(完整版)等比数列前n项和性质的证明及应用.pdf

一个等比数列前 n 项和性质的完善及应用黄文宪福建省南安市新营中学摘要：本文所指等比数列的前n 项和性质是指 Sm, S2m- Sm, S3m- S2m之间的关系，这也是中学数学中常用又常错的命题。很多的课外辅导材料中所给的相关性质都是不完善的，应用该性质解题存在着逻辑上的缺陷，但又不易察觉。本文对该性质进行了完善与发展，使得利用该性质解题能完整无误。关键词：等比数列前项和性质完善应用在很多的高中数学辅导材料中，都有关于等比数列前n项和一个性质：在等比数列 an中，若其前 n 项和为 Sn，m N?, 则Sm, S2m- Sm, S3m- S2m也成等比数列，公比为 qm。由于等差数列前n 项和有相类似性质的存在，虽然没有严格的证明，但在惯性思维作用下，这个性质得到广大师生的认同。其实，这是一个假命题，比如有穷等比数列1 ,-1 ,1 ,-1 ,1 ,-1的前两项和、中两项和及后两项和 , 组成的数列为 0 ,0 ,0 ，显然不成等比数列。这说明，至少在公比q =-1 时，命题是不成立的。那么，该性质应如何表述才恰当呢？1.1 等比数列前 n 项和性质及其证明等比数列前 n 项和性质：在等比数列 ?中，其前 n 项和为 ?，?，则(?- ?)?= ?(?- ?)。证明：在等比数列 an中，前 n项和为 Sn，设公比为 q (q 0) , 则Sm= a1+ a2+ ? +amS2m- Sm= am+1+ am+2+ ? a2m=qm(a1+ a2+ ? +am)S3m- S2m= a2m+1+ a2m+2+ ? a3m=q2m(a1+ a2+ ? + am)当q -1 时，Sm= a1+ a2+ ? +am0，由得S2m-SmSm= qm由得S3m-S2mS2m-Sm= qmS2m-SmSm=S3m-S2mS2m-SmSm ,S2m- Sm ,S3m- S2m是等比数列，即有 (S2m- Sm)2= Sm?(S3m- S2m)。当q = -1 时若m为偶数，则 Sm= a1+ a2+ ? +am= 0，S2m- Sm= am+1+ am+2+ ? a2m=qm(a1+ a2+ ? +am)=0 S3m- S2m= a2m+1+ a2m+2+ ? a3m=q2m(a1+ a2+ ? + am)=0 此时， Sm,S2m- Sm,S3m- S2m不成等比数列，但有 (S2m- Sm)2= Sm?(S3m- S2m)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 若m为奇数，则 Sm= a1+ a2+ ? +am= am= a1qm-1= a1，S2m- Sm= am+1+ am+2+ ? a2m= a2m= a1?q2m-1= -a1S3m- S2m= a2m+1+ a2m+2+ ? a3m= a3m= a1?q3m-1= a1a10, Sm,S2m- Sm ,S3m- S2m成等比数列，即有 (S2m- Sm)2= Sm?(S3m- S2m)综上所述，在等比数列 an中，其前 n 项和为 Sn，m N?则(S2m- Sm)2= Sm?(S3m- S2m)。1.2 等比数列前 n 项和性质应用错析有了等比数列前n 项和性质，可以直接用它来解题了吗？先看以下一道试题几个学生的不同解法：人教 A 版教辅优化设计 P42，试题 7：等比数列 an的前 n 项和为 Sn，S2= 3，S6= 63，则S4=_ 学生甲：由等比数列前n 项和的性质有： （S4- S2）2= S2（S6- S4）所以（ S4- 3）2= 3 （63 - S4）S42- 3S4- 180 = 0S4= 15或S4= -12学生乙：显然公比 q 1，由等比数列的前n 项和公式得a1(1 - q2)1 - q= 3 a1(1 - q6)1 - q63 得 1 + q2+ q4= 21解得q2= 4 或q2= -5 （舍去）q = 2 或 q = -2a1= 1q = 2或 a1= -3q = -2当 a1= 1q = 2时，S4=a1(1-q4)1-q= 15当a1= -3q = -2时，S4=a1(1-q4)1-q=15 综上所述， S4= 15. 学生丙：由已知 S2= 3，S6= 63得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - a1+ a2= 3 a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6= 63 得1 + q2+ q4= 21解得q2= 4 或q2= -5 （舍去）S4= a1+ a2+ a3+ a4=(a1+ a2) + (a1+ a2)q2= 3 + 3 4 = 15所以 S4= 15. 