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第十章曲线积分与曲面积分 10.1 对弧长曲线的积分一、判断题1若 f(x)在（-,）内连续，则badxxf)(也是对弧长的曲线积分。（）2设曲线 L 的方程为 x=)(y在, 上连续可导则Ldyyyyfdsyxf2)(1),(),(（）二、填空题1. 将Ldsyx)(22，其中 L 为曲线 x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20t化为定积分的结果是。2.Ldsyx)(= ，其中 L 为连接（ 1，0）和（ 0，1）两点的直线段。三、选择题1Ldsyx)(22=（） ，其中 L 为圆周122yx（A）02d（B）20d（C ）202dr（D）202d2Lxds=（） ， L 为抛物线2xy上10 x的弧段。（A）)155(121（B）)155(（C）121（D）)155(81四、计算Cdsyx)(，其中 C为连接点（ 0，0） 、 （1，0） 、 （0，1）的闭折线。五、计算Ldszyx)2(22，其中 L 为02222zyxRzyx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 六、计算Lndsyx)(22，L 为上半圆周：)(222NnRyx七、计算Lyxdse22，其中 L 为圆周222ayx，直线 y=x 和 y=0 在第一象限内围成扇形的边界。八、求半径为a，中心角为2的均匀圆弧（=1）的重心。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 10.2 对坐标的曲线积分一、判断题1定积分也是对坐标的曲线积分。（）2022Lyxydxxdy，其中 L 为圆周122yx按逆时针方向转一周。（）二、填空题1ydzxdyydxx2233= ，其中是从点 A（1，2，3）到点 B（0， 0，0）的直线段 AB 。2 化LdyyxQdxyxP),(),(为对弧长的曲线积分结果是其中 L 为沿xy从点 （0，0）到（ 1，1）的一段。三、选择题1 设曲线 L 是由 A （a,0 ） 到 O（0，0）的上半圆周axyx22，则Lxxdymyedxmyye)cos()sin(（）（A）0 （B）22am（C）82am（D）42am2 设 L 为20,sin,costtytx，方向按 t 增大的方向， 则Ldxxyydyx22=（）（A）20)cossinsin(cosdttttt（B）20cos2sinsinsin2sincosdttttttt（C）2021dt（D）2022)sin(cosdttt四、计算 I=AOxydydxyx)(22，其中 O为坐标原点， A的坐标为（ 1，1）1OA为直线段 y=x 2.OA为抛物线段2xy3OA为 y=0,x=1 构成的折线段。 4.OA为 x=0,y=1 的折线段。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 五、计算ydxxdyxyL22，L 是从 A（1，0）沿21xy到 B（-1 ，0）的圆弧。六、计算Lxydx，L 为圆周axyx222（a0）取逆时针方向。七、设方向依oy 轴负方向，且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量为 m的质点沿抛物线21yx，从点 A（1，0）移到 B（0，1）时力场所做的功。九、把xdyydxxL2（L 为3xy上从 A（-1 ，-1 ）到 B（1，1）的弧段）化为对弧长的曲线积分。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 10.3 格林公式及其应用一、判断题1闭区域 D的边界按逆时针即为正向。（）2 设P、 Q 在 闭 区 域D 上 满 足 格 林 公 式 的 条 件 ， L是D 的 外 正 向 边 界 曲 线 ， 则LDQdyPdxdxdyyPxQ)(（）3对单一积分LPdx或LQdy不能用格林公式。（）4. 设闭区域 D由分段光滑的曲线L 围成,P(x,y),Q(x,y)上有一阶连续偏导数，则（a）dxdyyQxPQdyPdxLD)( ( ) (b) dxdyyQxPdxyxPQdyLD)(),( ( ) (c) dxdyxudyyxQLD),( ( ) 二、填空题1 设 C是圆周922yx的正向，则Cyxdxyxdyyx224)()4(2 设 f(u) 在,(）上连续可导，沿连接点A（ 3，32）和 B（1，2）的直线段AB的曲线积分dyyyxfyxdxyyxfyAB222) 1),(),(1= 3 设有二元函数 u(x,y), 已知u(1,1)=0,且du=(2xcosy-y sinx)dx+(2ycosx-x siny)dy,则= 且u(x,y)= 4 设是由点（ 1，1，1）到点（ 2，3， 3）的直线段，则zyxzyxzdzydyxdx4222= 三、 选择题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 1设函数 f(x) 连续（ x0 ） ，对x0的任意闭曲线 C有Cdyxxfydxx0)(43且f(1)=2, 则f(x)=( ) (A)242412423xxx (B) rxexxx10242412423(C)x3 (D)xx132.