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精品文档 精品文档 第一章 1、ln2 0.69314718，精确到 103 的近似值是多少？解 精确到 103 0.001，即绝对误差限是 0.05，故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 0.693。2、设 115.80,1025.62 1 x x 均具有 5 位有效数字，试估计由这些数据计算2 1x x，2 1x x 的绝对误差限 解：记1 26.1025,80.115 x x%则有1 1 23241 110,|102|2x x x x%所以 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2|x x x x x x x x x x x x x x x x x x%3 41 180.116 10 6.10 10 252 20.007057 1 2 1 2 1 1 2 24 3|()|1 1|10 10 0.000552 2|x x x x x x x x%3、一个园柱体的工件,直径 d 为 10.25 0.25mm,高 h 为 40.00 1.00mm,则它的体积 V的近似值、误差和相对误差为多少。解：222 222 2243 142 10 25 40 00 4 000 3300 642 2 10 25 40 00 0 25 10 25 1 00 243 64 4 43300 6 243 6243 60 0738 7 383300 6,.;()()().,.().().%.rd hVd hV mmd hV dh d d hV mmVVV 第二章：1、分别利用下面四个点的 Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式 N3(x)，计算 L3(0.5)及 N3(-0.5)x 2 1 0 1 f(x)1 1 0 2 解：(1)先求Lagrange 插值多项式 3 3 2 2 1 1 0 0 3)()()()()(y x l y x l y x l y x l x L（1 分）)1 2)(0 2)(1 2()1)(0)(1()()()()()(3 0 2 0 1 03 2 10 x x xx x x x x xx x x x x xx lx x x)1)(1(61，（2 分）精品文档 精品文档)1 1)(0 1)(2 1()1)(0)(2()()()()()(3 1 2 1 0 13 2 01x x xx x x x x xx x x x x xx lx x x)1)(2(21（2 分）)1 0)(1 0)(2 0()1)(1)(2()()()()()(3 2 1 2 0 23 1 02x x xx x x x x xx x x x x xx l)1)(1)(2(21 x x x（2 分）)0 1)(1 1)(2 1()0)(1)(2()()()()()(2 3 1 3 0 32 1 03x x xx x x x x xx x x x x xx lx x x)1)(2(61（2 分）x x x x x x x x x x L)1)(2(31)1)(2(21)1)(1(61)(3 x x x21232 3（1 分）所以 41)5.0(3 L（1 分）(2)再求 Newton 插值多项式 列均差表如下：)(1232 2 1)(231 0 0)(2 1 1)(1 2,222232103 2 1 0分分分分xxxxx x x x f x x x f x x f y xk j i j i 所以x x x x x x x N)1)(2()1)(2(23)2(2 1)(3 x x x21232 3（2 分）21)5.0(3 N（1 分）2、求过下面四个点的 Lagrange 插值多项式 L3(x)和 Newton 插值多项式 N3(x)。x 2 1 0 1 f(x)2 1 1 1）解：（1）L3(x)=lo(x)yo+l1(x)y1+l2(x)y2+l3(x)y3（1 分）)()()()()()1)()(1 1 1 01 1 0n i i i i i i in i iix x x x x x x x x xx x x x x x x x xx l 得出)1)(1(61)(x x x x lo（2 分）)1)(2(21)(1 x x x x l（2 分）)1)(1)(2(21)(2 x x x x x l（2 分）)1)(2(61)(3 x x x x l（2 分）)1)(2(61)1)(1)(2(21)1)(2(21)1)(1(31)(3 x x x x x x x x x x x x x L（1 分）（2）)()()()()(2 1 0 3 1 0 2 0 1 0 3x x x x x x a x x x x a x x a a x N（1 分）值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯精品文档 精品文档 2)(0 0 x f a（2 分）3)()(1 01 01x xx f x fa（2 分）23)()()()(2 02 12 11 01 02 x xx xx f x fx xx f x fa（2 分），613 a（2 分）x x x x x x x N)1)(2(61)1)(2(23)2(3 2)(3（1 分）第三章 1、令1 x 1,e)x(fx，且设x a a)x(p1 0，求1 0a,a使得)x(p为)x(f在-1，1上的最佳平方逼近多项式。2已知数据对(7，3.1)，(8，4.9)，(9，5.3)，(10，5.8)，(11，6.1)，(12，6.4)，(13，5.9)。试用二次多项式拟合这组数据。解：y 0.145x2 3.324x 12.794 值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯精品文档 精品文档 第四章：1数据如下表 x 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 f(x)3.10 3.12 3.14 3.18 3.24 用中心差分公式，分别取 h=0.01、0.02 计算)02.1(f 解：中心差分公式为 hh x f h x fx f2)()()(（2 分）1）取 h=0.01 时，302.012.3 18.302.0)01.1()03.1()02.1(f ff（4 分）2）取 h=0.02 时，5.304.010.3 24.304.0)00.1()04.1()02.1(f ff（4 分）2（10 分）根据如下函数表 X 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 f(x)1.543 1.668 1.811 1.971 2.151 2.332 2.577 用中心差分公式，分别取 h=0.3，0.1 计算)3.1(f 解：中心差分公式hh x f h x fx f2)()()(（2 分）取 h=0.3 时，7233.16.0)3.0 3.1()3.0 3.1()(f fx f（4 分）取 h=0.1 时，7000.12.0)1.0 3.1()1.0 3.1()(f fx f（4 分）3分别用复合梯形公式 T6和复合辛普森公式 S3计算定积分6.00d11xx的值 解：)2)()0(2116 nii ny x f fna bT（2 分）)5.0()4.0()3.0()2.0()1.0(2)6.0()0(6 20 6.0f f f f f f f 470510739.0（3 分）)4.0()2.0(2)5.0()3.0()1.0(4)6.0()0(63f f f f f f fna bS 470006382.0（3 分）f(0)=1，f(0.1)=0.9090，f(0.2)=.08333，f(0.3)=0.7692，f(0.4)=0.7142，f(0.5)=0.6667，f(0.6)=0.625（7 分）值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯精品文档 精品文档 4、利用复合 Simpson 公式 S4计算积分102d11xx（取小数点后 4 位）。解：)2 4()2()0(61 12 1 2 ninii i ny y n f fna bS（2 分）00000.4)0(f，93846.381f，76470.382f，50685.383f，20000.384f，87640.285f，56000.286f，26000.287f，00000.2)1(f（9 分）8)684822878583814)1()0(4 60 14f f f f f f f f f S 1416.3（4 分）第五章：1、利用列主元消去法求解线性方程组 6 5 57 7 104 6 2 33 2 12 13 2 1x x xx xx x x（计算过程保留到小数点后四位）.解：2 16 5 1 57 0 7 104 6 2 3r r（1 分）6 5 1 54 6 2 37 0 7 10（2 分）5.2 5 5.2 01.6 6 1.0 07 0 7 101031 3 211 2r rr r（2 分）2.6 2.6 0 05.2 5 5.2 07 0 7 102 35.21.03 2r rr r（2 分）回代解得 13 x，12 x，03 x（1 分）2、用矩阵的 LU 分解法解方程组 4322 1 41 2 20 1 2321xxx 值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯精品文档 精品文档 解：设 3322 2113 12 1132 31210 0010 10 0 1uu uu u ul ll LU A（1 分）1 0 01 1 00 1 21 1 20 1 10 0 1LU（4 分）LUX=b 其中设 UX=y，则 Ly=b 4321 1 20 1 10 0 1321yyy（2 分）y=(2,1,1)T UX=y 1121 0 01 1 00 1 2321xxx(2 分)x=(0,2,1)T（1 分）5.用追赶法解三对角方程组 Ax=b，其中 解：用解对三角方程组的追赶法公式计算得 6.