观察对比几位同学的解法会发现，直接利用等比数列前n项和性质解题，可能会产生增根，从而得出错误结果。甲同学的解答得出的S4= -12 对应于乙同学和丙同学解答时得到的q2= -5 ，等比数列不存在。所以性质“在等比数列an中，其前 n 项和为Sn，m N?则(S2m- Sm)2= Sm?(S3m- S2m)”的题设是结论的充分不必要条件，即在等比数列中，其前 n 项和为 Sn，m N?则(S2m- Sm)2= Sm?(S3m- S2m)一定成立，但满足 (S2m-Sm)2= Sm?(S3m- S2m)的Sm，S2m，S3m不一定是一等比数列的前 m，2m，3m项和。所以探究等比数列中前 m，2m，3m项和的内在联系成为该性质应用的必然。1.3 等比数列前 n 项和性质分析完善因为Sm= a1+ a2+ ? +amS2m= a1+ a2+ ? +am+ am+1+ am+2+ ? a2m= （1 + qm）SmS3m= a1+ a2+ ? +am+ am+1+ am+2+ ? a2m+ a2m+1+ a2m+2+ ? a3m= (1 + qm+ q2m)Sm= （12+ qm）2+34Sm, 所以m为偶数时， 1 + qm 1，则Sm，S2m同号且 Sm 0所以 Sm与S3m必同号。因此，等比数列前n 项和性质应表述为：在等比数列 ?中，其前 n 项和为 ?，?则(?- ?)?= ?(?- ?)，（当?为偶数时， ?，?同号且 ? ?）。1.4 等比数列前 n 项和性质解题应用例 1、若某等比数列中前7 项和为 48，前 14项和为 60，则前 21 项和为 _. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 解：m = 7为奇数， S7= 48，S14= 60，由关系式 (S14- S7)2= S7?(S21- S14)可得144=48(S21- 60)，所以 S21= 63. 例 2、在等比数列 an中，S2= 7，S6= 91，求S4解：由 (S4- S2)2= S2?(S6- S4)得S42- 7S4- 588 = 0解得S4= 28或S4= -21因为m = 2为偶数， S2、S4同号且 S2 S4，所以 S4= 28。例 3、已知 等比数列 an中，前 20项和S20= 30，前 30 项和S30= 70，求前 10 项S10。解：由 (S20- S10)2= S10?(S30- S20)得S102- 100S10+ 900 = 0解得S10= 10或S10= 90因为m = 10为偶数， S10、S20同号且 S10 S20，所以 S10= 10。例 4：已知 等比数列 an中，m N?，前2m项和S2m= 30，前3m项和S30= 70，求前 m项Sm。解：由 (S2m- Sm)2= Sm?(S3m- S2m)得Sm2- 100Sm+ 900 = 0解得Sm= 10或Sm= 90当m为偶数时， Sm、S2m同号且 Sm S2m，Sm= 90不合题意，舍去，所以 Sm=10。当m 为奇数时， Sm= 10或Sm= 901.5 反思感悟在中学数学课程中，有很多知识之间联系很紧密，知识的生成过程中经常可进行类比，这种推理因其“合乎情理”而有利于学生的接受，促进了学生的学习发展。等差数列和等比数列关系紧密，两者之间在定义、通项公式、性质等各方面进行类比是教学过程中常态。由“等差数列 an中，其前 n 项和为 Sn，m N?则Sm，S2m- Sm，S3m- S2m也成等差数列”类比得出“等比数列 an中，其前 n 项和为 Sn，m N?则Sm，S2m- Sm，S3m- S2m也成等比数列”是一个很自然的过程。但合情推理不是逻辑推理，其所得结论并不一定为真。类比所得结果必须进行逻辑证明是克服学生惯性思维引起错误的有效方法。在中学数学课程中，有很多的性质、定理、推论。这些性质、定理、推论中，有一些的题设与结论是不等价的，或者说题设是结论的充分不必要条件。除了本文研究的等比数列前n项和性质外，还有很多，比如：函数单调性与函数导数符号关系函数的极值点与函数导数值关系不等式的同向可加性、同向可积性精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 在利用这些性质、定理、推论、解题变形时，要注意解题的等价性，防止可能产生的错误。数学是严密的，在利用有关的数学知识解题时，一定要注意逻辑关系的等价性，思维过程的严密性。培养学生逻辑思维的严密性，是每一个数学教师的光荣使命。联系人：黄文宪福建省南安市新营中学邮政编码 362342 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -