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1 第六章线性空间练习题参考答案一、填空题1.已知0000, ,00Vabca b cRcb是3 3R的一个子空间，则维（ V）3， V 的一组基是000000000100 , 100 , 010000010010. 2在 P4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1, , 1,1),(0,1,1)kk线性无关，则 k 的取值范围是3k（以1234,为行或者列构成的行列式不为零） . 3 已知a是数域 P 中的一个固定的数，而1( ,),1,2, niWa xxxP in是 Pn+1的一个子空间，则a0，而维 (W)n4维数公式为12dimdimVV1212dim()dim()VVVV. 5 设123,是线性空间 V 的一组基，112233xxx， 则由基123,到 基231,的 过 渡 矩 阵 T 00 1100010， 而在 基321,下 的 坐 标 是321(,)xxx由基123,到基233112,的过渡矩阵为 T01 110 1110. 6 数域 P 上n级对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n维线性空间，数域 P 上n级反对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n维线性空间， 数域 P 上n级上三角矩精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 2 阵全体构成数域 P 上(1)2n n维线性空间，数域 P 上n级对交矩阵全体构成数域P 上n维线性空间，数域 P 上n级数量矩阵全体构成数域P上 1 维线性空间 . 二、判断题1.设n nVP，则,0n nWA APA是 V 的子空间 . 错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此 W 中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）2.已知(,), , ,Vabi cdia b c dR为 R 上的线性空间，且维 (V）2. 错.是子空间，但是是4 维的，其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)ii. 3.设,n nA BP，V 是0AXB的解空间， V1是 AX 0 的解空间， V2是(AB)X 0 的解空间，则12VVV. 正确 . 12VV中的向量既满足AX 0，又满足 (AB)X0，因此也满足BX 0，即满足0AXB，即为 V 中的向量 .反之， V 中的向量既在1V中，又在2V中，即为12VV中的向量 .因此12VVV. 4.设线性空间V 的子空间 W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,s线性表出，则维 (W)s. 正确.根据定理 1. 5.设 W 是线性空间V 的子空间，如果,V但,WW且则必有.W错误.可能.W如取,为一对互为负向量，则0.W6. 0|),(33321xRxxxW是3R 的子空间 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 3 正确. 基为（ 1,0,0） ， （0,1,0） ，维数为 2. 7. 1|),(23321xRxxxW是3R 的子空间 . 错误.不包含零向量 . 8.|),(3213321xxxRxxxW是3R 的子空间 . 正确.基为（ 1,1,1） ，维数为 1. 9.|),(3213321xxxRxxxW是3R 的子空间 . 正确. 基为（ 1,1,0） ， （1,0，-1） ，维数为 2.三、计算题1. 求所有与A可交换的矩阵组成的nnP的子空间()C A的维数与一组基，其中100020003A. 解：设矩阵3 3()ijBb与A可交换，即有 ABBA . 即111213111213212223212223313233313233100100020020003003bbbbbbbbbbbbbbbbbb. 111213111213212223212223313233313233232222333323bbbbbbbbbbbbbbbbbb. 所以有,()0, ,1,2,3.ijijijibb jij bi j当 ij 时，0ijb，因此11223300()0000bC Abb维数为 3，基为112233,EEE. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 4 2.在线性空间 P4中，求由基1234,到基1234,的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)在基1234,下的坐标，其中1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),( 3,2,1,0),(2,3,2,1)1234(1,1,8, 3),(0, 3,7, 2),(1,1,6, 2),( 1,4,1,1).解：令过渡矩阵为 T ，则有10111432131401238761001232210001T因此11432101123798012313146331001287612321000132213221T. 令123411432401232001230001xxxx112341432114113611010123401274210012200122400013000133xxxx(1,4,2,3)在基1234,下的坐标为（ -101,21，-4,3）四、证明题1.V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12()(),()(),()( ),()()WfxfxVfxfxWfxfxVfxfx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 5 证明： W1、W2皆为 V 的子空间，且12.VWW证明： W1、W2 分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然W1、W2均为非空的 .由奇偶函数的性质可得W1、W2皆为 V 的子空间 . ( )()( )()( ),( )22fxfxf xfxfxVfx. 而12( )()( )(),22f xfxf xfxWW，因此12.VWW又120.WW所以12.VWW2.设 W 是 Pn的一个非零子空间，若对于W 的每一个向量12(,)naaa来说，或者120naaa，或者每一个i都不等于零，证明：维 (W)1. 证明：由 W 是 Pn的一个非零子空间，可得W 中含有非零向量设1212(,),(,)nnaaab bb是 W 中的任二个非零向量，由题意可得每一个,iia b都不等于零 .考虑向量11112112121211(,)(,)(0,)nnnnbab a aaa b bbb aa bb aa bW.由题设条件有1212110nnb aa bb aa b， 即有1212nnaaabbb.即 W 中的任二个非零向量均成比例，因此维(W)1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -