【教育资料】14.1.1第2课时 勾股定理的验证及简单应用学习专用.pdf

教育资源 教育资源 第 2 课时 勾股定理的验证及简单应用 课前知识管理 对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、观察和动手操作的方法来验证其正确性课本主要运用拼图的方法，利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理如图 1，是由 4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为（a+b）的大正方形和以斜边 c 为边长的小正方形，有（a+b）2=412ab+c2，整理可得 a2+b2=c2 对于图 2，有 S正方形EFGH=c2=（b-a）2+412ab，即 c2=a2+b2 名师导学互动 典例精析：知识点 1：用拼图法验证勾股定理 例 1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积；中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；推导不出.【解】可以验证勾股定理.【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点 2：方程的思想 例 2、如图，在ABC 中，AB=15，BC=14，CA=13，求 BC 边上的高 AD【解题思路】【解】设 DC=x，则 BD=14x，在 RtABD 和 RtACD 中，由勾股定理可得：（142)x+2222215,13ADxAD，两式相减得：22(14)56xx，解得：5x 在 RtACD 由勾股定理得：AD=12【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解 对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（）A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm 知识点 3：数形结合的数学思想 例 3、某市气象台测得一热带风暴中心从 A 城正西方向 300km 处，以每小时 26km 的速度向北偏东 60方向移动，距风暴中心 200km 的范围内为受影响区域.试问 A 城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由.【解题思路】【解】构造数学模型，如图所示，设 O 为风暴中心，OC 为风暴中心移动方向，ADOC.在 RtOAD 中，AOD=30，OA=300km，所以 AD=150km200km，即 A 城受到这次风暴的影响.如 图，设AB=AC=200km，在Rt ABD中，应 用 勾 股 定 理，得教育资源 教育资源 )(7501502002222kmADABBD，所以，A 城遭受风暴影响的时间2.10267502（小时）.【方法归纳】勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想 知识点 4：分类讨论的数学思想 例 4、在ABC中，15,20,ABACBC边上的高12,AD 则BC的长为 .【解题思路】三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分为两种情况来考虑.当BC边上的高AD在ABC的内部时，如图，由勾股定理，得22222151281,BDABAD得9,BD 222222012CDACAD256，得1 6,CD 则25BCBDCD；当BC上的高AD在ABC的外部时，如图，同样由勾股定理可求得16,CD 9BD，这时，1697,BCCDBD 故BC的长为25或7.【解】25或7.【方法归纳】当元素之间的位置关系没有限制时，要对可能的情形分类进行讨论.对应练习：已知直角三角形的两边长分别为 5，12，求第三边的长.知识点 5：整体思想 例 5、如图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1,直角三角形的短直角边是 a,较长直角边是 b,则2)(ba 的值为()A.13 B.19 C.25 D.169【解 题 思 路】由 勾 股 定 理222abc可 得 到 两 个 变 形：222ababc和 222ababc.通过这两个变形，我们可以从,a b c ab ab ab中任意两个出发，求出其他各个量.仔细观察图形，不难得到：13c，1ab，利用 222ababc，可求得212ab，故2)(ba=22cab=13+12=25.【解】选 C.【方法归纳】利用整体思想可避免繁琐的运算，达到快速求值的目的.对应练习：如图，ABC的周长为 32，且ABACADBC，于D，ACD的周长为24，那么AD的长为 教育资源 教育资源 知识点 6：转化思想 例 6、如图，高速公路的同一侧有 A、B两个奥运村，它们到高速公路所在的直线 MN的垂直距离分别为1AA=2km，1BB=4km，811BAkm，要在高速公路上 A、B 之间设一个出口 P，使 A、B两个奥运村到 P的距离之和最短，则这个最短距离 是 .【解题思路】过 B作关于 MN的对称点 B，连接 AB 交11BA于点 P.