最新高考数学分类汇编——函数与导数.pdf

精品文档 精品文档 1（安徽）（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A）ycos x （B）ysin x（C）ynlx（D）21yx 答案：A 2.（安徽）9、函数 2axbfxxc的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（A）0a，0b，0c （B）0a，0b，0c （C）0a，0b，0c （D）0a，0b，0c 3.（安徽）15.设30 xaxb，其中,a b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）(1)3,3ab ；(2)3,2ab；(3)3,2ab；(4)0,2ab;(5)1,2ab.4.（北京）7如图，函数 f x的图像为折线ACB，则不等式 2log1f xx 的解集是 ABOxy-122C A|10 xx B|11xx C|11xx D|12xx 答案 C 5.（北京）8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 精品文档 精品文档 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D 6.（福建）2、下列函数为奇函数的是 A.yx B.sinyx C.cosyx D.xxyee 答案：D 7.(福建)10、若定义在R 上的函数 f x 满足 01f ，其导函数 fx 满足 1fxk ，则下列结论中一定错误的是 A.11fkk B.111fkk C.1111fkk D.111kfkk 答案：C 8.（新课标 1）12.设函数 f(x)ex(2x1)axa，其中 a1，若存在唯一的 整数 x0，使得 f(x0)0，则 a 的取值范围是()A.32e，1)B.33,24e)C.33,24e)D.32e，1)答案：D 9.（新课标 1）(13)若函数 f(x)xln(x2ax)为偶函数，则 a 答案：1 10.（新课标 2）（5）设函数 f（x）=则 f（-2）+f（）=（A）3 （B）6（C）9 （D）12 11.（新课标 2）（12）设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(-1)=0，当x0 时，x f(x)-f(x)0成立的 x 的取值范围是（）（A）（，-1）（0,1）（B）（，0）（1,+）（C）（，-1）（-1,0）（D）（，1）（1,+）12.（广东）3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A 21yx B 1yxx C 122xxy Dxyxe 13.（湖 北）6 已 知 符 号 函 数1,0,sgn0,0,1,0.xxxx()f x是R上 的 增 函 数，等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档()()()(1)g xf xf axa，则 Asgn()sgng xx Bsgn()sgng xx Csgn()sgn()g xf x Dsgn()sgn()g xf x 答案：B 14.（湖北）12函数2()4coscos()2sin|ln(1)|22xf xxxx的零点个数为 答案：2 15.（湖南）5.设函数()ln(1)ln(1)f xxx，则()f x是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案：A 16.（湖南）15.已知32,(),xxaf xxxa，若存在实数b，使函数()()g xf xb有两个零点，则 a 的取值范围是 .答案：（,0）（1,）17.（江苏）13.已知函数|ln|)(xxf，1,2|4|10,0)(2xxxxg，则方程1|)()(|xgxf实根的个数为 。答案 4 18.（山东）（10）设函数 f(x)=,则满足 f(f(a)=的 a 的取值范围是（）（A）,1（B）0,1 （C）（D）1,+答案：C 19.（山东）(14)已知函数()(0,1)xf xab aa 的定义域和值域都是 1,0，则ab 答案：32 20.（陕 西）9.设()ln,0f xxab，若()pfab，()2abqf，1()()2rf af b，则下列关系式中正确的是 Aqrp Bqrp Cprq Dprq 等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 答案：B 21.（陕西）12.对二次函数2()f xaxbxc（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A-1是()f x的零点 B1 是()f x的极值点 C3 是()f x的极值 D.点(2,8)在曲线()yf x上 答案：A 22.（陕西）15.设曲线xye在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yxx上点 p 处的切线垂直，则 P 的坐标为 答案：（1,1）23.（四川）9.如果函数 21281002fxmxnxmn，在区间122，单调递减，则 mn 的最大值为（A）16 （B）18 （C）25 （D）812 答案：B 24.