1.8 复实系数的分解.ppt

4 4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式5 5 因式分解因式分解因式分解因式分解6 6 重因式重因式重因式重因式3 3 整除的概念整除的概念整除的概念整除的概念2 2 一元多项式一元多项式一元多项式一元多项式1 1 数域数域数域数域7 7 多项式函数多项式函数多项式函数多项式函数9 9 有理系数多项式有理系数多项式有理系数多项式有理系数多项式8 8 复、实系数多项式复、实系数多项式复、实系数多项式复、实系数多项式 的因式分解的因式分解的因式分解的因式分解第一章第一章 多项式多项式一、复系数多项式一、复系数多项式 二、实系数多项式二、实系数多项式 1.8 1.8 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解1.代数基本定理代数基本定理一、复系数多项式一、复系数多项式 若若 则则 在复数域在复数域上必有一根上必有一根 推论推论1若若则存在则存在使使即，即，在复数域上必有一个一次因式在复数域上必有一个一次因式 1.8 1.8 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解推论推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 则则 可约可约 2.复系数多项式因式分解复系数多项式因式分解定理定理若若 则则 在复数域在复数域上可唯一分解成一次因式的乘积上可唯一分解成一次因式的乘积 1.8 1.8 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解推论推论1推论推论2若若 则则 在在 其中其中 是不同的复数，是不同的复数，上具有标准分解式上具有标准分解式复根（重根按重数计算复根（重根按重数计算）若若 ，则，则 有有n个个 1.8 1.8 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解二、实系数多项式二、实系数多项式 命题命题：若：若 是实系数多项式是实系数多项式 的复根，则的复根，则 的共轭复数的共轭复数 也是也是 的复根的复根 若若 为根，则为根，则两边取共轭有两边取共轭有 也是为也是为 复根复根 证：证：设设 1.8 1.8 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理 ，若，若 ，则则 可唯一可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 证：对证：对 的次数作数学归纳的次数作数学归纳 时，结论显然成立时，结论显然成立.假设对次数假设对次数n的多项式结论成立的多项式结论成立设设 ，由代数基本定理，由代数基本定理,有一复根有一复根 若若 为实数为实数,则则 ，其中，其中 1.8 1.8 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解若若 不为实数，则不为实数，则 也是也是 的复根，于是的复根，于是 设设 ，则，则 即在即在R上上 是是 一个二次不可约多项式一个二次不可约多项式从而从而 由归纳假设由归纳假设 、可分解成一次因式与二次可分解成一次因式与二次不可约多项式的乘积不可约多项式的乘积 由归纳原理，定理得证由归纳原理，定理得证 1.8 1.8 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解在在R上具有标准分解式上具有标准分解式推论推论1其中其中且且 ，即，即 为为R上的不可约多项式上的不可约多项式.1.8 1.8 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解推论推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二例例1求求 在在 上与在上与在 上的标准分解式上的标准分解式.1)在复数范围内在复数范围内 有有n个复根，个复根，次不可约多项式，所有次数次不可约多项式，所有次数3的多项式皆可约的多项式皆可约.解：解：1.8 1.8 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解 2)在实数域范围内在实数域范围内这里这里 1.8 1.8 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解当当n为奇数时为奇数时 当当n为偶数时为偶数时 1.8 1.8 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解作业P45.16.1），18，P46.20.