07离散型随机变量的期望(一).ppt
设离散型随机变量设离散型随机变量 可能取的值为可能取的值为 为为随机变量随机变量 的的概率分布列概率分布列，简称为，简称为 的的分布列分布列.取每一个值取每一个值 的概率的概率 则称表则称表 对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常但在实际应用中，我们还常常希望常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有最常用的有期望与方差期望与方差.复习引入复习引入思考下面的问题思考下面的问题:4 5 6 7 8 9 100.020.02 0.040.04 0.060.060.090.09 0.280.28 0.290.29 0.220.22某某射手射击所得环数射手射击所得环数的分布列如下：的分布列如下：在在100次射击之前次射击之前,试估计该射手试估计该射手100次射击的平均环数次射击的平均环数.分析：平均环数分析：平均环数=总环数总环数 100所以所以,总环数约等于总环数约等于（40.02+50.04+60.06+100.22)100.故故100100次射击的次射击的平均环数约等于平均环数约等于 40.02+50.04+60.06+100.22=8.32.一般地，随机变量一般地，随机变量的概率分布列为的概率分布列为则称则称为为 的的数学期望数学期望或均值，简称为或均值，简称为期望期望.它它反映了离散型随反映了离散型随机变量取值的平均水平机变量取值的平均水平.结论结论1：则则 ;结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E=np.一、数学期望的定义一、数学期望的定义:结论结论3:若随机变量若随机变量 服从几何分布，则服从几何分布，则E =1/p所以，所以，的分布列为的分布列为结论结论1：则则E =0Cn0p0qn+1Cn1p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0P(=k)=Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0(k Cnk=n Cn-1k-1)结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E=np1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E=.2 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，则，则E=.5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则则a=b=.0.40.13.3.（1 1）若）若 E(E()=)=4.54.5,则则 E(E()=)=.（2 2）E(E(E E)=)=.-4.5-4.50 0例例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不分，罚不中得中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为分，已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,求他罚求他罚球球1次的得分次的得分 的期望。的期望。例例2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 的期望。的期望。例例3：有一批数量很大的产品，其次品率是：有一批数量很大的产品，其次品率是15.对这批对这批产品进行抽查，每次抽出产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过过10次次.求抽查次数求抽查次数 的期望（结果保留三个有效数字）的期望（结果保留三个有效数字）.注：若随机变量注：若随机变量X服从两点分布服从两点分布,则则 EX=p练习：两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出练习：两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现的次品数现的次品数 1，2的分布列是的分布列是 1 0 1 2 3 P0.4 0.3 0.2 0.1 2 0 1 2 3 P0.3 0.5 0.2 0如果两台车床的产量相同，哪台车床更好一些？如果两台车床的产量相同，哪台车床更好一些？不一定不一定,其含义是在多次类似的测试中其含义是在多次类似的测试中,他的平均成他的平均成绩大约是绩大约是9090分分例例4.4.一次单元测验由一次单元测验由2020个选择题构成个选择题构成,每个选择题有每个选择题有4 4个选个选项项,其中有且仅有一个选项正确其中有且仅有一个选项正确,每题选对得每题选对得5 5分分,不选或选不选或选错不得分错不得分,满分满分100100分分.学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.9,0.9,学生学生乙则在测验中对每题都从乙则在测验中对每题都从4 4个选项中随机地选择一个个选项中随机地选择一个.求求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是数分别是和和,则则 B(20B(20,0.9)0.9),B(20B(20,0.25)0.25)，所以所以EE20200.90.91818，EE20200.250.255 5 由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这次测验分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是中的成绩分别是55和和5.5.这样，他们在测验中的成绩这样，他们在测验中的成绩的期望分别是的期望分别是 E(5)E(5)5E5E5 518189090，E(5)E(5)5E5E5 55 52525思考思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是学生甲在这次测试中的成绩一定会是9090分吗分吗?他的他的均值为均值为9090分的含义是什么分的含义是什么?例例5(065(06广东高考广东高考)某运动员射击一次所得环数某运动员射击一次所得环数X X的分布如下：的分布如下：X0678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中的最高环数现进行两次射击，以该运动员两次射击中的最高环数作为他的成绩，记为作为他的成绩，记为.(1)求该运动员两次都命中求该运动员两次都命中7环的概率环的概率;(2)求求的分布列的分布列;(3)求求的数学期望的数学期望.练习练习.某商场的促销决策：某商场的促销决策：统计资料表明，每年端午节统计资料表明，每年端午节统计资料表明，每年端午节统计资料表明，每年端午节商场内商场内商场内商场内促销活动可获利促销活动可获利促销活动可获利促销活动可获利2 2 2 2万元；万元；万元；万元；商场外商场外商场外商场外促销活动如不遇下雨可获利促销活动如不遇下雨可获利促销活动如不遇下雨可获利促销活动如不遇下雨可获利10101010万元；如遇万元；如遇万元；如遇万元；如遇下雨可则损失下雨可则损失下雨可则损失下雨可则损失4 4 4 4万元。万元。万元。万元。6 6 6 6月月月月19191919日气象预报端午节下雨的概日气象预报端午节下雨的概日气象预报端午节下雨的概日气象预报端午节下雨的概率为率为率为率为40%40%40%40%，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？解解:因为商场内的促销活动可获效益因为商场内的促销活动可获效益2 2万元万元设商场外的促销活动可获效益设商场外的促销活动可获效益 万元万元,则则 的分布列的分布列P 10 40.6 0.4所以所以E E=10=100.60.6(-4)(-4)0.4=4.40.4=4.4因为因为4.42,4.42,所以商场应选择在商场外进行促销所以商场应选择在商场外进行促销.
