2023年2021高考数学大题规范练.pdf

晨鸟教育 大题规范练(六)1(2020 珠海模拟)在 a sin C 3 c cos B cos C 3 b cos 2 C；5 c cos B 4 b 5 a；(2 b a)cos C c cos A，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 _(1)求 sin C；4 3(2)已知 a b 5，ABC 的外接圆半径为，求 ABC 的边 AB 3 上的高 h.解：选择条件：(1)因为 asin C 3 c cos B cos C 3 b cos 2 C，所以由正弦定理得 sin A sin C 3sin C cos B cos C 3sin B cos2 C，即 sin A sin C 3cos C(sin C cos B sin B cos C)，故 sin A sin C 3cos C sin A.又 A(0，)sin A 0，所以 sin C 3cos C，tan C 3.由 C(0，)C 3 3 所以 sin C sin.3 2 4 3(2)由正弦定理得 c 2 sin 4，3 3 由余弦定理得 c2 a2 b2 2 ab cos(a b)2 3 ab 16，3 Earlybird弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下晨鸟教育（a b）2 16 所以 ab ab 3.3 1 1 于是得 ABC 的面积 S ab sin C ch，2 2 3 3 ab sin C 2 3 3 所以 h.c 4 8 选择条件：(1)因为 5 c cos B 4 b 5 a，由 正弦定理得 5sin C cos B 4sin B 5sin A，即 5sin C cos B 4sin B 5sin(B C)5sin B cos C 5cos B sin C，于 是 sin B(4 5cos C)0.在 ABC 中，sin B 0，4 所以 cos C，5 3 sin C 1 cos 2 C.5 4 3 3 8 3(2)由正弦定理得 c 2，3 5 5 18 192 由余弦定理得 c2 a2 b2 2 ab cos C(a b)2 ab，5 25 192 5 433 所以 ab（ab）25，2 18 90 1 1 于是得 ABC 的面积 S ab sin C ch，弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下 2 2 ab sin C 433 3 5 433 3 所以 h.c 90 5 8 3 720 选择条件：(1)因为(2 b a)cos C c cos A，Earlybird弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下晨鸟教育 所以由正弦定理得(2sin B sin A)cos C sin C cos A，所以 2sin B cos C sin(A C)sin B，因为 B(0，)，1 所以 sin B 0 cos C，2 又 A(0，)，3 所以 C，所以 sin C.3 2 4 3(2)由正弦定理得 c 2 sin 4，3 3 由余弦定理得 c2 a2 b2 2 ab cos(a b)2 3 ab 16，3（a b）2 16 所以 ab ab 3.3 1 1 于是得 ABC 的面积 S ab sin C ch，2 2 3 3 ab sin C 2 3 3 所以 h.c 4 8 2(2020 佛山模拟)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn 2 an 1 n.(1)求证：数列 an 1 为等比数列；(2)设 bn n(an 1)，求数列 bn的前 n 项和 Tn.(1)证明：当 n 2 时，因为 Sn 2 an 1 n，所以 Sn 1 2 an 1 1(n 1)由 得 an 2 an 1 1，即 an 1 2(an 1 1)，弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下 an 1 所以 2.an 1 1 当 n 1 时，S1 2 a1，得 a1 0，则 a1 1 1.Earlybird弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下晨鸟教育 所以数列 an 1 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列(2)解：由(1)知 an 1 2n 1，所以 bn n(an 1)n 2n 1.所以 Tn 1 20 2 21 3 22 n 2n 1，则 2 Tn 1 21 2 22 3 23 n 2n，由，得 1 2 n Tn 1 20 1 21 1 22 1 2n 1 n 2n n 2n(1 1 2 n)2n 1，所以 Tn(n 1)2n 1.3.如 图，在 四 棱 锥 E-ABCD 中，底 面 ABCD 为 直 角 梯 形，AB/CD，BC CD，AB 2 BC 2 CD，EAB 是以 AB 为斜边的等腰 直角三角形，且平面 EAB 平面 ABCD，点 F 满足，EF(0，EA 1)(1)试探究 为何值时，CE/平面 BDF，并给予证明；(2)在(1)的条件下，求直线 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值 1 解：(1)当 时，CE/平面 FBD.3 证明如下：连接 AC，交 BD 于点 M，连接 MF，因为 AB/CD，1 所以 AM MC AB CD 2 1，又 EF，所以 FA EF 2 EA 3 1.所以 AM MC AF EF 2 1，所以 MF/CE.又 MF 平面 BDF，CE 平面 BDF，所以 CE/平面 BDF.弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下(2)取 AB 的中点 O，连接 EO，OD，则 EO AB.Earlybird弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下晨鸟教育 又因为平面 ABE 平面 ABCD，平 面 ABE 平面 ABCD AB，E O 平面 ABE，所以 EO 平面 ABCD，因为 OD 平面 ABCD，所以 EO OD.