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1 第十四讲最不利原则在生活中，要保证完成某一个任务，必须考虑最不利条件。只有用最不利条件下也能实现的做法，才可以使这个任务必能完成，这就是解决问题时要采用的最不利原则。因此，必须全面分析给定的条件，分析最不利的因素，然后选用万无一失的方法。 本讲运用学生已有的数学工具（如枚举法、 余数的妙用、可能性分析等），确定最不利的情况，培养学生严谨的思维习惯和应用现有知识解决实际问题的能力。例 1、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20 个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4 个小球颜色相同？分析与解： 如果碰巧一次取出的4 个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4 个小球的颜色也可能不相同。回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4 个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3 个红球、 3 个黄球和3 个蓝球，此时三种颜色的球都是3 个，却无 4 个球同色。 这样摸出的9 个球是“最不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4 个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出10 个球。由例 1 看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。如果例 1 的问题是“最少摸出几个球就可能有4 个球颜色相同”， 那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。现在的问题是“要保证有4 个小球的颜色相同”， 这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 2 例 2、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18 个。其中红球 3 个、黄球 5 个、蓝球 10 个。现在一次从中任意取出n 个，为保证这 n个小球至少有 5 个同色， n 的最小值是多少？分析与解： 与例 1 类似，也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是取了3 个红球、 4个黄球和4 个蓝球，共11 个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5 个球颜色相同。因此所求的最小值是12。例 3、一排椅子只有15 个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位， 都将与已就座的人相邻。 问：在乐乐之前已就座的最少有几人？分析与解： 将 15 个座位顺次编为115 号。如果2 号位、 5 号位已有人就座，那么就座1号位、 3 号位、 4 号位、 6 号位的人就必然与2 号位或 5 号位的人相邻。根据这一想法，让2号位、 5号位、 8 号位、 11 号位、 14 号位都有人就座，也就是说，预先让这5 个座位有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为5 人。例 4、一把钥匙只能开一把锁，现有10 把钥匙和 10 把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？分析与解： 从最不利的情形考虑。用10 把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9 次，前 8 次都没打开，第9 次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第10 把钥匙与这把锁相匹配）。同理，第二把锁试验8 次第九把锁只需试验1 次，第十把锁不用再试（为什么？）。共要试验987 21 45（次）。所以，最少试验45 次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 3 例 5、 在一副扑克牌中，最少要取出多少张， 才能保证取出的牌中四种花色都有？分析与解： 一副扑克牌有大、小王牌各1 张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13 张，共计有54 张牌。最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2 张王牌。这41 张牌中没有四种花色。剩下的正好是另一种花色的13 张牌，再抽 1 张，四种花色都有了。因此最少要拿出42 张牌，才能保证四种花色都有。例 6、若干箱货物总重19.5 吨，每箱重量不超过353 千克，今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要多少辆，才能确保这批货物一次全部运走？分析与解： 汽车的载重量是1.5 吨。如果每箱的重量是300 千克（或1500 的小于 353 的约数），那么每辆汽车都是满载，即运了1.5 吨货物。这是最有利的情况，此时需要汽车19.51.5 13（辆）。如果装箱的情况不能使汽车满载，那么13 辆汽车就不能把这批货物一次运走。为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑。最不利的情况就是使每辆车运得尽量少，即空载最多。因为3534 1500，所以每辆车至少装4 箱。每箱300 千克，每车能装 5 箱。如果每箱比300 千克略多一点， 比如 301 千克，那么每车就只能装4 箱了。此时，每车载重3014 1204（千克），空载 1500-1204 296 （千克）。 注意，这就是前面所说的“最不利的情况”。19500120416236，也就是说，19.5 吨货物按最不利的情况，装16 车后余 236 千克，因为每辆车空载 296 千克，所以余下的236 千克可以装在任意一辆车中。综上所述， 16 辆车可确保将这批货物一次运走。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 4 练习1. 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20 个。问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5 个小球颜色相同？2. 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20 个，其中红球 4 个、黄球 6 个、蓝球 10 个。问：一次最少取出几个，才能保证至少有6 个小球颜色相同？3. 一排椅子共有 18个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？4. 一张圆桌有 12个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 5 5. 口袋里有三种颜色的筷子各10 根。问：（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？6. 一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20 只。问：最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2 双颜色不相同的袜子？7. 一把钥匙只能开一把锁，现有10 把锁和其中的 9 把钥匙，要保证这9 把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？8.10 吨货物分装若干箱，每只箱子重量不超过1 吨。为了确保将这批货物一次运走，最少要准备几辆载重量为3 吨的汽车？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 6 课后作业1、（1） 红桃、黑桃各 2 张， 要保证从中摸出两张同色的， 至少要摸出张。（2）红桃、黑桃各 5 张，要保证从中摸出两张同色的，至少要摸出张。（3）红桃、黑桃各 4 张，要保证从中摸出 3 张同色的， 至少要摸出张。解答两种颜色的扑克，要摸出两张同色的，至少都要摸出3 张，就能保证有两个扑克同色，在每种扑克数量足够多的情况下，与扑克的数量多少没有关系。摸出 3 张同色的，最不利的情形是先各摸出红、黑2 张，再摸出 1 张，就肯定有3 张同色的。1、3 张；2、3 张；3、5 张。2、皮夹里有 2 元，3 元，4 元的邮票各 10 张，现在要寄一封12 元邮资的信，不用眼睛看，从皮夹里抽出若干张邮票，为了保证从抽出的邮票中一定能凑出12 元的邮票组合来，那么至少要抽出（）张邮票。【解析】先分析最有利的情况，取出4 元 3 张；最不利的情况可能是取出2 元 6 张；但这是最不利的情况吗？如果取出 2 元 5 张，3 元 1 张呢？这种情况不能保证从抽出的邮票中一定能凑出12 元的邮票组合来。但再取一张任意的2，3，4 元可以保证完成任务。答案为7 张。3、一把钥匙只能开一把锁，现有8 把钥匙和 8 把相配的锁，至少要试验多少次才能保证全部的钥匙和锁相匹配？分析：要保证匹配就要从最不利的情况考虑，也就是第一把钥匙试7 次，如果都不成功，它必然和第八把锁匹配，所以第一把钥匙只试7 次，同理，第二把钥匙在其余的 7 把锁中试 6 次，第三把试 5 次，第四把 4 次, 最后剩一把钥匙一把锁就不用试了。解：7+6+5+4+3+2+1=28 （次）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 7 4、一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？5、口袋中放有红、黄、白、黑四种颜色的袜子各10 只，只需用手摸，不许用眼看，至少要从口袋中取出（）只袜子，才能保证配成5 双（一双指颜色相同的袜子两只）袜子。6、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20 个。问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5 个小球颜色相同？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -