最新高考数学圆锥曲线大题练习及解析.pdf

精品文档 精品文档 2013 年高考数学压轴题圆锥曲线训练 注:试题均为历年高考试题和模拟试题，精选其中有代表性的题目。非常适合 2013 年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。1.已知ABC的顶点A B，在椭圆2234xy上，C在直线2lyx：上，且ABl （）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（）当90ABCo，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程 解：（）因为ABl，且AB边通过点(0 0)，所以AB所在直线的方程为yx 设A B，两点坐标分别为1122()()xyxy，由2234xyyx，得1x 所以1222 2ABxx 又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离 所以2h，122ABCSAB hg（）设AB所在直线的方程为yxm，由2234xyyxm ，得2246340 xmxm 因为A B，在椭圆上，所以212640m 设A B，两点坐标分别为1122()()xyxy，则1232mxx，212344mx x，所以21232622mABxx 又因为BC的长等于点(0)m，到直线l的距离，即22mBC 精品文档 精品文档 所以22222210(1)11ACABBCmmm 所以当1m 时，AC边最长，（这时12640 ）此时AB所在直线的方程为1yx 2.如图，椭圆C：22221(0)xyabab 的一个焦点为 F（1，0），且过点(2 0)，（）求椭圆C的方程；（）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：4x 与x轴交 于点N，直线AF与BN交于点M（）求证：点M恒在椭圆C上；（）求AMN面积的最大值 （）由题设2a，1c，从而2223bac 所以椭圆C的方程为22143xy（）（）由题意得(1 0)F，(4 0)N，设()A mn，则()(0)B mn n，22143mn AF与BN的方程分别为：(1)(1)0n xmy，(4)(4)0n xmy 设00()M xy，则有0000(1)(1)0(4)(4)0n xmyn xmy ，由，得 05825mxm，0325nym 由于22220022(58)3434(25)(25)xymnmm 2222(58)34(25)(25)mnmm 222(58)124(25)mnm y x A B M F N l O y x A B M F N O 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 222(58)3694(25)mmm 1所以点M恒在椭圆C上（）设AM的方程为1xty，代入22143xy得22(34)690tyty 设11()A xy，22()M xy，则有：122634tyyt，122934y yt 2212121224 333()434tyyyyy ytg 令234(4)t，则 22124 31111114 34 324yy g，因为4，1104，所以当114，即4，0t 时，12yy有最大值3，此时AM过点F AMN的面积12121322AMNSFNyyyyg有最大值92 3.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线 y=kx(k0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点.()若EDuur=6DFuuu r，求 k的值；()求四边形 AEBF 面积的最大值。22（）解：依题设得椭圆的方程为2214xy，直线ABEF，的方程分别为22xy，(0)ykx k 2 分 如图，设001122()()()D xkxE xkxF xkx，其中12xx，且12xx，满足方程22(14)4kx，故212214xxk 由6EDDFuuu ruuu r知01206()xxxx，得021221510(6)777 14xxxxk；y x A B M F N O D F B y x A O E 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 由D在AB上知0022xkx，得0212xk 所以2210127 14kk，化简得2242560kk，解得23k 或38k 6 分（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点EF，到AB的距离分别为21112222(1214)55(14)xkxkkhk，22222222(1214)55(14)xkxkkhk 9 分 又2215AB ，所以四边形AEBF的面积为 121()2SAB hh 214(12)525(14)kkgg22(12)14kk 22144214kkk2 2，当21k，即当12k 时，上式取等号所以S的最大值为2 2 12 分 解法二：由题设，1BO，2AO 设11ykx，22ykx，由得20 x，210yy ，故四边形AEBF的面积为 BEFAEFSSS 222xy 9 分 222(2)xy 22222244xyx y 22222(4)xy 2 2，面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 当222xy时，上式取等号所以S的最大值为2 2 12 分 4.已知曲线11(0)xyCabab：所围成的封闭图形的面积为4 5，曲线1C的内切圆半径为2 53记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆（）求椭圆2C的标准方程；（）设AB是过椭圆2C中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线M是l上异于椭圆中心的点（1）若MOOA（O为坐标原点），当点A在椭圆2C上运动时，求点M的轨迹方程；（2）若M是l与椭圆2C的交点，求AMB的面积的最小值 22解：（）由题意得2224 52 53ababab，又0ab，解得25a，24b 因此所求椭圆的标准方程为22154xy（）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为(0)ykx k，()AAA xy，解方程组22154xyykx，得222045Axk，2222045Akyk，所以22222222202020(1)454545AAkkOAxykkk 设()M xy，由题意知(0)MOOA，所以222MOOA，即2222220(1)45kxyk，因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为1yxk，即xky，面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 因此22222222222220 120()4545xyxyxyxyxyg，又220 xy，所以2225420 xy，故22245xy 又当0k 或不存在时，上式仍然成立 综上所述，M的轨迹方程为222(0)45xy （2）当k存在且0k 时，由（1）得222045Axk，2222045Akyk，由221541xyyxk，解得2222054Mkxk，222054Myk，所以2222220(1)45AAkOAxyk，222280(1)445kABOAk，22220(1)54kOMk 解法一：由于22214AMBSABOMg 2222180(1)20(1)44554kkkk 2222400(1)(45)(54)kkk 22222400(1)45542kkk 222221600(1)4081(1)9kk ，当且仅当224554kk 时等号成立，即1k 时等号成立，此时AMB面积的最小值是409AMBS 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 当0k，1402 522 529AMBS 当k不存在时，140542 529AMBS 综上所述，AMB的面积的最小值为409 解法二：因为222222111120(1)20(1)4554kkOAOMkk2224554920(1)20kkk，又22112OA OMOAOMg，409OA OMg，当且仅当224554kk 时等号成立，即1k 时等号成立，此时AMB面积的最小值是409AMBS 当0k，1402 522 529AMBS 当k不存在时，140542 529AMBS 综上所述，AMB的面积的最小值为409 5.已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于A B，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N（）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数k使0NA NB uuu r uuu rg，若存在，求k的值；若不存在，说明理由 解 法 一：（）如 图，设211(2)A xx，222(2)B xx，把2ykx代 入22yx得2220 xkx ，由韦达定理得122kxx，121x x ，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkym x，x A y 1 1 2 M N B O 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 将22yx代入上式得222048mkkxmx，Q直线l与抛物线C相切，2222282()048mkkmmmkkmk，mk即lAB（）假设存在实数k，使0NA NB uuu r uuu rg，则NANB，又MQ是AB的中点，1|2MNAB由（）知121212111()(22)()4222Myyykxkxk xx 22142224kk MN Qx轴，22216|2488MNkkkMNyy 又222121212|1|1()4ABkxxkxxx xgg 2222114(1)11622kkkk gg 22216111684kkkg，解得2k 即存在2k ，使0NA NB uuu r uuu rg 解法二：（）如图，设221122(2)(2)A xxB xx，把2ykx代入22yx得 2220 xkx 由韦达定理得121212kxxx x，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，22yxQ，4yx，抛物线在点N处的切线l的斜率为44kk，lAB （）假设存在实数k，使0NA NB uuu r uuu rg 由（）知22221122224848kkkkNAxxNBxxuuu ruuu r，则 22221212224488kkkkNA NBxxxxuuu r uuu rg 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 222212124441616kkkkxxxx 1212144444kkkkxxxxg 221212121214()4164kkkx xxxx xk xx g 22114(1)421624kkkkkk g 22313164kk 0，21016kQ，23304k，解得2k 即存在2k ，使0NA NB uuu r uuu rg 6.抛物线2yx和三个点00000(,)(0,)(,)M xyPyNxy、2000(,0)yxy，过点M的一条直线交抛物线于A、B两点，APBP、的延长线分别交曲线C于EF、（1）证明EFN、三点共线；（2）如果A、B、M、N四点共线，问：是否存在0y，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点？如果存在，求出0y的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由 22（1）证明：设221122(,)(,)A x xB xx、，(,)(,)EEFFE xyB xy、则直线AB的方程：222121112xxyxxxxx 即：1212()yxxxx x yxPNOMAEBF面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 因00(,)M xy在AB上，所以012012()yxxxx xL L 又直线AP方程：21001xyyxyx 由210012xyyxyxxy得：2210010 xyxxyx 所以22100012111,EEExyyyxxxyxxx 同理，200222,FFyyxyxx 所以直线EF的方程：201201212()yxxyy xx xx x 令0 xx 得0120012()yyxxxyx x 将代入上式得0yy，即N点在直线EF上 所以,E F N三点共线 （2）解：由已知ABMN、共线，所以0000,(,)AyyByy 以AB为直径的圆的方程：2200 xyyy 由22002xyyyxy得22000210yyyyy 所以0yy（舍去），01yy 要使圆与抛物线有异于,A B的交点，则010y 所以存在01y，使以AB为直径的圆与抛物线有异于,A B的交点,TTT xy 则01Tyy，所以交点T到AB的距离为00011Tyyyy 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 7.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点(2 0)M，AB边所在直线的方程为360 xy 点(11)T，在AD边所在直线上（I）求AD边所在直线的方程；（II）求矩形ABCD外接圆的方程；（III）若动圆P过点(2 0)N，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程 解：（I）因为AB边所在直线的方程为360 xy，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3 又因为点(11)T，在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为13(1)yx 即320 xy （II）由36032=0 xyxy ，解得点A的坐标为(02)，因为矩形ABCD两条对角线的交点为(2 0)M，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心 又22(20)(02)2 2AM 从而矩形ABCD外接圆的方程为22(2)8xy（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以2 2PMPN，即2 2PMPN 故点P的轨迹是以MN，为焦点，实轴长为2 2的双曲线的左支 因为实半轴长2a，半焦距2c 所以虚半轴长222bca 从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(2)22xyx D T N O A B C M x y 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 8.如图，已知(1 0)F，直线:1l x ，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且QP QFFP FQuuu r uuu ruuu r uuu rgg（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F的直线交轨迹C于A B，两点，交直线l于点M （1）已知1MAAFuuu ruuu r，2MBBFuuu ruuu r，求12 的值；（2）求MA MBuuu r uuu rg的最小值 解法一：（）设点()P xy，则(1)Qy，由QP QFFP FQuuu r uuu ruuu r uuu rgg得：(10)(2)(1)(2)xyxyygg，化简得2:4Cyx（）（1）设直线AB的方程为：1(0)xmym 设11()A xy，22()B xy，又21Mm，联立方程组241yxxmy，消去x得：2440ymy，2(4)120m，121244yymy y，由1MAAFuuu ruuu r，2MBBFuuu ruuu r得：1112yym，2222yym，整理得：1121my，2221my，12122112myy 121222yymy y g 2 424mm g0 解法二：（）由QP QFFP FQuuu r uuu ruuu r uuu rgg得：()0FQPQPFuuu ruuu ruuu rg，O y x 1 1 l F P B Q M F O A x y 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档()()0PQPFPQPFuuu ruuu ruuu ruuu rg，220PQPFuuu ruuu r，PQPFuuu ruuu r 所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：24yx（）（1）由已知1MAAFuuu ruuu r，2MBBFuuu ruuu r，得120g 则：12MAAFMBBF uuu ruuu ruuu ruuu r 过点A B，分别作准线l的垂线，垂足分别为1A，1B，则有：11MAAAAFMBBBBFuuu ruuuruuu ruuu ruuuruuu r 由得：12AFAFBFBFuuu ruuu ruuu ruuu r，即120 （）（2）解：由解法一，22121MMMA MBmyyyyuuu r uuu rg 221212(1)()MMmy yyyyy 2224(1)44mmmm 224(1)4mm 2222114(2)4 2216mmmmg 当且仅当221mm，即1m 时等号成立，所以MA MBuuu r uuu rg最小值为16 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 9.已知椭圆 C:2222byax=1(ab0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.()求椭圆 C 的方程;()设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为23，求AOB 面积的最大值.解：（）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，1b，所求椭圆方程为2213xy （）设11()A xy，22()B xy，（1）当ABx轴时，3AB （2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm 由已知2321mk，得223(1)4mk 把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，122631kmxxk，21223(1)31mx xk 22221(1)()ABkxx 22222223612(1)(1)(31)31k mmkkk 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk 2422212121233(0)3419612 3696kkkkkk 当且仅当2219kk，即33k 时等号成立 当0k 时，3AB，综上所述max2AB 当AB最大时，AOB面积取最大值max133222SAB 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 07 天津（22）（本小题满分 14 分）设 椭 圆22221(0)xyabab 的 左、右 焦 点分 别 为12FFA，是 椭 圆 上 的 一点，212AFF F，原点O到直线1AF的距离为113OF（）证明2ab；（）求(0)tb，使得下述命题成立：设圆222xyt上任意点00()M xy，处的切线交椭圆于1Q，2Q两点，则12OQOQ（）证法一：由题设212AFF F及1(0)Fc，2(0)F c，不妨设点()A cy，其中 0y，由于点A在椭圆上，有22221cyab，222221abyab，解得2bya，从而得到2bA ca，直线2AF的方程为2()2byxcac，整理得 2220b xacyb c 由题设，原点O到直线1AF的距离为113OF，即242234cb cba c，将222cab代入原式并化简得222ab，即2ab 证法二：同证法一，得到点A的坐标为2bca，过点O作1OBAF，垂足为H，易知112F BCF F A，故 211BOF AOFF A 由椭圆定义得122AFAFa，又113BOOF，所以 2212132F AF AF AaF A，解得22aF A，而22bF Aa，得22baa，即2ab A O 1F 2F H x y 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档（）解法一：圆222xyt上的任意点00()M xy，处的切线方程为200 x xy yt 当(0)tb，时，圆222xyt上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q和2Q，因此点111()Q xy，222()Qxy，的坐标是方程组 20022222x xy ytxyb 的解当00y 时，由式得200tx xyy 代入式，得22220022tx xxby，即 22224220000(2)4220 xyxt x xtb y，于是2012220042t xxxxy，4220122200222tb yx xxy 2201121201tx x tx xy yyyg 422012012201()tx txxx x xy 242242200002222200000422122t xtb ytx txyxyxy4220220022tb xxy 若12OQOQ，则42242242220000121222222200000022232()0222tb ytb xtbxyx xy yxyxyxy 所以，42220032()0tbxy 由22200 xyt，得42 2320tb t在区间(0)b，内此方程的解为63tb 当00y 时，必有00 x，同理求得在区间(0)b，内的解为63tb 另一方面，当63tb时，可推出12120 x xy y，从而12OQOQ 综上所述，6(0)3tbb，使得所述命题成立 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 10.