由 BC CD，及 AB 2 CD，AB/CD，得 OD AB，由 OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.因为 EAB 为等腰直角三角形，AB 2 BC 2 CD，所以 OA OB OD OE，设 OB 1，所以 O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)所以 AB(2，0，0)，(1，1，0)，BD 1 1 1 1 2(3)，F(3)，EF EA，0，0，3 3 3 4 2 所以FB(3).，0，3 n BD 0，设平面 BDF 的法向量为 n(x，y，z)，则有 0，)所 以 n FB x y 0，z 0，)弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下4 2 x 3 3 取 x 1，得 n(1，1，2)设直线 AB 与平面 BDF 所成的角为，Earlybird弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下晨鸟教育|AB n|2 1 0 1 0 2|则 sin|cos AB，n|2 1 2 12 22|AB|n|6.6 6 即直线 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为.6 4(2020 济宁模拟)某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了 技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各 20 次 连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21 改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36(1)完成下面的列联表，并判断能否有 99%的把握认为技术改造前 后的连续正常运行时间有差异？项目 超过 30 不超过 30 改造前 改造后(2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产 维护费用包括正常维护费，保障维护费两种对生产设备设定维护周 期为 T 天(即从开工运行到第 kT 天，k N*)进行维护生产设备在一 个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立在一个维 护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不 会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维 护费外，还产生保障维护费经测算，正常维护费为 0.5 万元/次；保 弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下Earlybird弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下晨鸟教育 障维护费第一次为 0.2 万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加 0.2 万元现制定生产设备一个生产周期(以 120 天计)内的维护方案：T 30，k 1，2，3，4.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正 常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均 值 n（ad bc）2 附：K2（a b）（c d）（a c）（b d）P(K2 k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：(1)列联表为：项目 超过 30 不超过 30 改造前 5 15 改造后 15 5 40（5 5 15 15）2 所以 K2 106.635，20 20 20 20 所以有 99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异(2)由题知，生产周期内有 4 个维护周期，一个维护周期为 30 天，1 一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为 P.4 1 设一个生产周期内需保障维护的次数为，则 B(4，4)；一个生 产 周 期 内 的 正 常 维 护 费 为 0.5 4 2 万 元，保 障 维 护 费 为 0.2（1）(0.1 2 0.1)万元 2 所以一个生产周期内需保障维护 次时的生产维护费为(0.1 2 0.1 2)万元 设一个生产周期内的生产维护费为 X，则 X 的所有可能取值为 2，弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下Earlybird弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下晨鸟教育 2.2，2.6，3.2，4.1 4 81 P(X2)(1 4)，256 1 31 27 P(X 2.2)C1 4(1 4)，4 64 1 2 1 2 27 P(X 2.6)C2 4(1 4)(4)，128 1 1 3 3 P(X 3.2)C3 4(1 4)(4)，64 1 4 1 P(X4)(4).256 所以 X 的分布列为 X 2 2.2 2.6 3.2 4 P 81 256 2 7 64 27 128 3 64 1 256 81 27 27 3 1 所以 E(X)2 2.2 2.6 3.2 4 256 64 128 64 256 162 237.6 140.4 38.4 4 582.4 2.275.256 256 所以一个生产周期内生产维护费的均值为 2.275 万元 x2 y2 5已知椭圆 C1：1(a b 0)的左、右顶点分别是双曲线 a2 b2 x2 2 3 3 C2：m2 y2 1 的左、右焦点，且 C1 与 C2 相交于点(3).，3(1)求椭圆 C1 的标准方程；弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下1(2)设直线 l：y kx 与椭圆 C1 交于 A，B 两点，以线段 AB 为直 3 径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请 说明理由 Earlybird弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下晨鸟教育 2 3 3 x 2 解：(1)将(3)代 入 y2 1，3 m 2 解得 m2 1，所以 a2 m2 1 2.2 3 3 x 2 y2 将(3)代 入 1，解得 b2 1，3 2 b 2 x2 所以椭圆 C1 的标准方程为：y2 1；2(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，1 y kx，3 由 y2 1，)整 理得 x2 2(9 18 k 2)x 2 12 kx 16 0，12 k 16 所以 x1 x2，x1x2 9 18 k 2 9 18 k 2 144 k2 64(9 18 k2)0 法一 由对称性可知，以 AB 为直径的圆若恒过定点，是定点必 在 y 轴上 设定点为 M(0，y0)，则(x1，y1 y0)，(x2，y2 y0)MA MB x1x2(y1 y0)(y2 y0)x1x2 y1y2 y0(y1 y2)y2 0 x1x2 MA MB 弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下k 2 1 k2x1x2(x1 x2)y0k(x1 x2)y(1 k 2)x1x2 k 2 3 3 9 1 3 y0)2 1 18（y 1）k 2 9 y 6 y0 15(x1 x2)y2 0 y0 0 3 9 9 18 k 2 y 1 0，所以9 y 6 y0 15 0，)解得 y0 1，所以 M(0，1)所以以线段 AB 为直径的圆恒过定点(0，1)Earlybird弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下晨鸟教育 法二 设定点为 M(x0，y0)，则(x1 x0，y1 y0)，(x2 x0，y2 y0)MA MB(x1 x0)(x2 x0)(y1 y)(y2 y0)MA MB x1x2 x0(x1 x2)x2 0 y1y2 y0(y1 y2)y2 0 1 1 2 x1x2 x0(x1 x2)x2 0(k x 3)(k x y0 y 3)k（x 3 2 0 1 2 1 x2）1 0 2 0 2 1(1 k 2)x1x2 x0(y k(x1 x2)x y y0 3)2 0 3 9 18（x y 1）k 2 12 x0k 9 x 9 y 6 y0 15 0 9 18 k 2 x y 1 0，x 0 0，所以9 x 9 y 6 y0 15 0，)解 得 x0 0，y0 1，)所以 M(0，1)，所以以线段 AB 为直径的圆恒过定点(0，1)6(2020 东莞模拟)已知函数 f(x)(x 2)e x x 2，f(x)是 f(x)的 导函数(1)证明：当 x 0 时，f(x)0；(2)证明：在 g(x)(1 sin x)xe x f(x)2 2 上(，)有且只 有 3 个零点 证明：(1)f(x)(x 1)ex 1 弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下令 k(x)(x 1)ex 1，则 k(x)xex，当 x0 时，k(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增，所以当 x0 时，f(x)f(0)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增，又 f(0)0，所以当 x0 时，f(x)0.(2)g(x)(1 sin x)xe x f(x)2 2(1 sin x)ex sin x 1，Earlybird弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下晨鸟教育 e x 1 令 g(x)0，得(1 sin x)ex sin x 1 0，即 sin x 0 e x 1 e x 1 e x 1 令 h(x)sin x，则 h(x)sin(x)e x 1 e x 1 e x 1(sin x)h(x)，e x 1 所以 y h(x)是奇函数，且 h(0)0，即 0 是 h(x)的一个零点，e x 1 2ex 令 t(x)，则 t(x)，e x 1（ex 1）2 当 x(0，)时，t(x)0，所以 t(x)在(0，)上单调递增，令 r(x)sin x，则 r(x)在(0，2)上 单调递增，在(，)上 单调递 2 减 e x 1 x 由(1)知：当 x(0，2)时，(x2)ex x 20，即 0，m(x)单调递增，当 x(2)时，m(x)0，m(x)单调递减，3 弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下 又 m(0)0，m(2)1 0，4 x 所以 x(0，2)时，m(x)0 恒成立，即 x(0，2)时，sin x 恒成 2 立，e x 1 x 所以当 x(0，2)时，sin x，e x 1 2 所以当 x(0，2)时，h(x)0 恒成立，Earlybird弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下晨鸟教育 2e x 当 x(，)时，h(x)cos x0，2（e x 1）2 e2 1 所以 h(x)在(，)上 为增函数，且 h(2)10，e 1 所以 h(x)在(0，)上有且只有一个零点，设为 x0，所以 h(x0)0，因为 h(x)是奇函数，所以 h(x0)h(x0)0，所以 h(x)在(，0)上的零点为 x0，所以 h(x)在(，)上的零点为 x0，0，x0，所以 h(x)在(，)上有且只有 3 个零点 所以 g(x)在(，)上有且只有 3 个零点 弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下Earlybird 弦定理得由余弦定理得晨鸟教育所以于是得的面积所以选择条件因为由正弦定理得即于是在中所以由正弦定理得由余 由余弦定理得所以于是得的面积所以佛山模拟已知数列的前项和为且求证数列为等比数列设求数列的前项和证明当时 四棱锥中底面为直角梯形是以为斜边的等腰直角三角形且平面平面点满足试探究为何值时平面并给予证明在的条件下