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（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 1 求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的 11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1适用于：1()n na a f n-这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。2若1()n na a f n(2)n，则 2 13 21(1)(2)()n na a fa a fa a f n（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 2 两边分别相加得 1 11()nnka a f n 例 1 已知数列 na满足1 12 1 1n na a n a，求数列 na的通项公式。解：由12 1n na a n 得12 1n na a n 则 1 1 2 3 2 2 1 12()()()()2(1)1 2(2)1(2 2 1)(2 1 1)12(1)(2)2 1(1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n na a a a a a a a a an nn n nn nnn nn 所以数列 na的通项公式为2na n。例 2 已知数列 na满足1 12 3 1 3nn na a a，求数列 na的通项公式。解法一：由12 3 1nn na a 得12 3 1nn na a 则1 1 2 3 2 2 1 11 2 2 11 2 2 11()()()()(2 3 1)(2 3 1)(2 3 1)(2 3 1)32(3 3 3 3)(1)33(1 3)2(1)31 33 3 1 33 1n n n n nn nn nnnna a a a a a a a a annnn 所以3 1.nna n 解法二：13 2 3 1nn na a 两边除以13n，得11 12 13 3 3 3n nn n na a，则11 12 13 3 3 3n nn n na a，故 关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 3 1 1 2 2 3 2 1 12 2 3 2 11 11 2 21 2 2()()()()3 3 3 3 3 3 3 32 1 2 1 2 1 2 1 3()()()()3 3 3 3 3 3 3 3 32(1)1 1 1 1 1()13 3 3 3 3 3n n n n n n nn n n n nn nn n nn n n na a a a a a a a a aa an 因此11(1 3)2(1)2 1 1313 3 1 3 3 2 2 3nnnn na n n，则2 1 13 3.3 2 2n nna n 练习 1.已知数列 na的首项为 1，且*12()n na a n n N 写出数列 na的通项公式.答案：12 n n 练 习 2.已知 数列 na满 足31 a，)2()1(11 nn na an n，求此 数列的 通项公 式.答案：裂项求和 nan12 评注：已知a a 1,)(1n f a an n，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 na.若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.已知数列 na中,0 na且)(21nn nana S,求数列 na的通项公式.解:由已知)(21nn nana S 得)(2111 n nn n nS SnS S S,化简有n S Sn n 212,由类型(1)有n S Sn 3 2212,关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 4 又1 1a S 得11 a,所以2)1(2n nSn,又0 na,2)1(2 n nsn,则2)1(2)1(2 n n n nan 此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法 1.适用于：1()n na f n a-这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。2若1()nnaf na，则3 1 21 2(1)(2)()nna a af f f na a a，两边分别相乘得，1111()nnkaa f ka 例 4 已知数列 na满足1 12(1)5 3nn na n a a，求数列 na的通项公式。解：因为1 12(1)5 3nn na n a a，所以0na，则1 2(1)5nnnana，故1 3 211 2 2 11 2 2 11(1)(2)2 1(1)122(1 1)5 2(2 1)5 2(2 1)5 2(1 1)5 32(1)3 2 5 33 2 5!n nnn nn nn n nn nna a a aa aa a a an nn nn 所以数列 na的通项公式为(1)123 2 5!.n nnna n 例 5.设 na是首项为 1 的正项数列，且 0 112 21 n n n na a na a n（n=1，2，3，），则它的通项公式是 na=_.解：已知等式可化为：0)1()(1 1 n n n nna a n a a 关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 5 0 na(*N n)(n+1)01 n nna a,即11nnaann 2 n时，nnaann11 112211aaaaaaaannnnn=12112 1 nnnn=n1.评注：本题是关于 na和 1 na的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到na与 1 na的更为明显的关系式，从而求出 na.练习.已知1,11 1 a n na an n,求数列 an的通项公式.答案：na)1()!1(1 a n-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11 n na an n 转化为),1(11 n na n a若令1 n na b,则问题进一步转化为 n nnb b 1 形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于1()n na qa f n 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如0(,1 c d ca an n,其中a a 1)型（1）若 c=1 时，数列 na为等差数列;（2）若 d=0 时，数列 na为等比数列;（3）若0 1 且d c时，数列 na为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1 n na c a,关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 6 得)1(1 c ca an n,与题设,1d ca an n 比较系数得 d c)1(,所以)0(,1 ccd所以有：)1(11 cda ccdan n 因此数列1 cdan构成以11cda为首项，以 c 为公比的等比数列，所以 11)1(1 nnccdacda 即：1)1(11 cdccda ann.规律：将递推关系d ca an n 1 化为)1(11 cda ccdan n,构造成公比为 c 的等比数列1cdan从而求得通项公式)1(1111 cda ccdann 逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系d ca an n 1 中把 n 换成 n-1有d ca an n 1,两式相减有)(1 1 n n n na a c a a从而化为公比为 c 的等比数列 1 n na a,进而求得通项公式.)(1 2 1a a c a ann n,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例 6 已知数列 na中，1 11,2 1(2)n na a a n，求数列 na的通项公式。解法一：12 1(2),n na a n 11 2(1)n na a 又 11 2,1na a 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 1 2nna，即2 1nna 解法二：12 1(2),n na a n 12 1n na a 关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 7 两式相减得1 12()(2)n n n na a a a n，故数列 1 n na a是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再用累加法的 练习已知数列 na中，,2121,21 1 n na a a求通项 na。答案：1)21(1 nna 2形如：nn nq a p a 1(其中 q 是常数，且 n0,1)若 p=1 时，即：nn nq a a 1，累加即可.若1 p时，即：nn nq a p a 1，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1 np.目的是把所求数列构造成等差数列 即：nnnnnqpp qapa)(111,令nnnpab，则nn nqppb b)(11,然后类型 1，累加求通项.ii.两边同除以1 nq.目的是把所求数列构造成等差数列。即：q qaqpqannnn111,令nnnqab,则可化为qbqpbn n11.然后转化为类型 5 来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设)(11nnnnp a p q a.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求 pq，否则待定系数法会失效。例 7 已知数列 na满足11 12 4 3 1nn na a a，求数列 na的通项公式。解法一（待定系数法）：设11 1 23(3n nn na a)，比较系数得 1 24,2，则数列 14 3nna 是首项为1 114 3 5 a，公比为 2 的等比数列，关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 8 所以1 14 3 5 2n nna，即1 14 3 5 2n nna 解法二（两边同除以1 nq）：两边同时除以13n得：11 22 43 3 3 3n nn na a，下面解法略 解法三（两边同除以1 np）：两边同时除以12 n得：nnnnna a)23(342 211，下面解法略 练习.（2003 天津理）设0a为 常 数，且)(2 311N n a annn 证 明 对 任 意n 1，012)1(2)1(3 51a an n n n nn；3形如b kn pa an n 1(其中 k,b 是常数，且0 k)方法 1：逐项相减法（阶差法）方法 2：待定系数法 通过凑配可转化为)1()(1y n x a p y xn an n;解题基本步骤：1、确定()f n=kn+b 2、设等比数列)(y xn a bn n，公比为 p 3、列出关系式)1()(1y n x a p y xn an n,即 1 n npb b 4、比较系数求 x,y 5、解得数列)(y xn an 的通项公式 6、解得数列 na的通项公式 例 8 在数列 na中，,2 3,11 1n a a an n 求通项 na.（逐项相减法）解：，,2 31n a an n 关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 9 2 n时，)1(2 31 n a an n，两式相减得 2)(31 1 n n n na a a a.令 n n na a b 1,则2 31 n nb b 利用类型 5 的方法知2 3 51 nnb 即 1 3 511 nn na a 再由累加法可得213251 n ann.亦可联立 解出213251 n ann.例 9.在数列 na中，3 6 2,231 1 n a a an n,求通项 na.（待定系数法）解：原递推式可化为y n x a y xn an n)1()(21 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 12n nb b 所以 nb是一个等比数列，首项299 61 1 n a b,公比为21.1)21(29 nnb 即：nnn a)21(9 9 6 故9 6)21(9 n ann.4形如c n b n a pa an n 21(其中 a,b,c 是常数，且0 a)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例 10 已知数列 na满足21 12 3 4 5 1n na a n n a，求数列 na的通项公式。解：设2 21(1)(1)2()n na x n y n z a xn yn z 比较系数得3,10,18 x y z，所以2 213(1)10(1)18 2(3 10 18)n na n n a n n 由213 1 10 1 18 1 31 32 0 a，得23 10 18 0na n n 关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 1 0 则2123(1)10(1)1823 10 18nna n na n n，故数列2 3 10 18na n n 为以213 1 10 1 18 1 31 32 a 为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2 13 10 18 32 2nna n n，则4 22 3 10 18nna n n。5.形如2 1 n n na pa qa 时将na作为()f n求解 分析：原递推式可化为2 1 1()()n n n na a p a a 的形式，比较系数可求得，数列 1 n na a 为等比数列。例 11 已知数列 na满足 2 1 1 25 6,1,2n n na a a a a，求数列 na的通项公式。解：设 2 1 1(5)()n n n na a a a 比较系数得3 或2，不妨取2，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）则 2 1 12 3(2)n n n na a a a，则 12n na a是首项为 4，公比为 3 的等比数列 112 4 3nn na a，所以1 14 3 5 2n nna 练习.数列 na中，若2,82 1 a a,且满足0 3 41 2 n n na a a,求 na.答案：nna 3 11.四、迭代法 rn npa a 1(其中 p,r 为常数)型 例 12 已知数列 na满足3(1)21 15nnn na a a，求数列 na的通项公式。解：因为3(1)21nnn na a，所以 关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 1 1 1 2 1 2(2)(1)3 2(2)(1)3(3)(2)(1)1 1 2(3)(3 2 3(1)2 3 2 3(1)21 2 23(2)2 3(1)233(2)(1)233 2 3(2)(1)21 n n n n nn n nn n nn n nn n n n nn n n nn n nnn n nnn n na a a aaaa 2)(1)(1)12 3!21 nn nnna 又 15 a，所以数列 na的通项公式为(1)12 3!25n nnnna。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例 13.（2005 江西卷）已知数列:,且满足 的各项都是正数naN n a a a an n n),4(21,11 0，（1）证明 12,;n na a n N（2）求数列 na的通项公式 an.解：（1）略（2）,4)2(21)4(2121 n n n na a a a所以 21)2()2(2 n na a n nn n n n n n nb b b b b a b2 2 2 1 212 2 22211 2)21()21(21)21(2121,2 则 令又 bn=1，所以1 2 1 2)21(2 2,)21(n nn n nb a b 即.方法 2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法 3：设 c n nb，则 c2121n nc,转化为上面类型（1）来解 五、对数变换法 适用于rn npa a 1(其中 p,r 为常数)型 p0，0 na 例 14.设正项数列 na满足11 a，212n na a（n 2）.求数列 na的通项公式.解：两边取对数得：12 2log 2 1 log n na a，)1(log 2 1 log12 2 n na a，设1 log2 nanb，则关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 1 2 12n nb b nb是以 2 为公比的等比数列，1 1 log12 1 b 1 12 2 1 n nnb，122 1 log n an，1 2 log12 n an，1 212nna 练习 数列 na中，11 a，12n na a（n 2），求数列 na的通项公式.答案：nna22 22 例 15 已知数列 na满足512 3nn na a，17 a，求数列 na的通项公式。解：因为51 12 3 7nn na a a，所以10 0n na a，。两边取常用对数得1lg 5lg lg3 lg2n na a n 设1lg(1)5(lg)n na x n y a xn y（同类型四）比较系数得，lg 3 lg 3 lg 2,4 16 4x y 由1lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2lg 1 lg 7 1 04 16 4 4 16 4a，得lg 3 lg 3 lg 2lg 04 16 4na n，所以数列lg 3 lg 3 lg 2lg 4 16 4na n 是以lg 3 lg 3 lg 2lg 74 16 4 为首项，以 5 为公比的等比数列，则1lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2lg(lg 7)54 16 4 4 16 4nna n，因此1111 1 1 1 1116 16 4 4 4 41 1 1 1 1516 16 4 4 4 45 4 1 5 15 116 4lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2lg(lg 7)54 16 4 4 6 4lg(7 3 3 2)5 lg(3 3 2)lg(7 3 3 2)lg(3 3 2)lg(7 3 2)nnnnnnnn nna n 则115 4 1 5 1516 47 3 2nnn nna。关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 1 3 六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例 16 已知数列 na满足1 12,12nnnaa aa，求数列 na的通项公式。解：求倒数得1 1 11 1 1 1 1 1 1 1,2 2n n n n n na a a a a a 为等差数列，首项111a，公差为12，1 1 2(1),2 1nnn aa n 七、换元法 适用于含根式的递推关系 例 17 已知数列 na满足1 11(1 4 1 24)116n n na a a a，求数列 na的通项公式。解：令1 24n nb a，则21(1)24n na b 代入11(1 4 1 24)16n n na a a 得 2 211 1 1(1)1 4(1)24 16 24n n nb b b 即2 214(3)n nb b 因为1 24 0n nb a，则12 3n nb b，即11 32 2n nb b，可化为113(3)2n nb b，所以 3nb 是以1 13 1 24 3 1 24 1 3 2 b a 为首项，以21为公比的等比数列，因此1 21 13 2()()2 2n nnb，则21()32nnb，即211 24()32nna，得 2 1 1 1()()3 4 2 3n nna。八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前 n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 1 4 例 18 已知数列 na满足1 12 28(1)8(2 1)(2 3)9n nna a an n，求数列 na的通项公式。解：由12 28(1)(2 1)(2 3)n nna an n 及189a，得 2 12 23 22 24 32 28(1 1)8 8 2 24(2 1 1)(2 1 3)9 9 25 258(2 1)24 8 3 48(2 2 1)(2 2 3)25 25 49 498(3 1)48 8 4 80(2 3 1)(2 3 3)49 49 81 81a aa aa a 由此可猜测22(2 1)1(2 1)nnan，下面用数学归纳法证明这个结论。（1）当1 n 时，212(2 1 1)1 8(2 1 1)9a，所以等式成立。（2）假设当n k 时等式成立，即22(2 1)1(2 1)kkak，则当1 n k 时，12 22 22 22 2 22 222228(1)(2 1)(2 3)(2 1)1(2 3)8(1)(2 1)(2 3)(2 1)(2 3)(2 1)(2 1)(2 3)(2 3)1(2 3)2(1)1 1 2(1)1k kka ak kk k kk kk k kk kkkkk 由此可知，当1 n k 时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*n N 都成立。九、阶差法（逐项相减法）1、递推公式中既有nS，又有na 关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 1 5 分析：把已知关系通过11,1,2nn nS naS S n 转化为数列 na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。例 19 已知数列 na的各项均为正数，且前 n 项和nS满足1(1)(2)6n n nS a a，且2 4 9,a a a成等比数列，求数列 na的通项公式。解：对任意n N有1(1)(2)6n n nS a a 当 n=1 时，1 1 1 11(1)(2)6S a a a，解得11 a 或12 a 当 n 2 时，1 1 11(1)(2)6n n nS a a-整理得：1 1()(3)0n n n na a a a na各项均为正数，13n na a 当11 a 时，3 2na n，此时24 2 9a a a 成立 当12 a 时，3 1na n，此时24 2 9a a a 不成立，故12 a 舍去 所以3 2na n 练习。已知数列 na中,0 na且2)1(21 n na S,求数列 na的通项公式.答案：n n na S S 1 212)1()1(n na a 1 2 n an 2、对无穷递推数列 例 20 已知数列 na满足1 1 2 3 11 2 3(1)(2)n na a a a a n a n，求 na的通项公式。解：因为1 2 3 12 3(1)(2)n na a a a n a n 所以1 1 2 3 12 3(1)n n na a a a n a na 用式式得1.n n na a na 关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 1 6 则1(1)(2)n na n a n 故1 1(2)nnan na 所以1 32 2 21 2 2!(1)4 3.2n nnn na a a na a n n a aa a a 由1 2 3 12 3(1)(2)n na a a a n a n，2 1 22 2 n a a a 取 得，则2 1a a，又知11 a，则21 a，代入得!1 3 4 52nna n。所以，na的通项公式为!.2nna 十、不动点法 目的是 将递推数列转化为等比（差）数列的方法 不动点的定义：函数()f x的定义域为D，若存在0()f x x D，使0 0()f x x 成立，则称0 x为()f x的不动点或称0 0(,()x f x为函数()f x的不动点。分析：由()f x x 求出不动点0 x，在递推公式两边同时减去0 x，在变形求解。类型一：形如1 n na qa d 例 21 已知数列 na中，1 11,2 1(2)n na a a n，求数列 na的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为()2 1 f x x，由()f x x 得，不动点为-1 11 2(1)n na a，类型二：形如1nnna a bac a d 分析：递归函数为()a x bf xc x d（1）若有两个相异的不动点 p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点 p,q，再将两式相除得11n nn na p a pka q a q，其中a pcka qc，11 111 1()()()()nnna q pq k a p pqaa p k a q（2）若 有 两 个 相 同 的 不 动 点 p，则 将 递 归 关 系 式 两 边 减 去 不 动 点 p，然 后 用 1 除，得11 1n nka p a p，其中2cka d。关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 1 7 例 22.设数列 na满足7 24 5,21 1 nnnaaa a,求数列 na的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数 t,得：7 25 24 7)5 2(7 27)5 2(7 24 51 nnnnnnnattatat a ttaat a,令5 24 7ttt,解之得 t=1,-2 代入7 2)5 2(1 nnnat at t a得 7 213 11 nnnaaa,7 229 21 nnnaaa,相除得21312111 nnnnaaaa,即 21nnaa 是首项为412111aa，公比为31的等比数列,21nnaa=n 1341,解得1 3 42 3 411 nnna.方法 2：,7 213 11 nnnaaa，两边取倒数得1332)1(39)1(2)1(37 2111 n nnnnna aaaaa，令 b11nna，则 bn nb 332,转化为累加法来求.例 23 已知数列 na满足1 121 2444 1nnnaa aa，求数列 na的通项公式。解：令21 244 1xxx，得24 20 24 0 x x，则1 22 3 x x，是函数21 24()4 1xf xx的两个不动点。因为 1121 2422 4 1 21 24 2(4 1)13 26 2 1321 243 21 24 3(4 1)9 27 9 334 1nn n n n n nnn n n n nnaa a a a a aaa a a a aa。所以数列23nnaa 是以112 4 223 4 3aa 为 首 项，以913为 公 比 的 等 比 数 列，故12 132()3 9nnnaa，则关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 1 8 113132()19nna。练习 1：已知 na满足11122,(2)2 1nnnaa a na，求 na的通项na 答案：3(1)3(1)n nnn na 练习 2。已知数列 na满足*1 12 12,()4 6nnnaa a n Na，求数列 na的通项na 答案：13 510 6nnan 练习 3.（2009 陕西卷文）已知数列na满足，*11 21 2,2n nna aa a a n N 2.令1 n n nb a a，证明：nb是等比数列；()求na的通项公式。答案：（1）nb是以 1 为首项，12为公比的等比数列。（2）1*5 2 1()()3 3 2nna n N。十一。特征方程法 形如2 1(,n n na pa qa p q 是常数）的数列 形如1 1 2 2 2 1,(,n n na m a m a pa qa p q 是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项na，其特征方程为2x px q 若有二异根,，则可令1 2 1 2(,n nna c c c c 是待定常数）若有二重根，则可令1 2 1 2()(,nna c nc c c 是待定常数）再利用1 1 2 2,a m a m 可求得1 2,c c，进而求得na 例 24 已知数列 na满足*1 2 2 12,3,3 2()n n na a a a a n N，求数列 na的通项na 解：其特征方程为23 2 x x，解得1 21,2 x x，令1 21 2n nna c c，由1 1 22 1 22 24 3a c ca c c，得12112cc，11 2nna 例 25 已知数列 na满足*1 2 2 11,2,4 4()n n na a a a a n N，求数列 na的通项na 关系式中出现的根号数学归纳法不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式特征根法二四种基本数列等差数列等比 项公式的最基本方法三求数列通项的方法的基本思路是把所求数列通过变形代换转化为等差数列或等比数列四求数列 广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一若则新中学数学求数列通项公式的十种方法讲解两边分别相加得例已（新）中学数学求数列通项公式的十种方法讲解 1 9 解：其特征方程为24 4 1 x x，解得1 212x x，令 1 212nna c nc，由1 1 22 1 21()121(2)24a c ca c c，得1246cc，13 22nnna 练习 1 已知数列 na满足*1 2 2 11,2,4 4 1()n n na a a a a n N，求数列 na的通项 练习 2 已知数列 na满足*1 2 2 11,2,4 4 4()n n na a a a a n n N，求数列 na的通项 说明：(1)若方程2x px q 有两不同的解 s,t,则)(1 1 n n n nta a s ta a,)(1 1 n n n nsa a t sa a,由等比数列性质可得11 2 1)(nn ns ta a ta a,11 2 1)(nn nt sa a sa a,s t 由上两式消去1 na可得 n nntt s tsa ast s sta aa.1 2 1 2.(2)若方程2x px q 有两相等的解t s，则 1 212 121 1)(ta a s ta a s ta a s ta ann n n n n n，21 211sta asasannnn,即nnsa是等差数列，由等差数列性质可知 21 2 1.1ssa ansasann，所以nns nssa assa asaa.21 221 2 1 例 26、数列 na满足1512a，且212542924nnn