设1F、2F分别是椭圆2214xy的左、右焦点（）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PFPF uuu r uuu u r，求点P的作标；（）设过定点(0,2)M的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围（）2a，1b，3c 1(3,0)F，2(3,0)F设(,)P x y(0,0)xy则 22125(3,)(3,)34PFPFxyxyxy uuu r uuu u r，又2214xy，联立22227414xyxy，解得22113342xxyy，3(1,)2P（）显然0 x 不满足题设条件可设l的方程为2ykx，设11(,)A x y，22(,)B xy 联立22222214(2)4(14)1612042xyxkxkxkxykx 1221214x xk，1221614kxxk 由22(16)4(14)120kk 22163(14)0kk，2430k ，得234k 又AOB为锐角cos00AOBOA OB uuu r uuu r，12120OA OBx xy yuuu r uuu r 又212121212(2)(2)2()4y ykxkxk x xk xx 1212x xy y21212(1)2()4kx xk xx 2221216(1)2()41414kkkkk 22212(1)21641414kkkkk224(4)014kk 2144k 综可知2344k，k的取值范围是33(2,)(,2)22 U 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 11.在平面直角坐标系xOy中，过定点(0)Cp，作直线与抛物线22xpy（0p）相交于A B，两点（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由 解法 1：（）依题意，点N的坐标为(0)Np，可设1122()()A xyB xy，直 线AB的 方 程 为ykxp，与22xpy联 立 得22xpyykxp，消 去y得22220 xpkxp 由韦达定理得122xxpk，2122x xp 于是12122AMNBCNACNSSSp xx 2121212()4p xxpxxx x 222224822pp kppk，当0k，2min()2 2ABNSp（）假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，设AC的中点为O，l与AC为直径的圆相交于点P，QPQ，的中点为H，则O HPQ，Q点的坐标为1122xyp，2222111111()222O PACxypyp，111222ypO Haayp ，A B x y N C O N O A C B y x N O A C B y x Ol 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 222PHO PO H2221111()(2)44ypayp 1()2paya pa，22(2)PQPH14()2paya pa 令02pa ，得2pa，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，解法 2：（）前同解法 1，再由弦长公式得 222222212121211()4148ABkxxkxxx xkp kp 22212pkk，又由点到直线的距离公式得221pdk 从而2222211221222221ABNpSd ABpkkpkk，当0k 时，2max()2 2ABNSp（）假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，则以AC为直径的圆的方程为11(0)()()()0 xxxypyy，将直线方程ya代入得211()()0 xx xap ay，则21114()()4()2pxap ayaya pa 设直线l与以AC为直径的圆的交点为3344()()P xyQ xy，则有34114()2()22ppPQxxaya paaya pa 令02pa ，得2pa，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，12.已知椭圆22132xy的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线交椭圆于 B，D 两点，面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 过2F的直线交椭圆于 A，C 两点，且ACBD，垂足为 P （）设 P 点的坐标为00()xy，证明：2200132xy；（）求四边形 ABCD 面积最小值 22证明：（）椭圆的半焦距321c ，由ACBD知点P在以线段12F F为直径的圆上，故22001xy，所以，222200001132222xyxy （）（）当BD的斜率k存在且0k 时，BD的方程为(1)yk x，代入椭圆方程22132xy，并化简得2222(32)6360kxk xk 设11()B xy，22()D xy，则 2122632kxxk，21223632kx xk，222212221224 3(1)1(1)()432kBDkxxkxxx xkgg；因为AC与BC相交于点p，且AC的斜率为1k 所以，222214 314 3(1)12332kkACkk四边形ABCD的面积 222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2kkSBDACkkkk gg 当21k 时，上式取等号（）当BD的斜率0k 或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S 1F 2F D A x C 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程精品文档 精品文档 综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625 面积当且斜边的长最大时求所在直线的方程解因为且边通过点所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为的长等于点到直线的距离即精品文档精品文档所以所以当时边最长这时此时所在直线的方程为如图椭圆的一个焦点设从而所以椭圆的方程为由题意得设则与的方程分别为设则有由得由于精品文档精品文档所以点恒在椭圆上设的方程