用平方根法解方程组 解：用 分解直接算得 值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯精品文档 精品文档 由 及 求得 第六章：1、用 Gauss-Seidel 迭代法求解方程组 30 15 3 212 824 3 2 203 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x，取初值T)0()0,0,0(x，写出 Gauss-Seidel 迭代格式，求出)1(x，)2(x，计算)2()1(x x，并根据原方程组的系数矩阵说明该迭代格式是否收敛 2、对方程组 10 5 215 10 23 2 103 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x（1）写出其 Jacobi 迭代格式，并据迭代矩阵的范数，说明该迭代格式收敛。（2）写出题中方程组的 Seidel 迭代格式，取 T x)0,0,0()0(，迭代求出)1(x，)2(x，)3(x。（1）解：其 Jacobi 迭代格式为：25251231015110310151)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k kk k kk k kx x xx x xx x x（5 分）05251101051101510M（6 分）53|1 M 1（2 分）收敛（1 分）（2）解：其 Seidle 迭代格式为：值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯精品文档 精品文档 25251231015110310151)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k kk k kk k kx x xx x xx x x（5 分）)0,0,0()0(xT)684.2,56.1,3.0()1(xT（2 分）)953872.2,94448.1,8804.0()2(xT（2 分）)993754176.2,99224384.1,9842832.0()3(xT（1 分）3对方程组 7 416 51 83 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x（1）写出其 Jacobi 迭代格式，并根据迭代矩阵的范数，说明该迭代格式收敛。（2）写出 Seidel 迭代格式，取 T x)0,0,0()0(，迭代求出)1(x；计算1 0 x x。解：(1)其 Jacobi 迭代格式为 4741415165151818181)(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k kk k kk k kx x xx x xx x x（5 分）迭代矩阵为 041415105181810M（2 分）41|M 1（2 分）所以 Jacobi 迭代格式收敛（1 分）(2)其 Seidel 迭代格式为：4741415165151818181)(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k kk k kk k kx x xx x xx x x（5 分）值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯精品文档 精品文档 将Tx)0,0,0()0(代入得 Tx)160514,40129,81()1(（3 分）所以 160514)1()0(x x（2 分）5.用 SOR方法解方程组(取=1.03)精确解，要求当 时迭代终止.解：用 SOR方法解此方程组的迭代公式为 取，当 时，迭 代 5 次 达 到 要 求 第七章 1利用牛顿迭代法求方程0 4.1 9.0 1.12 3 x x x的近似根，取初值10 x进行计算，使误差不超过 103 解：牛顿迭代格式为：)()(1kkk kx fx fx x（1 分）；利用牛顿迭代法求解，将10 x代入，得 738.0)1()1(11 ffx（1 分），674.0)738.0()738.0(738.02 ffx（1 分）671.0)674.0()674.0(674.03 ffx（1 分），（1 分）所以取 671.0 x 值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯精品文档 精品文档 671.0)671.0()671.0(671.04 ffx（2 分）2、求方程 0 10 4 x x 在 1.5，2内的近似解：取 x0=2，用 Newton 迭代法迭代三次，求出 x x3。解：牛顿迭代法公式)()(1nnn nx fx fx x（1 分）10)(4 x x x f，1 4)(3 x x f（1 分）Newton 迭代公式：1 410 31 41034341 nnnn nn nxxxx xx x（3 分）x0=2 代入 x1=1.870967742（1 分）x2=1.855780702（1 分）x3=1.855584561（1 分）x x3=1.85558（2 分）第九章:1、应用 Euler 方法计算积分t extd02在点 x=0.5,1,1.5,2 时的近似值.2、用改进的 Euler 公式，求初值问题 1)0(yy x y 在 x1=0.1，x2=0.2，x3=0.3 三点处的数值解（即当 x0=0，y0=1，h=0.1 时，求出 y1，y2，y3）值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯精品文档 精品文档 解：改进的欧拉公式：),(),(2),(1 1 p n n n n nn n n py x f y x fhy yy x hf y y（2 分）初值 x0=0，y0=1),()(05.0),(1.01 1 p n n n n nn n n py x y x y yy x y y（2 分）x0=0，y0=1，yp=1.1（3 分）x1=0.1，y1=1.1+0.051+1.2=1+0.11=1.11 yp=1.231（3 分）x2=0.2，y2=1.24205 yp=1.38625（3 分）x3=0.3，y3=1.39846525（2 分）3、用改进的 Euler 公式，求初值问题 0)0(1 2yy x y在 x1=0.2，x2=0.4，x3=0.6 三点处的数值解（即当 x0=0，y0=0，h=0.2 时，求出 y1，y2，y3）。解：改进的欧拉公式：),(),(2),(1 1 p n n n n nn n n py x f y x fhy yy x hf y y（3 分）将1 2),(y x y x f代入得 1 2 1 2 1.0)1 2(2.01 1 p n n n n nn n n py x y x y yy x y y（2 分）当 x0=0，y0=0 时，yp=0.2（2 分）x1=0.2，y1=0.26，（2 分）yp=0.604（1 分）x2=0.4，y2=0.5928，（2 分）yp=1.10991（1 分）x3=0.6，y3=1.23344（2 分）4、用欧拉方法求解常微分方程初值问题，取 h=0.2，计算精确到 4 位小数 0 021122)(yyxy 0212012 0 1 2 3 41,k k kkyy y h y kx xk yk 0 0 0.2 0.2000 0.4 0.3763 值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯精品文档 精品文档 0.6 0.4921 0.8 0.5423 1.0 0.5466 5、微分方程初值问题 1)0(yy y2，用改进的欧拉方法求).(),.(4 0 2 0 y y的近似值，（即 h=0.2，计算二步）,并与准确解:211xy比较计算精确到4 位小数,.,)()(1 0 1 02 02 0 12201 12 010k y y y yy y yh yk k k kk k k xk yk Y(xk)0 1.0000 0.2 0.8360 0.8333 0.4 0.7176 0.7143 6、已知初值问题：1)0(4.0 0,yx y x y，取步长 h=0.1，（1）用（显式的）Euler 方法求解上述初值问题的数值解；（2）用改进的 Euler 方法求上述初值问题的数值解。（14 分）解：1.建立具体的 Euler 公式:n n n n n n n n ny x y x y y x hf y y 9.0 1.0)(1.0),(1 3 分 已知4,3,2,1,0,1.0,10 n n x yn，则有：9.0 9.0 1.00 0 1 y x y 82.0 9.0 9.0 1.0 1.0 9.0 1.01 1 2 y x y 5 分 758.0 82.0 9.0 2.0 1.0 9.0 1.02 2 3 y x y 7122.0 758.0 9.0 3.0 1.0 9.0 1.03 3 4 y x y 7 分 值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯精品文档 精品文档 2.建立具体的改进的 Euler 公式:005.0 905.0 095.0)(01.0 91.0 09.0),(9.0 1.0),(2111n n c p nn n p n n cn n n n n py x y y yy x y x hf y yy x y x hf y y 10 分 已知4,3,2,1,0,1.0,10 n n x yn则有：91.0 005.0 905.0 095.00 0 1 y x y 83805.0 005.0 91.0 905.0 1.0 095.0 005.0 905.0 095.01 1 2 y x y 12 分 78243525.0 005.0 83805.0 905.0 2.0 095.0 005.0 905.0 095.02 2 3 y x y 7416039.0 005.0 78243525.0 905.0 3.0 095.0 005.0 905.0 095.03 3 4 y x y 14 分 值误差和相对误差为多少解第二章分别利用下面四个点的插值多项式和插值多项式计算及解先求插值多项式分分精品 值多项式解分得出分分分分分分精品文档分分分分分第三章令使得且设求为在上的最佳平方逼近多项式已知数据对试 分公式为分取时分取时分分根据如下函数表用中心差分公式分别取计算解中心差分公式分取时分取时分分别用复合梯