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2012 年北京中考数学试卷及答案 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2012 年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 考生须知 1本试卷共 8 页，共五道大题，25 个小题，满分 120 分。考试时间120 分钟。2在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号。3试题答案一律添涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。4考试结束，请将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题无有四个选项，其中只有一个符合题意的 19的相反数是（D ）A19 B19 C9 D9 2首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会）于 2012 年 6 月 1 日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达 60 110 000 000 美元，将 60 110 000 000 用科学记数法表示应为（C ）A96.011 10 B960.11 10 C106.011 10 D110.6011 10 3正十边形的每个外角等于（B ）A18 B36 C45 D60 4右图是某个几何体的三视图，该几何体是（D ）A长方体 B正方体 C圆柱 D三棱柱 5班主任王老师将6 份奖品分别放在6 个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等 6 位获“爱集体标兵”称号的同学这些奖品中3 份是学习文具，2 份是科普读物，1 份是科技馆通票小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（B ）俯视图 左视图 主视图 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 A16 B13 C12 D23 6如图，直线 AB，CD 交于点 O射线 OM 平分AOC，若76BOD，则BOM等于（C ）A38 B104 C142 D144 7某课外小组的同学们实践活动中调查了20 户家庭某月用电量，如下表所示：用电量（度）120 140 160 180 220 户数 2 3 6 7 2 则这户家庭用电量的众数和中位数分别是（A ）A180，160 B160，180 C160，160 D180，180 8小翔在如图1 所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示的方向经过B 跑到 点C，共用时30秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翊跑步的时间为 t（单位：秒），他与教练距离为y（单位：米），表示y与 t 的函数关系的图象大致如图2，刚这个固定位置可能是图1 的（D ）A点 M B点 N C点 P DQ 图 1 图 2 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）O 30 t/秒 y/米 Q N M P C B A M D O C B A 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 9分解因式：269mmnnm_ 10若关于 x的方程220 xxm 有两个相等的实数根，则 m 的值是_ 11如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边40DEcm，20EFcm，测得边 DF 离地图的高度1.5ACm，8CDm，则树高AB _ m 12在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都是整数点的叫做整点已知点 A（0，4），点 B 是 x正半轴上的整点，记AOB 内部（不包括边界）的整数点个数为 m，当3m 时，点 B 的横坐标的所有可能值是_；当点 B 的横坐标为4n（n 为正整数）时，m _（用含 n 的代数式表示）三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）13计算：011(182sin 45()8 14解不等式组：43421xxxx 15已知023ab，求代数式22452(2)bababa的值 16已知：如图，点 E，A，C 在同一直线上，ABCD，ABCE，ACCD 求证：BCED 17如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数4(0)yxx的图1 2 3 4 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A O y x B A O x y 2 E D C B A 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 象与一次函数ykxk的图象交点为 A（m，2）.（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数ykxk的图象与 y轴交于点 B，若 P 是 x轴上一点，且满足PAB 的面积是 4，直接写出 P 的坐标 18列方程或方程组解应用题：据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用已知一片银杏树叶一年平均滞尘量比一片国槐树中一年的平均滞尘量的 2 倍少 4 毫克，若一年滞尘 1 000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550 克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）19如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，90BAC，45CED，30DCE，2DE，2 2BE 求 CD的长和边形 ABCD 的面积 20已知：如图，AB是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC于点 D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连结 BE（1）求证：BE 与O 相切；（2）连结 AD 并延长交 BE 于点 F，若9OB，2sin3ABC，求 BF的长 E D C B A O E D C B A 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 21近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011 年北京市又调整修订了 2010 至 2020 年轨道交通线网的发展规划以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图的一部分 请根据以上信息解答下列部问题：开通 时间 开通线路 运营里程（千米）1971 1 号线 31 1984 2 号线 23 2003 13 号线 41 八通线 19 2007 5 号线 28 2008 8 号线 5 10 号线 25 机场线 28 2009 4 号线 28 2010 房山线 22 大兴线 22 亦庄线 23 昌平线 21 15 号线 20 北京市轨道交通已开通线路 相关数据统计表(截至 2010年底)()总里程千米年份精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（1）补全条形图并在图中标明相应数据；（2）按照 2011 年规划方案，预计 2020 年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？（3）要按时完成截至 2015 年的轨道交通规划任务，从 2011 到 2015 年这 4 年中，平均每年需新增运营里程多少千米？22（1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移 1 个单位，得到点 P 的对应点P 点 A，B 在数轴上，对线段 AB上的每个点进行上述操作后得到线段 A B，其中点 A，B 的对应点分别为A，B如图 1，若点 A表示的数是3，则点A表示的数是_；若点B表示的数是 2，则点 B 表示的数是_；已知线段 AB上的点 E 经过上述操作后得到的对应点E与点 E 重合，则点 E 表示的数是_；图 1（2）如图 2，在平面直角坐标系中，对正方形 ABCD 及其内部的第个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（0m，0n），得到正方形A B C D及其内部的点，其中点 A，B 的对应点分别为A，B已知正方形 ABCD 内部的一点 F 经过上述操作后得到的对应点F与点 F 重合，求点 F的坐标 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23已知二次函数22(3(1)22)tytxx在0 x 与2x 的函数值相等 B A 4 3 2 1 0-1-2-3-4 O x y A(-1,2)B(2,2)D C D C B(3,0)A(-3,0)图 2 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数6ykx的图象与二次函数的图象都经过点 A（3，m），求 m 与 k的值；（3）设二次函数的图象与 x轴交于点 B，C（点 B 在点 C 的左侧），将二次函数的图象B，C 间的部分（含点 B 和点 C）向左平移 n（0n）个单位后得到的图象记为 G，同时将（2）中得到的直线ykxb向上平移 n 个单位请结合图象回答：平移后的直线与图象 G有公共点时，n 的取值范围 24在ABC 中，BABC，BAC，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段PA 绕点 P 顺时针旋转2得到线段 PQ（1）若60且点 P 与点 M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出CDB的度数；图 1 图 2（2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且PQQD，请直接写出的范围 A P M C B Q M(P)Q C B A 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 25在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点111(,)P xy与222(,)P xy的“非常距离”，给出如下定义：若1212|xyxy，则点111(,)P xy与点222(,)P xy的非常距离为12|xx；若1212|xyxy，则点111(,)P xy与点222(,)P xy的非常距离为12|yy；例如：点1P（1，2），点2P（3，5），因为3|1|5|2 ，所以点1P与点2P的“非常距离”为|235|，也就是图 1 中线段1PQ与线段2P Q长度的较大值（点Q 为垂直于y轴的直线1PQ与垂直于x轴的直线2P Q的交点）（1）已知点 A（12，0），B 为 y轴上的一个动点，若点 A与点 B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点 B 的坐标；直接写出点 A与点 B 的“非常距离”的最小值（2）已知 C 是直线334yx上的一个动点，如图 2，点 D 的坐标是（0，1），求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；如图 3，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点 C 与点 E 的“非常距离”的最小值及相应点 E 和点 C 的坐标 图 2 图 3 334yx x 1 O y 334yx x 1 O y D 5 2 3 1 O y x Q P 2 P 1 图 1 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2012 年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷答案及评分参考 阅卷须知：1为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。2若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。