因1PB垂直平分 BB，所以 PB=PB，则 AP+PB=AP+PB=AB，由“两点之间，线段最短”易知，P 点为到 A、B距离之和最短的点.【解】过点 A作 AE垂直于 BB 于 E，则 AE=11BA=8km，BE=1AA+1BB=6km，由勾股定理，得 AB=22EBAE=10km，即 AP+PB=AP+PB=AB=10km，故最短出口 P 到 A、B两个奥运村距离和为 10km.【方法归纳】本题可转化为“在直线l同侧有两点 A、B，试在l上找一点 P，使 PA+PB最小，利用对称作图即可.对应练习：为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：先裁下了一张长20cmBC，宽1 6 c mAB 的矩形纸片 ABCD，将纸片沿着直线 AE折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处，请你根据步骤解答下列问题：（1）找出图中FEC 的余角；（2）计算 EC 的长.知识点 7：化立体为平面 例 7、有一根 70 cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是 50 cm、40 cm、30 cm 的木箱中，能放进去吗？【解题思路】在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如 AC.【解】由下图可得，AA=30 cm，AB=50 cm，BC=40 cm.ABC，AAC都为直角三角形.由勾股定理，得 AC2=AB2+BC2.在 RtAAC中.AC最长，则 AC2=AA2+AB2+BC2=302+402+502=5000702.故 70 cm 的棒能放入长、宽、高分别为 50 cm，40 cm，30 cm 的大箱中.【方法归纳】本题源于生活实际，较有趣味性，能够较好地增强学生的应用意识和实践能力，同时还考查了空间观念.求解立体几何图形的一些问题时，通常是通过平面展开图，将其转化为平面图形的问题，然后求解.对应练习：制一个底面周长为 a、高为 b 的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的121BCA，212BCA则每一根这样的竹条的长度最少是_.易错警示 教育资源 教育资源 1、注意勾股定理的使用前提是直角三角形 例 8 如图，在ABC中，10AB，16BC，BC边上的中线6AD，试说明ABAC 错解：因AD是BC边上的中线，所以12CDBC又6AD,在ADC中，由勾股定理，得22ACADCD=226810而10AB，故ABAC 错因分析：由于受题目、结论及图形的影响，不少同学在没有进行推证说明，就先行认为ADC是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，犯了循环论证的错误 正解：因为AD是BC边上的中线，所以182BDCDBC 又10AB，6AD,且有2226810，即222ADBDAB，则ADB是直角三角形，即ADBC所以，在RtADC中，由勾股定理，22ACADCD226810从而ABAC 2、注意分清直角边和斜边 例 9 在ABC中，已知90B,A，B，C的对边分别是a，b，c，且6a，8b，求c的长 错解：由已知，ABC为直角三角形 则由勾股定理，得222abc,即226810c 错解分析：错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：222abc的影响而误认为c是斜边，其实，由90B,知b才是斜边（如图）因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题 正解：90B,则在RtABC中，由勾股定理，得22cba=2268=2 7 3、注意分类讨论 例 10 已知三角形的两边长为3和4，如果这个三角形是直角三角形求第三边的长 错解：设第三边的长为x，则由勾股定理得22234x，解得5x 错解分析：题中没有明确指出直角边和斜边，应分类讨论，而上述解法中误以为所求的第三边即为斜边因此漏解，值得注意 正解：设第三边的长为x（1）当x为斜边时，由勾股定理，得22234x，解得5x （2）当x为直角边时，由勾股定理，得22243x 解得x 7 所以，第三边的长为5或7 教育资源 教育资源 课堂练习评测 1、如果直角三角形的三条边 2，4，a，那么 a 的取值可以有（）A.3 个 B.2个 C.1个 D.0个 2、如图，OAB=OBC=OCD=90，AB=BC=CD=1，OA=2，则 OD2=_.3、如图，设火柴盒 ABCD 的两边之长为 a 与 b，对角线长为 c，推倒后的火柴盒是 AB CD，试利用该图验证勾股定理的正确性 4、（1）求下列直角三角形未知边的长（如图所示）（2）求下列图中未知数 x，y，z 的值 5、如图所示，为了求出位于湖两岸的两点 A、B 之间的距离，一个观测者在点 C 设桩，使三角形 ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到 AC 长 160 米，BC 长 128 米，问从点 A穿过湖到点 B 有多远？