2023年2020中考数学考点总动员：专题与圆有关的概念.pdf

考点十六：与圆有关的概念 聚焦考点温习理解 1、圆的定义 在一个个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O叫做圆心，线段 OA叫做半径。2、弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的 AB）3.直径 经过圆心的弦叫做直径。（如图中的 CD）直径等于半径的 2 倍。4.半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。5.弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以 A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）5、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。6、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。7、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。名师点睛典例分类 考点典例一、垂径定理【例 1】如图，已知O的半径为 13，弦 AB长为 24，则点 O到 AB的距离是()A6 B5 C4 D3【答案】B 考点：1.垂径定理；2.勾股定理.【点睛】过 O作 OC AB于 C，根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OC即可本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出 OC的长【举一反三】（2015遂宁）如图，在半径为5cm的O中，弦AB=6cm，OCAB于点C，则OC=（）经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所 A3cm B4cm C5cm D6cm【答案】B 考点：1垂径定理；2勾股定理 考点典例二、求边心距【例2】（2015达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为3cm，则正六边形的半径为 cm【答案】2【解析】试题分析：如图所示，连接OA、OB，过O作ODAB，多边形ABCDEF是正六边形，OAD=60，OD=OAsinOAB=32AO=3，解得：AO=2故答案为：2 考点：正多边形和圆【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所接圆半径和特殊角，可求得边心距考查了等边三角形的性质注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径【举一反三】如图，半径为 5 的A中，弦 BC，ED所对的圆心角分别是BAC，EAD.已知 DE=6，BAC+EAD=180，则弦 BC的弦心距等于()A.241 B.234 C.4 D.3 【答案】D 考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理.【分析】如答图，过点 A作 AH BC于 H，作直径 CF，连接 BF，BAC+EAD=180，BAC+BAF=180，DAE=BAF.在ADE和ABF中，ADABDAEBAFAEAF，ADE ABF（SAS）.DE=BF=6.AH BC，CH=BH.又CA=AF，AH为CBF的中位线.AH=12BF=3 故选 D 考点典例三、最短路线问题 经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所【例3】如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN=30，点B为劣弧AN的中点点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A B1 C 2 D 2【答案】A.故选 A 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍的性质，作辅助线并得到AOB 是等腰直角三角形是解题的关键 经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所【举一反三】如图，AB、CD是O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB MN于 E,CDMN于点 F,P 为 EF上任意一点,，则 PA+PC的最小值为 【答案】7 2.【解析】由于 A、B两点关于 MN对称，因而 PA+PC=PB+PC，即当 B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即 BC的值就是 PA+PC的最小值因此，如答图，连接 BC，OB，OC，过点 C作 CH垂直于 AB于 H AB=8，CD=6，MN是直径，AB MN于点 E，CD MN于点F，BE=12AB=4，CF=12CD=3.22222222OEOBBE543OFOCCF534，.CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7.在 RtBCH中根据勾股定理得到2222BCBHCH777 2，即 PA+PC的最小值为7 2 课时作业能力提升 一选择题 1（2015 广元）如图，已知O的直径ABCD于点E则下列结论一定错误的是（）ACE=DE BAE=OE C BCBD DOCEODE 经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所【答案】B【解析】试题分析：O的直径AB弦CD，CE=DE，BCBD，在RtCEO和RtDEO中，CO=DO，OE=OE，OCEODE，只有AE=OE不能判定，故选B 考点：垂径定理 2.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A8AB10 B8AB10 C4AB5 D4AB5【答案】A 考点：1直线与圆的位置关系；2勾股定理；3垂径定理 3.已知O的直径 CD=10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为 M，且 AB=8cm，则 AC的长为【】A.2 5cm B.4 5cm C.2 5cm或4 5cm D.5 2 3cm或4 3cm【答案】C【解析】经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所试题分析：根据题意画出图形，由于点 C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 连接 AC，AO，O的直径 CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=12AB=128=4cm，OD=OC=5cm.当 C点位置如答图 1 所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，2222OMOAAM543cm.CM=OC+OM=5+3=8cm.在 RtAMC 中，2222ACAMCM484 5cm.当 C点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm.在 RtAMC 中，2222ACAMCM422 5cm 综上所述，AC的长为2 5cm或4 5cm.故选 C 考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用 4.已知O的面积为 2，则其内接正三角形的面积为【】A3 3 B3 6 C332 D362【答案】C 经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所 5.如图，一个边长为 4cm的等边三角形 ABC的高与O的直径相等，O与 BC相切于点 C，与 AC相交于点 E，则 CE的长为 A4cm B.3cm C.2cm D.1.5cm【答案】【解析】试题分析：如图作 AD BC，垂足为点 D，OF AC，垂足为点 F，连接 OC，因为ABC为等腰三角形，所以DAC=30，所以 AD=cosDAC AC=cos304=23，因为圆的半径与ABC的高相等，所以 OC=3，BC且圆 O于点 C，所以BCO=90，又因为ACB=60，所以OCE=30，CF=cosOCF OC=cos303=12，根据垂径定理所以 CE=2CF=2.考点：等腰三角形的性质；圆的性质 6.（2015 成都）如图，正六边形ABCDEF内接于O，半径为 4，则这个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为（）A2，3 B 2 3，C3，23 D 2 3，43 经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所【答案】D 考点：1正多边形和圆；2弧长的计算 二填空题 7.(2015.上海市，第 6 题，3 分)如图，已知在O中，AB是弦，半径OCAB，垂足为 点D，要 使 四 边 形OACB为 菱 形，还 需 要 添 加 一 个 条 件，这 个 条 件 可 以是（）.A、ADBD；B、ODCD；C、CADCBD；D、OCAOCB DCBAO【答案】B【解析】试题分析：根据垂径定理，可知ADDB，若再加上ODCD，则四边形OACB满足对角线互相平分，可判定为平行四边形；再结合已知条件OCAB，则满足对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项 B符合题意.考点：1.垂径定理；2.菱形的判定.经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所8.（2015甘孜州）如图，AB是O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则ABC的大小为 度 【答案】30 考点：1垂径定理；2含30度角的直角三角形；3圆周角定理 9.如图，AB是O的直径，弦 CD AB于点 E，OC=5cm，CD=6cm，则 OE=cm 【答案】4.【解析】试题分析：CD AB CE=12CD=126=3cm，在 RtOCE中，OE=2222534OCCEcm 考点：1.垂径定理；2.勾股定理 10.如图，AB为O的直径，CDAB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为 经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所【答案】3.【解析】连接 OC，由 AB=10得出 OC的长，再根据垂径定理求出 CE的长，根据勾股定理求出 OE即可 试题解析：连接 OC，AB为O的直径，AB=10，OC=5，CDAB，CD=8，CE=4，OE=2222543OCCE 考点：1.垂径定理；2.勾股定理 11.(2015.宁夏，第 13 题，3 分)如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC若AB2 2，BCD30，则O的半径为_ 【答案】2 63.经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所【解析】考点：垂径定理；勾股定理.12.O的半径为 2，弦 BC=2，点 A是O上一点，且 AB=AC，直线 AO与 BC交于点 D，则AD的长为 【答案】1 或 3【解析】试题分析：如图所示：O的半径为 2，弦 BC=23，点 A是O上一点，且 AB=AC，AD BC，BD=BC=3，在 RtOBD中，BD2+OD2=OB2，即（3）2+OD2=22，解得 OD=1，当如图 1 所示时，AD=OA OD=2 1=1；当如图 2 所示时，AD=OA+OD=2+1=3 故答案为：1 或 3 经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所 考点：1、垂径定理；2、勾股定理 三、解答题.13.(2015.安徽省，第 20 题，10 分)在O中，直径AB6，BC是弦，ABC30，点P在BC上，点Q在O上，且OPPQ (1)如图 1，当PQAB时，求PQ的长度；(2)如图 2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值【答案】(1)6PQ；（2）3 32PQ.试题解析：解：（1）OP PQ,PQAB,OP AB.在 RtOPB中,OP=OB tan ABC=3 tan30=3.经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所连接 OQ,在 RtOPQ中,22223(3)6PQOQOP.(2)22229,PQOQOPOP 当 OP最小时，PQ最大，此时 OP BC.OP=OB sin ABC=3 sin30=32.PQ长的最大值为233 39()22.考点：解直角三角形；勾股定理.经过圆心的弦叫做直径如图中的直径等于半径的倍半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧每一条弧都叫做半叫做优弧多用三个字母表示小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧推论圆的两条平行弦所