第二课时 对数的运算性质（二）.docx
第二课时 对数的运算性质(二)课标要求素养要求1 .理解积、商、得的对数，能进行简单 的对数运算.2 .知道对数的换底公式，能将一般对数 转化为自然对数和常用对数，并能进行 简单的化简、计算.通过掌握对数的运算性质及换底公式， 用对数的运算性质进行化简求值，进一 步提升数学抽象与数学运算素养.通过 用对数解决实际问题，提升数学建模素 养.课前预习r知识探究自主梳理换底公式logaN=% 其中。>0, a中 1, N>0, c>0, cWl.特别地 logc，log/2“=I(Q>0 且 , b>Q且。点睛换底公式中的底数c有什么要求？换底公式中的底数C可以是大于0且不等于1的任意数.自主检验1 .思考辨析，判断正误1(l)log52 = log25.(X)提示1奥52二去.Iog23 3 忘=l°g2/(X)提示log23Iog25=log53.(3)logQM+log/=log(MAO(M>0, N>0).( X) 提示底数都为。才是正确的.(4)log32.1og23=l.( V)A-=log4, 7=log/v6, -=log/v9, log/v4+log/v9 = 21og6,即;+7=豆，CvLZV-Czt L LZ/. bc-ab=2ac.12 .已知log74 =。，贝lj 10g4948 =（用含a, b的式子表示）.答案q-2b2解析 IjJ =3.贝I Q = log与=log73,又 b = log74,log748 log7 (3X16)log73 + 2log74 a+2。-log4948=log749 = -j-2 =2.13 .已知 x, y, z 为正数，3V=4V=6S 2x=py.(I)求的值；什口口 I I I(2)证明：7-=.解 设 3、=4)'=6z=Z(显然 k>0且 k¥l),则 X=log3%, y=log4鼠 z=log6k由 2x=py得 210g3/:=plog4：=p器因为 log3左WO,所以 P=21og34=41og32.证明由(1)知:一=氤一氤=1。以6log%3=log立=,ogM=药所以原式得证.创新拓展I14 .已知1g "和1g 是关于的方程f 一%+m=0的两实根，且关于x的方程x2- (l+lga)=O有两个相等实数根,求实数a,1和加的值.pgtz+lgZ?=l解 由题意得 lga，lgZ?="z,I (lg a)2+4 (1+lg a) =0,由得(lga+2)2=0,所以 lga=12.代入，得1g人=1lg。=3；代入,得 m=lg a-lg Z?=( 2)X3 = 6.所以。=0.01, b= 000, m=6.2.计算Iog225log32也log59的结果为（）A.3B.4C.5答案D解析璋弋=馆25 1g 2也值£解析原式一ig 2. 1g 3 1g 5321g 5 3g 2 21g 3-lg2'lg3'lg5-6-3若 lg5=m lg7=b,用 a, 3 表示 log75=(A.abB.a-bD.6h c.一 a答案D解析10875=信=%4.若log油log3Q=4,则b的值为答案81解析gbga gblog向。g3=gig3=ig3=4,所以 Ig=41g3=lg3、所以 6=34=81.课堂互动题型剖析题型一换底公式的直接应用例 1(l)log29-log34=()1 a-4C.2D.4)D.3A.log54B. 310g52C.2答案(1)D (2)D解析（1）原式=Ig91g4_21g3 21g2_Ig2ig3lg2.lg3 4 （2）原式=log28 = 3.思维升华 换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数.【训练 1】 计算：(log43+Iogs3)log32=.答案1解析原式=(康+康)og32=(21og32+31og32)°g32=2+3=标题型二有附加条件的对数式求值问题21例2 设3“=4"=36,求公+g的值;(2)已知 2x=3)'=5z,且(+-+:=1,求 x, y, z.解(1)法一 由3。="=36,得=log336, b=log436,由换底公式得(=10g363, 1=log364,2 121og363 + Iog364 = log3636 = 1.法二由3="=36,两边取以6为底数的对数，得«log63 = Z?log64=log636=2,.21 1/=log63, g=/log64 = log62, 2 1 7+g = log63 + log62 = log66 = 1.(2)令 23，=52=4(*0), x=log2%, y=log3%, Z=log5%,1=logk2, J=log%3, 7=logA5,人y乙,1,11由 +_+-=1, x .y z得 logz2+log攵3+log» = log攵30 =1,Z=30,x=log230=l+log215, y=log330=l+log310, z=logs30= 1 +log56.思维升华 利用对数式与指数式互化求值的方法在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.对于连等式可令其等于Z(QO),然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可 将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.【训练2】(1)已知3=5"=M,且+"=2,则/=(2)若实数匕满足2。=5=10,则下列关系正确的是()2 , 1az+L1 , 1Bi+厂1答案(l)M%Q)B解析 由 3。=5"=，得。=log3"，Z?=log5M,b logA/3 + logA/5 10gMi 5 2,(2)2=510, .-.=log210, Z?=log510, .-=lg2,1=lg5, A+1=lg2 + lg5 = lg 10=1,故选 B.题型三用代数式表示对数【例3】已知3gl89=，18"=5,用曲。表示log3645.解 V 18=5,，logi85=b.又 logi89=o,于是 log3645 =logi8 (9X5)Iogi89 + logi85j_8 21ogisl8logis9 2-a 10gl8 9思维升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.【训练 3】 若 ln2=，ln3 = Z?,则 log418 = ()a3ba3bB- 2aa2b c丁a-2bD-2a(2)已知 log23 = 6z, log37 = Z?,用 q, b表示 log4256.