3评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 D C B D B C A D 二、填空题 题 号 9 10 11 12 答 案 2(3)m n 1 5.5 3，4 63n 三、解答题 13解：011(3)182sin 45()8 =213 2282 =2 27 14解：43,421.xxxx 解不等式，得1x 解不等式，得5x 不等式组的解集为5x 15解：2252(2)4ababab =52(2)(2)(2)ababab ab =522abab 023ab，32ab 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 原式=5321342aaaaaa 16证明：ABCD，BACECD 在ABC 和CED 中，ABCEBACECDACCD，ABCCED BCED 17解：（1）点(,2)A m在函数4(0)yxx的图象上，24m 解得 2m 点 A的坐标为(2,2)分 点(2,2)A在一次函数ykxk的图象上，22kk 解得 2k 一次函数的解析式为22yx （2）点 P 的坐标为(3,0)(1,0)或 18解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克 由题意，得 1 00055024xx 解得 22x 经检验，22x 是原方程的解，且符合题意 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量是 22 毫克 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 四、解答题 19解：过点 D 作 DFAC 于点 F 在 RtDEF 中，90DFE，45DEF，2DE，1DFEF 在 RtCFD 中，90CFD，30DCF，22CDDF 3FC 在 RtABE中，90BAE，45AEBCED，2 2BE，2ABAE 33ACAEEFFC =ACDABCABCDSSS四边形 112211(33)1(33)222933.22AC DFAC AB 四边形 ABCD 的面积是93322 20（1）证明：连结 OC EC 与O相切，C 为切点，90ECO OB=OC，OCBOBC ODBC，DB=DC 直线 OE 是线段 BC 的垂直平分线 EB=EC ECBEBC 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 ECOEBO 90EBO AB是O的直径，BE 与O相切（2）解：过点 D 作 DMAB于点 M，则 DMFB 在 RtODB 中，90ODB，9OB，2sin3ABC，sin6ODOBABC 由勾股定理得 223 5BDOBOD 在 RtDMB 中，同理得 sin2 5DMBDABC 225BMBDDM O 是 AB的中点，18AB 13AMABBM DMFB，AMDABF MDAMBFAB 36 513MD ABBFAM 21解：（1）补全统计图如右图，所补数据 为 228；（2）预计 2020 年运营总里程将达到 33633.6%=1 000（千米）；北京市 2007 至 2011 年轨道交通 运营总里程统计图 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（3）2010 到 2015 年新增运营里程为 1 00036.7%=367（千米），其中 2010到 2011年新增运营里程为 37233636（千米），2011 到 2015 年平均每年新增运营里程 为 3673682.754（千米）22解：（1）点A表示的数是 0 ；点 B 表示的数是 3 ；点 E 表示的数是3 2；（2）点(3,0)A，(3,0)B的对应点分别为(1,2)A，(2,2)B，31,32.amam 解得 1,21.2am 由题意可得 2n 设点 F 的坐标为(,)x y 11,2212.2xxyy 解得 1,4.xy 点 F 的坐标为(1,4)五、解答题 23解：（1）由题意得 233(1)22(2)222tt 解得 32t 二次函数的解析式为21322yxx （2）点(3,)Am在二次函数21322yxx 的图象上，213(3)(3)622m 点 A的坐标为(3,6)点 A在一次函数6ykx的图象上，4k （3）由题意，可得点 B，C 的坐标分别为(1,0)，(3,0)平移后，点 B，C 的对应点分别为(1,0)Bn，(3,0)Cn 将直线46yx平移后得到直线46yxn 如图 1，当直线46yxn 经过点(1,0)Bn 时，图 1 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 图象 G（点B除外）在该直线右侧，可得23n；如图 2，当直线46yxn 经过点(3,0)Cn 时，图象 G（点C除外）在该直线左侧，可得6n 由图象可知，符合题意的n的取值范围是 23n6 24解：（1）补全图形，见图 1；CDB=30；（2）猜想：90CDB 证明：如图 2，连结 AD，PC BA=BC，M 是 AC 的中点，BMAC 点 D，P 在直线 BM 上，PA=PC，DA=DC 又 DP 为公共边，ADPCDP DAPDCP，ADPCDP 又 PA=PQ，PQ=PC DCPPQC DAPPQC 180PQCDQP，180DAPDQP 在四边形 APQD 中，180ADQAPQ 2APQ，图 1 图 2 图 2 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 1802ADQ 1902CDBADQ （3）的范围是 4560 25解：（1）点B的坐标是（0,2）或（0,-2）；（写出一个答案即可）点A与点B的“非常距离”的最小值是1 2（2）过点 C 作 x轴的垂线，过点 D 作 y轴的垂线，两条垂线交于点 M，连结CD 如图 1，当点 C 在点 D 的左上方且使CMD 是等腰直角三角形时，点C与点D的“非常距离”最小理由如下：记此时点C所在位置的坐标为003(,3)4xx 当点C的横坐标大于0 x时，线段 CM 的长 度变大，由于点C与点D的“非常距离”是线段 CM 与线段 MD 长度的较大值，所以 点C与点D的“非常距离”变大；当点C的横 坐标小于0 x时，线段 MD 的长度变大，点C与 点D的“非常距离”变大所以当点C 的横坐标等于0 x时，点C与点D的“非常距离”最小 03=3 14CMx ，0MDx，CM=MD，0033 14xx 解得 087x 点C的坐标是8 15()7 7，=CMMD 87 图 1 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 当点C的坐标是8 15()7 7，时，点C与点D的“非常距离”最小，最小值是87 如图 2，对于O上的每一个给定的点 E，过点 E 作y轴的垂线，过点 C 作x轴的垂线，两条垂线交于点 N，连结CE由可知，当点C 运动到点E的左上方且使CNE是等腰直角三角形时，点C与点E的“非常距离”最小当点 E 在O上运动时，求这些最小“非常距离”中的最小值，只需使CE 的长度最小因此，将直线334yx沿图中所示由点 C 到点 E 的方向平移到第一次与O有公共点，即与O在第二象限内相切的位置时，切点即为所求点 E 作EPx轴于点 P设直线334yx与 x轴，y轴分别交于点H，G 可求得4HO，3GO，5GH 可证 OEPGHO OPEPOEGOHOGH 1345OPEP 35OP，45EP 点E的坐标是 3 4(,)5 5 设点 C 的坐标为3(,3)4CCxx 34=345CCNx ，35CNEx ，343 3455CCxx 解得 85Cx 点C的坐标是8 9()5 5，CN=NE=1 图 2 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 当点C的坐标是8 9()5 5，点E的坐标是3 4(,)5 5时，点C与点E的“非常距离”最小，最小值是 1