《九章算术》教案 高中数学人教A版课标版 数学史选讲教案.docx

二 九章算术教案 教学目标：1.学生通过九章算术的学习，了解九章算术是人类数学的重要起源之一，认识数 学发生发展的必然规律。学情分析：数学发展的历史是一部内容丰富、思想深刻的历史。数 学文化是人类文化的重要组成部分。在教育部颁布的普通高中数学课程标准中，有四个 地方用较大的篇幅谈到数学文化，对学生学习数学文化也提出了具体的教学要求。但同学们 对此却没有引起足够的重视，更没有进行主动的学习和深入的研究。因此，教者想精心选取 以数学文化为背景的高考题作为切入点，通过从文化的视野来解读一道数学高考问题，来唤 起同学们对数学文化的重视，认识到学习数学文化的重要性和必要性，从而对数学文化进行 主动学习和探究，提高数学文化素养。重点难点：精心选取以数学文化为背景的高考题作为 切入点，挖掘高考题背后的数学文化内容，并加以生动的阐述和提炼，通过生动、丰富的事 例，讲解一些重要的代表人物及主要事迹，让学生深受教育和启发，进而转化成学生学习数 学的激情和力量。教学过程4.1 教学活动【导入】引入高考问题1.【引入高考问题】 2011年湖北高考数学（理）试题第13题 九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【讲授】九章算术2.什么是九章算术? 九章算术成书于西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，九章算术的内容十分丰 富，原作有插图，今传本已只剩下正文了。 九章算术的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、 补充而成的集体创作结晶。 它是一本综合性的历史著作，承袭先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经过许多学者的刪补 最后成书。它是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体 系。 九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经书中最重要的一种。 3.九章算术有哪些内容? 九章算术主要采用问题集的形式，全书246个问题。主要涉及算法方面，代数方面，几 何方面。其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一 题一术，有的是多题一术或一题多术。 这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程 及勾股九章 。 4.九章算术九章的主要含义分别是指什么? 第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：按比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题 九章算术又可分成算术、代数和几何三部分。 一、算法方面 1）、分数四则运算法则：在九章算术“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约 分和通分运算法则。 2）、比例算法：在九章算术粟米、衰分、均输诸章集中讨论比例问题。并提出“今有术” 作为解决各类比例问题的基本方法。今有术相当于我们现在的 则 ，其中a称为所有率，b 称为所求率，c称为所有数，x称为所求数。 3）、盈不足术：“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的 方法。 九章算术中典型的盈亏类问题： 【算一算】今有共买物，人出八、盈三；人出七、不足四。问人数、物价各几何？ 答曰：七人，物价53钱。 方程思想:设二元,立方程组求解. 盈不足术也可以用来解决不属于盈亏类的问题。 二、代数方面 1）、方程术：即线性联立方程组的解法。 【算一算】今有上禾（上等黍sh 米）三秉(bng )，中禾二秉，下禾一秉，实(打出的粮食） 三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。问上、中、下实一秉各几何？ 解：设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z斗 则解方程组 不过在九章算术中没有表示未知数的符号，而是用算筹将x，y，z的系数和常数项排列 成一个方阵，消元的过程想当于现在矩阵中的初等变换。 2）、正负术 在九章算术的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元（即用加减消元法解一次方程组）时， 可能出现减数大于被减数的情形， 于是在“方程”章中提出了正负术，即正、负数的加减运 算法则。 法则：同名（同号）相除，异名（异号）相益，正无入负之，负无入正之，其异名相除， 同名相益，正无入正之，负无入负之。 也就是我们现在用的正负数和零之间的运算，前四句为减法法则，后四句为加法法则。 3）、开方术 九章算术“少广”章有“开方术”和”开立方术”，给出了开平方和开立方的算法。开方术本 质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。 九章算术开方术实际上包含了二次方程的 数值求解程序，称为“开带从平方法”。而且 在九章算术中还指出了存在有开不尽的情形：若开之不尽者，为不可开。 三、几何方面 九章算术中方田，商功，勾股三章处理几何计算，其中“方田”讨论面积问题，多与农田 测量有关。“商功”讨论体积计算，主要涉及工程土方计算。“勾股”则是关于勾股定理的应用。 1）.九章算术给出的所有直线型的面积，体积的公式都是正确的。 2）.与欧几里得原本中将代数问题几何化相反，九章算术中将几何问题算术化和代 数化。 【算一算】今有邑 yì 方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西 行一千七百七十五步见木问邑方几何? 在“勾股”章中的解法根据相似比列方程解一个二元一次方程 答案：小城的边长为250步 5.九章算术有何历史影响? （1）、九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作。 （2）、其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造。 （3）、在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则。 （4）、现在中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大体相同。 （5）、注重实际应用是九章算术的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉 伯，甚至经过这些地区远至欧洲。 九章算术是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志 着中国古代数学体系的形成 教育部：新课标建议将九章算术列入数学教材。 6.九章算术注 九章算术注作者-刘徽 刘徽是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年刘徽出身平民，终生未 仕，被称为“布衣”数学家 刘徽在童年时代学习数学时，是以九章算术为主要读本的，成年后又对该书深入研究， 于公元 263 年左右写成九章算术注，刘徽自序说：“徽幼习九章，长再详览观阴阳 之割裂，总算术之根源探赜zé之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注” 刘徽在研究九章算术的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法 予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想九章算术注是刘徽留给后世的十分珍贵 的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作 刘徽还著有重差一卷，专讲测量问题他本来把重差作为九章算术注的第十卷， 唐代初年改为单行本，并将书名改作海岛算经，流传至今 从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深 入，堪称数学史上的一代楷模 【活动】回顾小结7.回顾小结： 从文化的视野来解读上述数学高考问题，您从中感受和学习到隐藏在问题背后的有关数学文 化的内容有哪些？对提高您的数学文化素养有何帮助？ 【作业】思考与拓展8.作业：思考与拓展 1）.简述九章算术的内容和作用。 2）.上网查阅几何原本，与九章算术进行对比学习，并谈谈你的感受。 二 九章算术 课时设计 课堂实录二 九章算术 第一学时教学活动【导入】引入高考问题1.【引入高考问题】 2011年湖北高考数学（理）试题第13题 九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【讲授】九章算术2.什么是九章算术? 九章算术成书于西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，九章算术的内容十分丰 富，原作有插图，今传本已只剩下正文了。 九章算术的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、 补充而成的集体创作结晶。 它是一本综合性的历史著作，承袭先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经过许多学者的刪补 最后成书。它是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体 系。 九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经书中最重要的一种。 3.九章算术有哪些内容? 九章算术主要采用问题集的形式，全书246个问题。主要涉及算法方面，代数方面，几 何方面。其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一 题一术，有的是多题一术或一题多术。 这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程 及勾股九章 。 4.九章算术九章的主要含义分别是指什么? 第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：按比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题 九章算术又可分成算术、代数和几何三部分。 一、算法方面 1）、分数四则运算法则：在九章算术“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约 分和通分运算法则。 2）、比例算法：在九章算术粟米、衰分、均输诸章集中讨论比例问题。并提出“今有术” 作为解决各类比例问题的基本方法。今有术相当于我们现在的 则 ，其中a称为所有率，b 称为所求率，c称为所有数，x称为所求数。 3）、盈不足术：“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的 方法。 九章算术中典型的盈亏类问题： 【算一算】今有共买物，人出八、盈三；人出七、不足四。问人数、物价各几何？ 答曰：七人，物价53钱。 方程思想:设二元,立方程组求解. 盈不足术也可以用来解决不属于盈亏类的问题。 二、代数方面 1）、方程术：即线性联立方程组的解法。 【算一算】今有上禾（上等黍sh 米）三秉(bng )，中禾二秉，下禾一秉，实(打出的粮食） 三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。问上、中、下实一秉各几何？ 解：设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z斗 则解方程组 不过在九章算术中没有表示未知数的符号，而是用算筹将x，y，z的系数和常数项排列 成一个方阵，消元的过程想当于现在矩阵中的初等变换。 2）、正负术 在九章算术的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元（即用加减消元法解一次方程组）时， 可能出现减数大于被减数的情形， 于是在“方程”章中提出了正负术，即正、负数的加减运 算法则。 法则：同名（同号）相除，异名（异号）相益，正无入负之，负无入正之，其异名相除， 同名相益，正无入正之，负无入负之。 也就是我们现在用的正负数和零之间的运算，前四句为减法法则，后四句为加法法则。 3）、开方术 九章算术“少广”章有“开方术”和”开立方术”，给出了开平方和开立方的算法。开方术本 质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。 九章算术开方术实际上包含了二次方程的 数值求解程序，称为“开带从平方法”。而且 在九章算术中还指出了存在有开不尽的情形：若开之不尽者，为不可开。 三、几何方面 九章算术中方田，商功，勾股三章处理几何计算，其中“方田”讨论面积问题，多与农田 测量有关。“商功”讨论体积计算，主要涉及工程土方计算。“勾股”则是关于勾股定理的应用。 1）.九章算术给出的所有直线型的面积，体积的公式都是正确的。 2）.与欧几里得原本中将代数问题几何化相反，九章算术中将几何问题算术化和代 数化。 【算一算】今有邑 yì 方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西 行一千七百七十五步见木问邑方几何? 在“勾股”章中的解法根据相似比列方程解一个二元一次方程 答案：小城的边长为250步 5.九章算术有何历史影响? （1）、九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作。 （2）、其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造。 （3）、在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则。 （4）、现在中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大体相同。 （5）、注重实际应用是九章算术的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉 伯，甚至经过这些地区远至欧洲。 九章算术是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志 着中国古代数学体系的形成 教育部：新课标建议将九章算术列入数学教材。 6.九章算术注 九章算术注作者-刘徽 刘徽是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年刘徽出身平民，终生未 仕，被称为“布衣”数学家 刘徽在童年时代学习数学时，是以九章算术为主要读本的，成年后又对该书深入研究， 于公元 263 年左右写成九章算术注，刘徽自序说：“徽幼习九章，长再详览观阴阳 之割裂，总算术之根源探赜zé之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注” 刘徽在研究九章算术的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法 予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想九章算术注是刘徽留给后世的十分珍贵 的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作 刘徽还著有重差一卷，专讲测量问题他本来把重差作为九章算术注的第十卷， 唐代初年改为单行本，并将书名改作海岛算经，流传至今 从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深 入，堪称数学史上的一代楷模 【活动】回顾小结7.回顾小结： 从文化的视野来解读上述数学高考问题，您从中感受和学习到隐藏在问题背后的有关数学文 化的内容有哪些？对提高您的数学文化素养有何帮助？ 【作业】思考与拓展8.作业：思考与拓展 1）.简述九章算术的内容和作用。 2）.上网查阅几何原本，与九章算术进行对比学习，并谈谈你的感受。