2023年微分几何试题库.pdf

微分几何 一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（）2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v duu v dudvu v dv总表示曲面上两族曲线.（）3、若()r t和()s t均在a,b连续，则他们的和也在该区间连续（）4、向量函数()s t具有固定长的充要条件是对于 t 的每一个值，()s t的微商与()s t平行（）5、等距变换一定是保角变换.（）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（）7、常向量的微商不等于零（）8、螺旋线 x=cost,y=sint,z=t 在点（1，0，0）的切线为 X=Y=Z（）9、对于曲线 s=()s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（）11、曲线的法面垂直于过切点的切线（）12、单位切向量的模是 1（）13、每一个保角变换一定是等距变换（）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F，这里F是第一基本量.（）二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是_ y+z=0,.18.设给出1c类曲线:)(trr,.bta则其弧长可表示为badttr)(19、已知33cos,sin,cos 2 rxxx，02x，则1 3cos,3sin,45xx，sin,cos,0 xx，14cos,4sin,35xx，625sin 2x，825sin 2x。20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。21、旋转面 r=()cos,()sin,()ttt,他的坐标网是否为正交的?_是_(填“是”或“不是”).22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_法线_线.23.任何两个向量qp,的数量积 qp)cos(pqqp 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为_等距(保长)变换_.25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_常数_数(填“常数”或“非常数”).26.若曲线(c)用自然参数表示)(trr,则曲线(c)在)(0sP点的密切平面的方程是 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222NyMxyLx 29、已知曲面 cos,sin,6 ruv uvv，0u，02v，则它的第一基本形式为 222(36)duudv，第二基本形式为 21236dudvu，高斯曲率K 2236(36)u，平均曲率 H 0 ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv 的法曲率24371517，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 66,37 37。接曲面上两点的所有曲线段中测地线一定是最短的常向量的微商不等于零螺旋线在点的切线为对于曲线上一点若其微模是每一个保角变换一定是等距变换空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定坐标曲线网是正交网的充要条件是这里是为已知则曲面的在曲线如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向则称为渐进曲线旋转面他的坐标网是否为正交的是30、（Cohn-Voeeen 定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R3中的合同或对称。31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33求曲线ttezttyttx,cos,sin在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：,cos,sinttettttr 在原点处0t 在原点处切平面的方程为:即 0ZYX 法平面的方程为:即 0 ZY 切线方程为 即 110ZYX 34、求曲面33zxy的渐近曲线。解 设33,ru v uv 则 21,0,3uru，20,1,3vrv，22441 3,3,1|991uvuvrrnuvrruv 0,0,6 uuru，0uvr，0,0,6 vvrv 446991uuuLn ruv ，0uvMn r ，446991vvvNn ruv 因渐近曲线的微分方程为 即22uduvdv或0uduvdv 接曲面上两点的所有曲线段中测地线一定是最短的常向量的微商不等于零螺旋线在点的切线为对于曲线上一点若其微模是每一个保角变换一定是等距变换空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定坐标曲线网是正交网的充要条件是这里是为已知则曲面的在曲线如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向则称为渐进曲线旋转面他的坐标网是否为正交的是 渐近曲线为33221uvC或 33222()uvC 35.求双曲抛物面2),(),(uvvubvuar的第一基本形式 解:,2),(),(uvvubvuar ,2,vbaru .2,ubarv uvbarrFvbarrEvuuu4,422222,36.计算球面)sin,sincos,coscos(RRRr 的第二基本形式.解:由此得到 =,sin,sincos,coscos 又由于 所以 因而得到 37.如果曲面的第一基本形式,)(222222cvudvduds计算第二类克力斯托费尔符号.解:因为 222)(1cvuE,0F,222)(1cvuG 所以 所以,2222112cvuvEEvcvuuGGu2221222,cvuuEGu2212222,cvuvGGv2222222 38、已知曲面的第一基本形式为22()Iv dudv，0v，求坐标曲线的测地曲率。解 EGv，0F，0uG，1vE 接曲面上两点的所有曲线段中测地线一定是最短的常向量的微商不等于零螺旋线在点的切线为对于曲线上一点若其微模是每一个保角变换一定是等距变换空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定坐标曲线网是正交网的充要条件是这里是为已知则曲面的在曲线如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向则称为渐进曲线旋转面他的坐标网是否为正交的是u-线的测地曲率 122uvgEE Gv v v-线的测地曲率 02vugGGE 39、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线是测地线.事实上，设:()(1,2)iiuu si，则的切向量为1212dudurrdsds 记 1duads，22duads，111,ijiji jDadaa du，222,ijiji jDadaa du 则曲线的切向量沿平行移动0D 120,0DaDa 为测地线 40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线.解:因为 ,sin,cosbvvuvur 由于,0NL所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是 这是螺旋线,另一族渐近线是 这是直线.41、设空间两条曲线和C的曲率处处不为零，若曲线和C可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和C在对应点的切线夹固定角.证 设:()rr s，:()rrs，则由/知，从而0 ，0 ，()0ddsdsds 接曲面上两点的所有曲线段中测地线一定是最短的常向量的微商不等于零螺旋线在点的切线为对于曲线上一点若其微模是每一个保角变换一定是等距变换空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定坐标曲线网是正交网的充要条件是这里是为已知则曲面的在曲线如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向则称为渐进曲线旋转面他的坐标网是否为正交的是 constant，即 cos,C 这表明曲线和C在对应点的切线夹固定角.42、证明)(tr具有固定方向的充要条件是 证明:必要性 设ettr)()(e为常单位向量),则 所以 0)()(trtr 充分性:)()()(tettr()(te为单位向量函数),则)()()()()(tettettr,因为0)(,0)(ttr于是,当0)()(trtr,从而有 即)(/)(tete,因为)()(tete(根据1)(te),因此0)(te即)(te为常向量,所以 有固定方向 43、给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角.求证是一条平面曲线.证 设:(,)rr u v，:(),()uu s vv s，其中s是的自然参数，记,r n，则cosr n，两边求导，得d0dnnrs，由为曲率线知d/dnr，即dd/ddnrss，因此dd0ddnnrnrrss .若0，则为平面曲线；若0n，则因为曲面上的一条曲率线，故ddnnr.而 0nnn ，所以d0n，即n为常向量.于是为平面曲线.44、求圆柱螺线,sin,cosbttatatR）（在3t处的切线方程。解 ,cos,sin)(,sin,cos)(btatatrbttatatr 接曲面上两点的所有曲线段中测地线一定是最短的常向量的微商不等于零螺旋线在点的切线为对于曲线上一点若其微模是每一个保角变换一定是等距变换空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定坐标曲线网是正交网的充要条件是这里是为已知则曲面的在曲线如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向则称为渐进曲线旋转面他的坐标网是否为正交的是3t时，有.,2,23)3(3,23,23baarbar 所以切线的方程为 即 如果用坐标表示，则得切线方程为 即 45、求双曲螺线,sinh,coshattatar从 t=0 起计算的弧长。解：,cosh,sinh,sinh,coshatataattatarr 从 t=0 起计算的弧长为=.sinh2coshcoshcosh)1(sinhcoshsinh02222022222222tadttatadttatadtatatatttt 46、求球面sin,sincos,coscosRRRr 的第一基本形式。解：由cos,sinsin,cossin,0,coscos,sincos,sin,sincos,coscosRRRRRRRrrRr可得出 由此得到曲面的第一类基本量 因而 47、曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。证明 设，由欧拉公式知和可以交换坐标如果),(2121vuKKkk 于是 接曲面上两点的所有曲线段中测地线一定是最短的常向量的微商不等于零螺旋线在点的切线为对于曲线上一点若其微模是每一个保角变换一定是等距变换空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定坐标曲线网是正交网的充要条件是这里是为已知则曲面的在曲线如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向则称为渐进曲线旋转面他的坐标网是否为正交的是因此 同样又可以得到 由此 即 这就是说，主曲率12,kk是nk法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式为 22)()(dvuGduuEI。求证：（1）u-曲线是测地线；（2）v-曲线是测地线，当且仅当0)(uGu 证明：由曲线的方程为.0dvu 得到 所以 代入刘维尔公式得 因此得到曲线是测地线u。（2）若u曲线为测地线，由则有得,02dsd sinln11000uGE，即 49、3R中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。证明：因为（1）空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；（2）空间三个合同变换的组合满足合里律；接曲面上两点的所有曲线段中测地线一定是最短的常向量的微商不等于零螺旋线在点的切线为对于曲线上一点若其微模是每一个保角变换一定是等距变换空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定坐标曲线网是正交网的充要条件是这里是为已知则曲面的在曲线如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向则称为渐进曲线旋转面他的坐标网是否为正交的是（3）恒同变换)3,2,1(:ixxiiI与空间任何合同变换 T 的组合,TITT I因此 I 对于空间合同变换的组合来说是单位元素；（4）空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变换。50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。证明：沿曲线（C）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网（则,21uu）所以 51、设曲线 trrC:)(是具有周期的闭的正规平面曲线，如果把参数换成自然参数，则它的周期是,0/dttLrL 的闭曲线的周长.证明 dttrtst/0 =,/0dttrdttrt 因为 trtr，所以 我们得到 s tsLdttrLtt/0,所以有 srtsrtsrLtsrLsr.52、对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向l正交.证明 取l为坐标系的z轴方向.设曲线 C的自然参数表示是 因而单位切向量为 szsysxsa,.接曲面上两点的所有曲线段中测地线一定是最短的常向量的微商不等于零螺旋线在点的切线为对于曲线上一点若其微模是每一个保角变换一定是等距变换空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定坐标曲线网是正交网的充要条件是这里是为已知则曲面的在曲线如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向则称为渐进曲线旋转面他的坐标网是否为正交的是根据微积分中值定理，存在 使得,00Ls szLzLz000，但是 所以 00sz，即 0,000sssyxa，这表示 即与轴垂直于,0zas方向l正交。53、单位球面上的曲线 C，若,0kg则 其中1.证明 设单位球面上的曲线 由于.:srrC 12r，从而有 ar=0，所以 即 1+.0kr 由上式得 利用伏雷内公式，化简后得 -rkkk=0.若令由于,rn 接曲面上两点的所有曲线段中测地线一定是最短的常向量的微商不等于零螺旋线在点的切线为对于曲线上一点若其微模是每一个保角变换一定是等距变换空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定坐标曲线网是正交网的充要条件是这里是为已知则曲面的在曲线如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向则称为渐进曲线旋转面他的坐标网是否为正交的是则有 gkkk=0.但是单位球面上曲线的法曲率并且由于,1nk 所以 ,12kkg 1.因此当时，有0gk 接曲面上两点的所有曲线段中测地线一定是最短的常向量的微商不等于零螺旋线在点的切线为对于曲线上一点若其微模是每一个保角变换一定是等距变换空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定坐标曲线网是正交网的充要条件是这里是为已知则曲面的在曲线如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向则称为渐进曲线旋转面他的坐标网是否为正交的是