6、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G 的边长为 7cm，求正方形 A，B，C，D 的面积 7、小红家住在 18 层的高楼上，一天，她与妈妈去买竹竿（如图所示）如果电梯的长、宽、高分别是 1.5 米、1.5 米、2.2 米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度约是多少米？你能估计出小红买的竹竿至少是多少米吗？.课后作业练习 一、判断题（22=4 分）1ABC 的两边 AB=5，AC=12，则 BC=13（）2ABC 中，a=6，b=8，则 c=10（）二、填空题（37=21 分）3在ABC 中，A：B：C=1：1：2，AB2=50，则 BC=_ 4在 RtABC 中，C=90，a：b=3：4，c=15cm，则 a=_cm 5在 RtABC 中，a=3，b=4，则 c=_ 6一艘轮船以 16 海里/时的速度离开 A 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以 12 海里/时的速度离开 A 港向西南方向航行，经过 1.5 小时后它们相距_海里 7在ABC 中，C=90，若 AC=6，CB=8，则 AB 上的高为_ 8在ABC 中，C=90，CDAB 于 D（1）若 AC=61，CD=11，则 AD=_（2）若 CB=113，CD=15，则 BD=_ 9等边ABC 的高为 3cm，以 AB 为边的正方形面积为_ 三、选择题（55=25 分）10若等腰ABC 的腰长 AB=2，顶角BAC=120，以 BC 为边的正方形面积为（）A3 B12 C2716.43D 11已知等腰三角形斜边上中线为 5cm，则以直角边为边的正方形面积为（）A10cm2 B15cm2 C50cm2 D25cm2 12等腰三角形底边上的高为 8，腰长为 10，则三角形的面积为（）A56 B48 C40 D32 13一个长方形的长是宽的 2 倍，其对角线的长是 5cm，则长方形的长是（）A2.5cm B52cm C25cm D5cm 14如图所示，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点 C 与点 A 重合，则折痕 EF 的长为（）教育资源 教育资源 A3.74 B3.75 C3.76 D3.77 四、解答题（85=40 分）15用尺规在数轴上找出坐标为5的点 16如图（ac）所示，求下列直角三角形中未知边的长 17如图所示，长 2.5m 的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角 1.5m，求梯子的顶端与地面的距离 h 18如图所示，小方格的面积为 1，找出图中以格点为端点且长度为 5 的线段 19如图所示，在四边形 ABCD 中，BAD=90，DBC=90，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形 DCEF 的面积 五、探索题（10 分）20做 8 个全等的直角三角形（2 条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c），再做 3 条边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成 2 个正方形（如图所示）.你能利用这 2 个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程 14.1.2 对应练习参考答案 1.提示：借助梯形面积推导.答案：因为 S梯 形=2)(21)(21bababa，S梯 形=222121221cabcab；所以2221)(21cabba；整理，得 222cba.2.答案：B 3.答案：13 或119 4.答案：8.5.答案：解：（1）CFE、BAF；（2）设 EC=xcm.由题意得则 EF=DE=（16x）cm，AF=AD=20cm.在 RtABF 中，BF=22ABAF=12（cm），FC=BCBF=2012=8（cm）.在 RtEFC 中，EF2=FC2+EC2，（16x）2=82+x2，x=6，EC 的长为 6cm.6.解析：由于竹条需要绕织一周，所以可以把圆柱侧面沿11BA展开，得到一个长和宽分别为ba,的矩形，如图所示.连接11BA，此时对角线11BA的长度就是竹条的最短长度.由勾股定理得22211baBA，所以11BA=22ba.课后作业参考答案：1、B 2、7 3、点拨：可看成火柴盒 ABCD 绕 A点旋转 90后得到AB CD，有CAC=90，ACC 为等腰直角三角形，运用不同的方法求出该三角形的面积即可 4、略.教育资源 教育资源 5、由 于 构 建 了Rt ABC，因 此，利 用 勾 股 定 理，可 以 求 出AB=2222160128ACBC=96（米）6、此题揭示了三个正方形的面积关系与直角三角形三边的联系，即SE+SF=SG 同理SA+SB=SE，SC+SD=SF 所以 SA+SB+SC+SD=SG=49cm2 7、能放入电梯内的竹竿的最大长度约为 3 米，小红买的竹竿至少为 31 米 参考答案：一、1 2 二、35 49 55 或7 630 748 8（1）60 （2）112 912cm2 三、10B 11C 12B 13C 14B 四、15提示：用勾股定理 16 略 17提示：利用勾股定理 h=222.51.5 18动手题 19.在 RtABD 中，由勾股定理得 BD=5，同理 CD=13，S正方形DCEF=CD2=169 五、20能.