（四川）13.某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位：C）满足函数关系bkxey（718.2e为自然对数的底数，k、b 为常数）。若该食品在 0C的保鲜时间设计 192 小时，在 22C的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33C的保鲜时间是 小时。答案：24 25.（四川）15.已知函数xxf2)(，axxxg2)(（其中Ra）。对于不相等的实数21,xx，设2121)()(xxxfxfm，2121)()(xxxgxgn，现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数21,xx，都有0m；（2）对于任意的 a 及任意不相等的实数21,xx，都有0n；（3）对于任意的 a，存在不相等的实数21,xx，使得nm；（4）对于任意的 a，存在不相等的实数21,xx，使得nm。其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）。等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 答案：26.（天津）（7）已知定义在R 上的函数 21x mf x（m 为实数）为偶函数，记 0.52(log3),log 5,2afbfcfm，则,a b c 的大小关系为（A）abc （B）acb （C）cab （D）cba 答案：C 27.（天津）（8）已知函数 22,2,2,2,xxf xxx 函数 2g xbfx ，其中bR，若函数 yf xg x 恰有 4 个零点，则b的取值范围是（A）7,4 （B）7,4 （C）70,4 （D）7,24 答案：D 28.（浙江）7.存在函数()f x满足，对于任意xR都有（）A.(sin 2)sinfxx B.2(sin 2)fxxx C.2(1)1f xx D.2(2)1f xxx 答案：D 29.（安徽）21.设函数2()f xxaxb.（1）讨论函数(sin)2 2fx在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记20000(),(sin)(sin)fxxa xbfxfx求函数在2 2(-,)上的最大值 D；（3）在（2）中，取2000,D14aabzb 求满足时的最大值。30.（北京）18（本小题 13 分）已知函数 1ln1xf xx （）求曲线 yf x在点 00f，处的切线方程；（）求证：当 0 1x，时，323xf xx；等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档（）设实数k使得 33xf xk x对 0 1x，恒成立，求k的最大值 解：（I）因为()f x=ln（1+x）-ln（1-x），所以 ()fx=1111xx，(0)f=2.又因为(0)f=0，所以曲线 y=()f x在点（0，(0)f）处的切线方程为 y=2x.（）令()g x=()f x-2(x+33x)，则 ()g x=()fx-2（1+2x）=4221xx.因为()g x0（0 x(0)g=0，x（0，1），即当 x（0，1）时，()f x2(x+33x).（）由（）知，当 k2 时，()f xk(x+33x)对 x（0，1）恒成立.当 k2 时，令()h x=()f x-k(x+33x)，则 ()h x=()fx-k（1+2x）=4221kxkx.所以当420kxk 时，()h x0，因此()h x在区间（0，42kk）上单调递减.当420kxk 时，()h x(0)h=0，即()f x2 时，()f x k(x+33x)并非对 x（0，1）恒成立.综上可知，k 的最大值为 2。31.（福建）20.已知函数f()ln(1)xx=+，(),(k),g xkxR=?(1)证明：当0 xxx时，f()；(2)证明：当1k,使得对0(0),xx任意，恒有f()()xg x；(3)确定 k 的所以可能取值，使得存在0t，对任意的(0),x，t恒有2|f()()|xg xx-.解法一：(1)令()f()ln(1),0,),F xxxxx x=-=+-?则有1()11+1+xFxxx=-=-当0,),x?()0Fx,所以G()x在0,)+?上单调递增,G()(0)0 xG=故对任意正实数0 x均满足题意.当1101()0,=10kkxxkk-时，令G得.取001=1(0,),G()0 xxxxk-?，对任意恒有,所 以G()x在00,x)上 单 调 递 增,G()(0)0 xG=,即f()()xg x.综上，当1k,使得对任意的0(0),xx任意，恒有f()()xg x.(3)当1k 时，由（1）知，对于(0,),x违+()f()()f()g xxxg xx，故，|f()()|()()kln(1)xg xg xf xxx-=-=-+，令2M()kln(1),0)xxxxx=-+-违，+，则有21-2+(k-2)1M()k2=,11xxkxxxx+-=-+故当22(k2)8(k 1)0)4kx-+-+-（，时，M()0 x,M()x在22(k2)8(k 1)0)4k-+-+-，上单调递增，故M()M(0)0 x=,即2|f()()|xg xx-,所以满足题意的 t 不存在.当1k,使得对任意的0(0),xx任意，恒有f()()xg x.此时|f()()|f()()ln(1)kxg xxg xxx-=-=+-,令2N()ln(1)k,0)xxxxx=+-违，+，则有21-2-(k+2)1M()2=,11xxkxkxxx-+=-+故当2(+2(k+2)8(1k)0)4kx-+-）（，时，N()0 x,M()x在等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 2(2)(k 2)8(1k)0)4k-+-，上单调递增，故N()(0)0 xN=,即2f()()xg xx-,记0 x与2(2)(k 2)8(1k)4k-+-中较小的为1x，则当21(0)|f()()|xxxg xx?，时，恒有，故满足题意的 t 不存在.当=1k，由（1）知，(0,),x违当+|f()()|()()ln(1)xg xg xf xxx-=-=-+，令2H()ln(1),0)xxxxx=-+-违，+，则有21-2H()12=,11xxxxxx-=-+当0 x 时，H()0 x,所以H()x在0+，）上单调递减，故H()(0)0 xH时，恒有2|f()()|xg xx-时，由（1）知，对于(0,),x违+()f()g xxx，故|f()()|()()kln(1)k(k 1)xg xg xf xxxxxx-=-=-+-=-，令2(k 1),01xxxk-时，(0,1)xk?对于恒有2|f()()|xg xx-,所以满足题意的 t 不存在.当1k 时，取11k+1=12kkk,使得0(0),xx任意，恒有1f()()xk xkxg x=.此时11|f()()|f()()(k)2kxg xxg xkxx-=-=,令21 k1 k,022xxx-,记0 x与1-k2中较小的为1x，则当21(0)|f()()|xxxg xx?，时，恒有，故满足题意的 t 不存在.当=1k，由（1）知，(0,),x违当+|f()()|()()ln(1)xg xg xf xxx-=-=-+，令2M()ln(1),0)xxxxx ，+，则有212M()12,11xxxxxx 等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 当0 x 时，M()0 x,所以M()x在0+，）上单调递减，故M()M(0)0 x 时，恒有2|f()()|xg xx-,此时，任意实数 t 满足题意.综上，=1k.32.（新课标 1）(21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)31,()ln4xaxg xx ()当 a 为何值时，x 轴为曲线()yf x 的切线；()用min ,m n 表 示m，n中 的 最 小 值，设 函 数()min(),()(0)h xf x g xx，讨论 h(x)零点的个数 解析：（21）解：（I）设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点000300200(,0)()0,()01043013,24xf xf xxaxxaa 则即解得x 因此，当3xy()4af x 时，轴为曲线的切线（II）当 x(1,)()10,(),()()0,h()(1,)g xnxf x g xg xx 时，从而h(x)=min故在无零点55x1(1)0,(1)min(1),(1)(1)0,x44afahfgg 当时，若则故 是5()a,(1),(1)(1)0,1(4h xfgfxh x 的零点；若则f(1)0,h(1)=min故不是的零点x(0,1)g()10.fxnx 当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数 2iaaf（）若-3或0,则（x）=3x+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调 15f(0),(1),faf44fa所以当a-3时，(x)在（0,1）有一个零点；当0时(x)在（1,0）没有零点aa()30,f()0),133iiax 若则在（，单调递减，在（）单调递增，故在（0,1）中 等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 321()f()3334aaaaxf x 当时，取得最小值，最小值为 3()0.0,()343faf()(0,1)343153()0,3,(0),(1)34444afaf xaxafaffaa 若即在（0,1）无零点；若()=0,即=-则在有唯一零点若即由于 5()f()(0,1).4f xx时，在（0,1）有两个零点；当-3a-时，在有一个零点 综上，当 3535aa-()aah()4444h xx 或时，有一个零点；当或时，有两个零点53h().44ax 当时，有三个零点 33.（广东）19.（本小题满分 14 分）设1a，函数2()(1)xf xx ea(1)求()f x的单调区间；(2)证明()f x在(,)上仅有一个零点；(3)若曲线()yf x在点 P处的切线与 x 轴平行，且在点M（m,n）处的切线与直线 OP平行，（O是坐标原点），证明：321mae.（湖北）22（本小题满分 14 分）已知数列na的各项均为正数，1(1)()nnnbnannN，e 为自然对数的底数（）求函数()1exf xx 的单调区间，并比较1(1)nn与 e 的大小；（）计算11ba，1 212bba a，1 23123bb ba a a，由此推测计算1 212nnbbba aaLL的公式，并给出证明；（）令112()nnnca aaL，数列na，nc的前n项和分别记为nS,nT,证明：ennTS.解析：（）()f x的定义域为(,)，()1exfx .当()0fx，即0 x 时，()f x单调递增；等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 当()0fx，即0 x 时，()f x单调递减.故()f x的单调递增区间为(,0)，单调递减区间为(0,).当0 x 时，()(0)0f xf，即1exx.令1xn，得111enn，即1(1)enn.（）11111(1)1 121ba ；2221 212121212 2(1)(21)32bbbba aaa ；23331 2331 2123123133(1)(31)43bb bbbba a aa aa .由此推测：1 212(1).nnnbbbna aaLL 下面用数学归纳法证明.（1）当1n 时，左边右边2，成立.（2）假设当nk时，成立，即1 212(1)kkkbbbka aaLL.当1nk 时，1111(1)(1)1kkkbkak，由归纳假设可得 111 211 211211211(1)(1)(1)(2)1kkkkkkkkkkkbbb bbbbbkkka aa aa aaakLLLL.所以当1nk 时，也成立.根据（1）（2），可知对一切正整数 n 都成立.（）由nc的定义，算术-几何平均不等式，nb的定义及得 123nnTcccc L111131211212312()()()()nnaa aa a aa aa LL 11113121 231 211 2()()()()2341nnbb bbbbbbbnLL 123121121 22334(1)nbbbbbbbbbn n LL 1211111111 223(1)2334(1)(1)nbbbn nn nn n LLL 1211111(1)()()1211nbbbnnnnL 1212nbbbnL1212111(1)(1)(1)12nnaaan L 12eeenaaaLenS.即ennTS.34.（湖南）21.已知0a，函数()sin(0,)axf xex x.记nx为()f x的从小到大的第 n*()nN个极值点,证明：等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档（1）数列()nf x是等比数列（2）若211ae，则对一切*nN，|()|nnxf x恒成立.解析：21、证明：（I）()sincosaxaxfxaexex (sincos)axeaxx 21sin()axaex 其中 tan=1a，02.令()fx=0，由 x0得 x+=mx,即 x=m-，m*N.对 kN，若 2kx+(2k+1),即 2k-x0；若（2k+1）x+(2k+2),即（2k+1）-x(2k+2)-，则()fx0.因此，在区间（m-1），m-）与（m-，m）上，()fx的符号总相反.于是 当 x=m-(m*N)时，()f x取得极值，所以 *()nxnnN.此时，1 sin()()(1)sin.a na nnnxenfe 易知()nf x0，而 1121()(1)()(1 s n in)isanaxnnna nnfefxexe 是常数，故数列()nf x是首项为1()f x=sina ne，公比为axe的等比数列（II）由（I）知，sin=211a，于是对一切*nN,nx0）设 g（t）=tet（t）0），则2(1)tg te tt（）=.令g t（）=0 得 t=1 等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 当 0t1 时，g t（）1 时，g t（）0，所以 g（t）在区间（0,1）上单调递增.从而当 t=1 时，函数 g（t）取得最小值 g（1）=e 因此，要是（）式恒成立，只需2()11gaea，即只需211ae.而当 a=211e 时，tan=1a=21e 3且02.于是 2213e ，且当 n2时，22132en .因此对一切*nN,211nnaxe，所以 g（nax）21(1)agea.故（）式亦恒成立.综上所述，若 a211e，则对一切*nN，()|nnxxf恒成立.35.（江苏）19.（本小题满分 16 分）已知函数),()(23Rbabaxxxf。（1）试讨论)(xf的单调性；（2）若acb（实数 c 是与 a 无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(，求 c 的值。解：（1）232fxxax，令 0fx，解得10 x，223ax 当0a 时，因为 230fxx（0 x），所以函数 fx在,上单调递增；当0a 时，2,0,3ax U时，0fx，2,03ax 时，0fx，所以函数 fx在2,3a，0,上单调递增，在2,03a上单调递减；当0a 时，2,0,3ax U时，0fx，20,3ax时，0fx，所以函数 fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减 等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档（2）由（1）知，函数 fx的两个极值为 0fb，324327afab，则函数 fx有三个 零点等价于 32400327affbab，从而304027aab 或304027aba 又bca，所以当0a 时，34027aac 或当0a 时，34027aac 设 3427g aaac，因为函数 fx有三个零点时，a的取值范围恰好是 33,31,22 UU，则在,3 上 0g a，且在331,22 U上 0g a 均恒成立，从而310gc ，且3102gc ，因此1c 此时，3221111f xxaxaxxaxa ，因函数有三个零点，则 2110 xaxa 有两个异于1的不等实根，所以 2214 1230aaaa ，且 21110aa ，解得33,31,22a UU 综上1c 36.（山东）(21)(本小题满分 14 分)设函数2()=(+1)+(-)f xIn xxx，其中R。（）讨论函数()f x极值点的个数，并说明理由；（）若0，()f0成立，求的取值范围。等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 解：（）由题意知 函数)(xf的定义域为),1(，112)12(11)(2xaaxaxxaxxf，令),1(,12)(2xaaxaxxg，（1）当0a时，1)(xg，此时0)(xf，函数)(xf在),1(单调递增，无极值点；（2）当0a时，)89()1(82aaaaa，当980 a时，0，0)(xg,0)(xf，函数)(xf在),1(单调递增，无极值点；当98a时，0，设方程0122aaxax的两根为)(,2121xxxx，因为2121xx，所以41,4121xx，由 01)1(g，可得4111x，所以 当),1(1xx时，0)(,0)(xfxg，函数)(xf单调递增；当),(21xxx时，0)(,0),(xfxg，函数)(xf单调递减；当)(2 xx时，0)(,0)(xfxg，函数)(xf单调递增；因此 函数有两个极值点。（3）当0a时，0，由01)1(g，可得11x，当),1(2xx时，0)(,0)(xfxg，函数)(xf单调递增；当)(2 xx时，0)(,0)(xfxg，函数)(xf单调递减；所以函数有一个极值点。综上所述：当0a时，函数)(xf有一个极值点；等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 当980 a时，函数)(xf无极值点；当98a时，函数)(xf有两个极值点。（II）由（I）知，（1）当980 a时，函数)(xf在),0(上单调递增，因为 0)0(f，所以),0(x时，0)(xf，符合题意；（2）当198 a时，由0)0(g，得02x，所以 函数)(xf在),0(上单调递增，又0)0(f，所以),0(x时，0)(xf，符合题意；（3）当1a时，由0)0(g，可得02x，所以2(0,)xx时，函数)(xf单调递减；因为0)0(f，所以),0(2xx时，0)(xf，不合题意；（4）当0a时，设)1ln()(xxxh，因为),0(x时，01111)(xxxxh 所以)(xh在),0(上单调递增。因此 当),0(x时，()(0)0h xh，即 xx)1ln(，可得 xaaxxxaxxf)1()()(22，当ax11时，0)1(2xaax，此时 0)(xf，不合题意，综上所述，a的取值范围是 1,0 37.（四川）21.已知函数22()2()ln22,0.f xxaxxaxaaa 其中 等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档（1）设()()()g xf xg x是的导函数，讨论的单调性；（2）证明：存在(0,1),()0()0.af xf x使得在区间(1,+)内恒成立，且在(1,+)内有唯一解 解析：（I）由已知，函数()f x的定义域为(0,)，()()222ln2(1)ag xfxxaxx，所以222112()2()2224()2xaag xxxx .当104a 时，()g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a 时，()g x在区间(0,)上单调递增.（II）由()222ln2(1)0afxxaxx，解得11 ln1xxax.令2211111 ln1 ln1 ln1 ln()2()ln2()2()1111xxxxxxxxxxxxxxxxx .则211(2)2(1)10,()2()011e eeeee ，.故存在0(1,)xe，使得0()0 x.令000101 ln,()1 ln(1)1xxau xxx xx，.由1()10u xx 知，函数()u x在区间(1,)上单调递增.所以001110()(1)()2011 1111u xuu eeaxee.即0(0,1)a.当0aa时，有000()0,()()0fxf xx，.由（1）知，函数()fx在区间(1,)上单调递增.故当0(1,)xx时，有0()0fx，从而0()()0f xf x；等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 当0(,)xx时，有0()0fx，从而0()()0f xf x；所以，当(1,)x时，()0f x.综上所述，存在(0,1)a，使得()0f x 在区间(1,+)内恒成立，且()0f x 在(1,+)内有唯一解.38.（天津）20.（本小题满分 14 分）已知函数()n,nf xxxxR，其中*n,n2N.(I)讨论()f x的单调性；(II)设曲线()yf x=与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为()yg x=,求证：对于任意的正实数x，都有()()f xg x；(III)若 关 于x的 方 程()=a(a)f x为实数有 两 个 正 实 根12xx，求 证：21|-|21ax xn+-.解析：（I）解：由()f x=nnxx，可得()fx=1nnnx=11nnx，其中nN，且2n.下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时.令()fx=0，解得1x，或1x .当x变化时，()fx，()f x的变化情况如下表：x,1 1,1 1,()fx-+-()f x Z 所以，()f x在,1，1,上单调递减，在 1,1内单调递增。（2）当n为偶数时.当()0fx f，即1x p时，函数()f x单调递增；当()0fx p，即1x f时，函数()f x单调递减.等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 所以，()f x在,1上单调递增，在1,上单调递减.（II）证明：设点P的坐标为 0,0 x，则011nxn，20()fxnn.曲线y()f x在点P处的切线方程为00()yfxxx，即00()()()g xfxxx.令()()F xf xg x，即()()F xf x00()()fxxx，则()()F xfx0()fx.由于1()nfxnxn 在0,上单调递减，故()F x在0,上单调递减.又因为0()0Fx，所以当 00,xx时，()0F x f，当0,xx时，()0F x p，所以()F x在 00,x内单调递增，在0,x 上单调递减，所以对于任意的正实数x，都有0()()0F xF x，即对于任意的正实数x，都有()f x g x.（III）证明：不妨设12xx.由（II）知 20g xnnxx.设方程 g xa的根为2x，可得202axxnn，当2n 时，在,上单调递减.又由（II）知 222g xfxag x，可得12xx.类似地，设曲线 yf x在原点处的切线方程为 yh x，可得 h xnx，当0,x，0nf xh xx p，即对于任意的0,x，f xh xp.设方程 h xa的根为1x，可得1axn.因为 h xnx在,上单调递增，且 111h xafxh x p，因此11xxp.由此可得212101axxxxxnp.因为2n，所以 111121 1111nnnCnn ，故0112nxn.所以，2121axxnp.39.（浙江）18.（本题满分 15 分）已知函数 f（x）=2x+ax+b（a，bR）,记 M（a，b）是|f（x）|在区间-1,1上的最大值。（1）证明：当|a|2 时，M（a，b）2;等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档（2）当 a，b 满足 M（a，b）2 时，求|a|+|b|的最大值.解析：（1）由22()()24aaf xxb ，得对称轴为直线2ax ，由|2a，得|12a，故()f x在 1,1上单调，(,)max|(1)|,|(1)|M a bff，当2a 时，由 (1)(1)24ffa，得max(1),(1)2ff，即(,)2M a b，当2a 时，由 (1)(1)24ffa ，得max(1),(1)2ff，即(,)2M a b，综上，当|2a 时，(,)2M a b；（2）由(,)2M a b 得|1|(1)|2abf ，|1|(1)|2abf ，故|3ab，|3ab，等式的解集是答案北京汽车的燃油效率是指汽车每消耗升汽油行驶的里程下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的油最多精品文档精品文档甲车以千米小时的速度行驶小时消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时相同条件下在该论中一定错误的是答案新课标设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围是答案新课标若函数为偶函数则答案新精品文档 精品文档 由|,0|,0ab ababab ab，得|3ab，当2a，1b 时，|3ab，且2|21|xx在 1,1上的最大值为2，即(2,1)2M，|ab的最大值为3.（重庆）（20）（本小题满分 12 分，（）小问 7 分，（）小问 5 分）设函数23()()xxaxf xaRe。（）若()f x在x0 处取得极值，确定a的值，并求此时曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（）若()f x在3,上为减函数，求a的取值范围。解：（）对()f x求导得222(6)(3)3(6)(),()xxxxxa exax exa xafxee 因为()f x在0 x 处取得极值，所以(0)0f即0a.当0a 时，()f x=2233