(1)答案D名刀上In 18 In (2X32)In2 + 21n3 a+2b斛析 log418=-=一而i =21n 2=-(2)解 Vlog23 = a,，log32,又 log37 = b,力+之.log356_ log3 (7X8)Iog37 + 31og32aab+3 k)g4256=iog342 = iog3(7X2X3) =log37 + log32+1 7+,十1 a题型四对数的实际应用【例4一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的：？(结果保留整数，1g 20.301 0, 1g 3-0.477 1)1尤1解 假设经过x年，该物质的剩余量是原来的;.由题意可知=东._ 、 1. 一坨3 _33 _0.477 1,x=log3=ig 31g 4=lg 3 21g 270。77 1 0002。2力 g4故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的！思维升华解决对数应用题的一般步骤【训练4大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鞋鱼的游速可以表示为函数。=3og3磊，单位是m/s,。表示鱼的耗氧量的单位数. 乙 JL UU当一条鱼圭鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鞋鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？解 (1)由O = $0g3备可知，当 8=900 时，y=|log3j=|log39= l(m/s).所以当一条姓鱼的耗氧量是900个单位时， 它的游速是1 m/s.(2)设鞋鱼原来的游速、耗氧量分别为仇, 提速后的游速、耗氧量分别为。2, 02.由02 01 = 1,所以耗氧量的单位数为原来的9倍.课堂小结1 .记牢1个知识点 换底公式.2,注意2个问题运用换底公式注意成立条件.(2)根据不同问题选择公式的正用或逆用.分层训练rI基础达标I一'选择题1 .若 10g5；10g3610g6%=2,贝lj X=()A.9B、C.25D.T7yzd答案D1解析由题意知i|翳爵一图=2,素养提升.="L X25.2.已知2。=3"=岚ZW1),且2+b=H,则实数攵的值为( )A.6B.9C.12D.18答案D角星析 2" = 3b=k(k¥ 1),:a = log2%, b=log3%,：=log&2, 7=log3.2a-rb=ab,1 - +-2-力210gz3 + logz2=log9+logA2 = log" 8 = 1, .k= 18.3.设 log23=Q,log215=。,则 k)g八回5 =(3+Z?'2ba2ab3a+bC2a-bD2一方答案A解析log加9y=10g29/j21og2510g25- log25+|log232。+； (log215log23) 2。+； (Z7tz)log215 lob-a3ab2ba4.1og916-logs81=(1A.18B48答案解析Iog9164ogs81 =1g 161g 81 41g 2 41g 3lg9-lg8-21g3 31g2-3-5.设q, 4。均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A. log。万 logcb = logo"B.10gf/?d0gc6Z = 10gc/?COg，C)= 0gab-0gaCD.logaS +。= log。" + log。答案B的士二 1 小,lg 1g 方/ 祐 A 槌、口 1 入 1 lg 1g lg i , 斛析 log滴log(Z?=g g cWlogcQ,故 A 错 1天；log滴logcQ=g qg c = g c=log也B正确；C, D显然错误.二、填空题6.若 2。=3, Z?=logs2,则 ah=答案1 I,3"+3一=解析 2。=3,，a=log23,ab=Iog23log32=Iog23hg23 =1，3/?+3-31og32 + 3log32 = 2+5=5.7.若 xlog32= 1,贝I4%+4-%=令上 82答案V解析因为x1r 21210g23=9+§ =I9记彘=10g23,所以 4、+ 4=2益+2-2、= 221哨3 + 2-21喷3 = 2脸32 +82五8.已知 log32=m,则 log3218 =小上 m-2答案F（用m表示）.解析 10g3218 log318 log3 (2义3)log32+2 加+2log332- log325510g325m .三、解答题9.计算：(I)log89k)g2732；(2)(log25 + log40.2)(log52+log250.5).铤 谆弋 3至型=21g 3 51g 2=12 廨 原式一但 8-lg 27-31g 2 31g 3- 9 .(2)原式=(log25+log2202)(log52+log520.5)=lolo1 1=(log25 + log20.2J(log52+log50.5J= log2(5X0.21)-log5(2X0.5；)ii=log2(5 x 5-Qlog5(2 X 2一D -3 1怛5 lg2 1-log2524og522-21g 221g 5一中 1。.(1)已知 10gl227 = Q,求 log616 的值;(2)计算(log2125+log425+Iogs5)(log52+log254+log 1258)的值.解(1)由 logi227=m 得1g 2731g 3lgl2 = 21g2+lg3=6Z,3ci“2=Rg3 log616 lgl6 41g 2lg6 Ig2 + lg34乂丁馆3 4 (3)3a,3+i弁 Ig3 + lg3（2）法一原式=,125十1g 4lg4 lg8lg 25 十 1g 125近2包皑 十 21g 5 十 31g 5）= 13.131g 5 31g 2一 (lg 2 十21g 2十31g 2人 1g 5法二 原式=(log253+ log2252 + log2351 )-(log52 + 10g5222 + 10g5323)=31og25+log25Iog52 + log52 + log52)=(3+1 +|jlog25-(31og52)=y X 3 = 13.能力提升11 .（多选题）设m b, c都是正数，且4。=6=，那么（）A.ab-bc=2acB.ab-bc=ac+b1D-c_2_1b a答案AD解析 令 4"=6"=9，=N(显然 N>0 且 NW1),贝I =log4N, b=log(N, c=loggN,