设F(x,y)可微，如果曲线积分CydyxdxyxF)(,(与路径无关，则 F(x,y)应满足（ ）（A ）),(),(yxxFyxyFxy（B ）),(),(yxFyxFxy（C ）),(),(yxxFyxyFxxyy（D ）),(),(yxyFyxxFxy2.设函数f(x) 连续可微且 f(0)=-2, 曲线积分Cdyxfdxxxyfxy)()tan)(2sin(与路径无关，则 f(x)=（）（A ）xxcos34cos322（B ）x2cos2（C ）-2cosx （D ）xxcos34cos323.曲线积分dyyyxxdxyyxxC22222()(在不与X轴相交的区域上与路径无关，则=（）（A）21（B）21（C ）任意值（D ）0 4如果2222222)()2()2(yxdybxxyxdxaxxyy是某一函数 u(x,y) 的二阶微分，则a、 b满足条件u(1,1)=0的u(x,y)为（ ）（A）a=1,b=-1,u(x,y)=22yxyx (B)a=-1,b=1, u(x,y)=22yxyx(B)a=-1,b=-1, u(x,y)=222)(yxyx (D) a=-1,b=-1, u(x,y)=22yxyx5.L 是圆域D ：xyx222的正向圆周，则dyyxdxyx)()(33（）（A）2（B ）0 （C）23（D ）2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 四、 求变力2,3xyyxF将质点沿椭圆4422yx的正向转动一周所做的功。五、 利用格林公式计算。1CdyxydxxyC,22为正向圆周222Ryx2dymyedxmyyexx)cos()sin(L为点A （a,0）到点（ 0，0）的上半圆周)0(22aaxyx六、 计算CyxydxxdyI22，C为正向圆周)1(222RRyx七、 验证曲线积分)3,2()0, 0(22)sincos2()sincos2(dyyxyydxxyyx与路径无关，并求其值。八、 选取n， 使nyxdyyxdxyx)()()(22在XOY 平面上除去 X的负半轴和原点以外的开区域G内的某个函数 u(x,y)的全微分，并求u(x,y). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 10.4 对面积的曲面积分一、判断1二重积分也可看成是在平面片D 上的第一类曲面积分。（）2设连续曲面片DyxyxfZ),(),(:，则的面积为A=dxdyffdsDyx22)()(1，这与用二重积分求面积不一样。（）二、填空题1 设是圆锥面22yxZ被圆柱面axyx222所截的下部分，则dszxyzxy)(= 2 设是球面：azzyx2222，则曲面积分dszyx)(222= 三、选择题1 设为222yxZ在 XY 平面上方的曲面，则ds=（）（A）2010241rdrrd（B）2020241rdrrd（C）20202241)2(rdrrrd（D）2020241rdrrd2 设有一分布非均匀的曲面，其面密度为),(zyx，则曲面对 X 轴的转动惯量为（）（A）xds（B）dszyxx),(（C）dsx2（D）dszyxzy),)(223 设为球面2222Rzyx，则 =（）（A）24 R（B）545R（C）24R（D）R4四、计算下列第一型曲面积分。 1dsyxz)342(，其中为平面1432zyx在第一卦限的部分。2dszyx)(，为球面2222Rzyx上（)0ahhz且的部分。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 3dszyx2221，是柱面222Ryx于平面 Z=0 和 Z=h(h0) 之间的部分。4dsyx)(22，为锥面22yxZ与平面 Z=1 所围成的区域的边界曲面。五、求球面22yxzZ在柱面axyx22内部的表面积。六、求旋转抛物面222yxZ被平面 Z=2 所截的部分的质心坐标，假设其上各点的面密度为该点到Z轴的距离的平方。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 10.5 对坐标的曲面积分一、判断题1 设为2222Rzyx在第一卦限部分，则的面积为A=zxyzDzxDxyDzyyxdzdxyydydzxxdxdyzz11131222222其中zxyzxyDDD,分别为在各坐标面上投影区域。（）2因为3cosdsdsxxdydx， （为 x+y+z=1 上侧） ，所以xdxdy为第一类曲线积分。3334azdxdy，为2222azyx的外侧。（）二、填空题1ydzdxxdydzzdxdy= ，为柱面222ayx被平面Z=1 和 Z=4所截得的在第一卦限内的部分。2设为平面 3x+2y+32z=6 在第一卦限的部分的上侧，将QdzdxPdydzRdxdy化为对面积的曲面积分的结果为。三、选择题1 设流速场 1 , 0,0v，则流过球面2222azyx的流量值 =（）（A）0 （B）24 R（C）334R（D）1 2 设曲面为 Z=0，1, 1 yx，方向向下， D 为平面区域：1, 1 yx，则dxdy=（）（A）1 （B）dxdy（C）-dxdy（D）0 3 设为 Z=0（222Ryx）的上，则dxdyyx)(22=（）（A）42222RdxdyRRyx（B）42222RdxdyRRyx（D）242003RdrrdR（ D） 0 四、计算下列第二型曲面积分。1xdydzzdxdy，是平面 x+y+z=2 在第一卦限部分的外侧。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 2zdxdyydzdxxdydzyzx222)(,柱面122yx被平面 z=1 和 z=0 所截得部分的外侧。3dxdyyxeZ22，为锥面22yxZ平面 z=1 和 z=2 所围成的立体表面的外侧。五、求流速场kyi xv2穿过曲面22yxz与平面 z=1 所围成的立体表面的流量。六、已知 f(x,y,z) 连续，是平面 x+y+z=1 在第四卦限部分的外侧，计算dxdyzzyxfdxdzyzyxfdydzxzyxf),(),(2),(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 10.6 高斯公式与斯托克斯公式散度与旋度一、断题1设是球面2222Rzyx的外侧，.,为法矢的方向角。V 是所围成的立体，则dszyx)coscoscos(333=52224)333(Rdvzyxv（）2空间立体的体积 V=31zdxdyydzdxxdydz这是为的边界曲面之外侧。（）3梯度和旋度为Z，散度是向量。（）二、填空题1 设空间区域是由曲面222yxaz与平面z=0 围成，其中a 为正整数，记的表面外侧为 s，的体积为v，则dxdyxyzzdxdzxydydzyzxS)1(222。2设RxzjxyieAxy)cos()cos(2则Adiv= 。3设222lnzyxu，则)1 ,1, 1()(udgradiv= )1 ,1 , 1()(udgratro= 。二、选择题1设 f(u)具有连续导数，是曲面22zxy与228zxy所围成立体表面之外侧，则（）zdxdydzdxyxfxdydzyxfy)(1)(1=（）（A）16（B）-16（C）-8（D）因 f(u)未知，故无法确定。2设为球面2222Rzyx的外侧， 则)()(123222zdxdyydzdxxdydzzyx+（）（A）0 （B）4（C）24 R（ D）334R3设是球面2222azyx的外侧，则zdzdy=（）（A）0 （B）334a（C）34 a（D）421a三、计算zdxdydzdxzxydydzyzx2)()(22，是221yxz被 z=0 所截部分的外侧。五、计算dxdyyzyfydzdxyzyfzdydzx)(1)(1333，其中f(u)具有连续导数，是球面精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 2222Rzyx的外侧。六、算下列曲面积分。1,)()()(dxdyyxdxdzxzdydzzy为)0(222hzyxz的下侧。2yzdxdydzdxyzxdydzy4)1() 18(2其中 S 是由曲线)31(01yxyz绕 y 轴旋转而成的旋转曲面，它的法向量与y 轴的正向的夹角恒大于2。3szdxdydydzzx)2(，S 为)10(22zyxz其法向量与轴正向的夹角为锐角。七、求kxyzjxyiyzxA)()2()(222的散度和旋度。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 八、利用斯托克斯公式计算下列曲线积分。1xdzzdyydx，其中为圆周2222Rzyx，x+y+z=a,从 X 轴正向看去，这圆周是逆时针方向。2ydzdydx，其中为 x+y+z=1 在第一卦限部分的三角形周期，从Y 轴正向看去方向是顺时针的。九、流体在空间流动，流体的密度u 处处相同（设u=1）已知流速kzyjyxixzV222，求流体在单位时间内流过曲面：zzyx2222的流量 （流向外侧） 和沿曲线L：zzyx2222，z=1 的环流量（从z 轴正向看去是逆时针方向。）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -