分别是的中点为的交点若试以为基底表示解如图所示连接延长交于点点是的重