【人教版】九年级上册数学教案：22.1 二次函数的图象和性质-22.1.2.pdf

Earlybird 221.2 二次函数 yax2 的图象和性质 1会用描点法画出 yax2的图象，理解抛物线的概念 2掌握形如 yax2的二次函数图象和性质，并会应用 一、情境导入 1 自由落体公式 h gt2(g 为常量)，h 与 t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图 2 象是什么形状呢？二、合作探究 探究点一：二次函数 yax2的图象【类型一】图象的识别 已知 a0，在同一直角坐标系中，函数 yax 与 yax2的图象有可能是()解析：本题进行分类讨论：(1)当 a0 时，函数 yax2的图象开口向上，函数 yax 图象经过一、三象限，故排除选项 B；(2)当 a0 时，函数 yax2的图象开口向下，函数 y ax 图象经过二、四象限，故排除选项 D；又因为在同一直角坐标系中，函数 yax 与 y ax2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择 C.方法总结：分 a0 与 a0 两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除 法”【类型二】实际问题中图象的识别 1 已知h关于t的函数关系式为h gt2(g为正常数，t为时间)，则函数图象为()2Earlybird 1 解 析：根据 h 关于 t 的函数关系式为 h gt2，其中 g 为正常数，t 为时间，因此函数 h 2 1 gt2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选 A.2 方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义 探究点二：二次函数 yax2的性质【类型一】利用图象判断二次函数的增减性 作出函数 yx2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在 y 轴左侧图象上任取两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，使 x2x10，试比较 y1与 y2的大 小；(2)在 y 轴右侧图象上任取两点 C(x3，y3)，D(x4，y4)，使 x3x40，试比较 y3与 y4的 大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法 解：(1)图象如图所示，由图象可知 y1y2，(2)由图象可知 y3y4；(3)在 y 轴左侧，y 随 x 的增大而增大，在 y 轴右侧，y 随 x 的增大而减小 方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物 线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误【类型二】二次函数的图象与性质的综合题 已知函数 y(m3)xm23m2 是关于 x 的二次函数(1)求 m 的值；(2)当 m 为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当 m 为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性 m23m22，解析：(1)由二次函数的定义可得m3 0，)故可求 m 的值(2)图象的开口向下，则 m30；(3)函数有最小值，则 m30；(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定 m23m22，m14，m21，解：(1)根据题意，得m3 0，)解得m 3.)当 m4 或 m1 时，原函数为二次函数(2)图象开口向下，m30，m3，m4.当 m4 时，该函数图象的 开口向下(3)函数有最小值，m30，m3，m1，当 m1 时，原函数有最小值Earlybird (4)当 m4 时，此函数为 yx2，开口向下，对称轴为 y 轴，当 x0 时，y 随 x 的 增大而增大；当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 当 m1 时，此函数为 y4x2，开口向上，对称轴为 y 轴，当 x0 时，y 随 x 的增大而 减小；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当 a0 时，开口向上，顶点最低，此时 纵坐标为最小值；当 a0 时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值考虑二次函数 的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察 探究点三：确定二次函数 yax2的表达式【类型一】利用图象确定 yax2的解析式 一个二次函数 yax2(a0)的图象经过点 A(2，2)关于坐标轴的对称点 B，求其 关系式 解析：坐标轴包含 x 轴和 y 轴，故点 A(2，2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是 两个点点 A(2，2)关于 x 轴的对称点 B1(2，2)，点 A(2，2)关于 y 轴的对称点 B2(2，2)解：点 B 与点 A(2，2)关于坐标轴对称，B1(2，2)，B2(2，2)当 yax2的 1 1 图象经过点 B1(2，2)时，2a22，a，y x2；当 yax2的图象经过点 B1(2，2 2 1 1 1 1 2)时，2a(2)2，a，y x2.二次函数的关系式为 y x2或 y x2.2 2 2 2 方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案【类型二】二次函数 yax2的图象与几何图形的综合应用 已知二次函数 yax2(a0)与直线 y2x3 相交于点 A(1，b)，求：(1)a，b 的值；(2)函数 yax2的图象的顶点 M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点 B 的坐标 解析：直线与函数 yax2的图象交点坐标可利用方程求解 解：(1)点 A(1，b)是直线与函数 yax2图象的交点，点 A 的坐标满足二次函数和 ba 12，a1，直线的关系式，b2 13，)b1.)(2)由(1)知二次函数为 yx2，顶点 M(即坐标原点)的坐标为(0，0)，由x22x 3，解得 x11，x23，y11，y29，直线与抛物线的另一个交点 B 的坐标为(3，9)【类型三】二次函数 yax2的实际应用 如图所示，有一抛物线形状的桥洞桥洞离水面最大距离 OM 为 3m，跨度 AB6m.Earlybird (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长 3m，宽 2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥 洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令 O 为坐标原点，平行于 AB 的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此 抛物线函数关 系式为 yax2.由题意可得 B 点的坐标为(3，3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题 解：(1)以 O 点为坐标原点，平行于线段 AB 的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐 标系，设抛物线的函数关系式为 yax2.由题意可得 B 点坐标为(3，3)，3a32，1 1 解得 a，抛物线的函数关系式为 y x2.3 3 1 1 1 8(2)当 x1 时，y 12.OM3，木板最高可堆放 3 (米)3 3 3 3 方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决 实际问题的思想 三、板书设计 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 yax2 的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.