最新高考数学复习 直线与圆锥曲线的位置关系课时达标 理新人教A版.pdf

第讲 直线与圆锥曲线的位置关系 课时达标 一、选择题 1(2019江西师大附中月考)已知过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B两点，且点 A在第一象限，若|AF|3，则直线 l 的斜率为()A 1 B.2 C.3 D 2 2 D 解析 由题意知焦点 F(1,0)，设 A(xA，yA)，由|AF|3 xA 1 得 xA 2，又点 A 在第一象限，故 A(2,2 2)，故直线 l 的斜率为 2 2.2(2019信阳一中期中)若直线 y kx 2 与抛物线 y2 x 只有一个公共点，则实数 k的值为()A.18 B 0 C.18或 0 D 8 或 0 C 解析 由 y kx 2，y2 x得 ky2 y 2 0，若 k 0，直线与抛物线只有一个交点，则 y 2；若 k0，则 1 8k 0，所以 k18.综上可知 k 0 或18.3(2019玉林中学月考)已知双曲线 C：x2a2y2b2 1(a 0，b 0)，过点 P(3,6)的直线l 与 C相交于 A，B两点，且 AB的中点 N(12,15)，则双曲线 C的离心率为()A 2 B.32 C.3 55 D.52 B 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 AB的中点为 N(12,15)得 x1 x2 24，y1 y2 30，由 x21a2y21b2 1，x22a2y22b2 1两式相减得 x1 x2x1 x2a2y1 y2y1 y2b2，则y1 y2x1 x2b2x1 x2a2y1 y24b25a2.因为直线 AB的斜率 k15 612 3 1，所以4b25a2 1，则b2a254，所以双曲线的离心率 eca 1b2a232.4已知双曲线 E：x24y22 1，直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若线段 AB的中点坐标为12，1，则直线 l 的方程为()A 4x y 1 0 B 2x y 0 C 2x 8y 7 0 D x 4y 3 0 C 解析 依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x214y212 1，x224y222 1，两式相减得x21 x224y21 y222，即y1 y2x1 x212x1 x2y1 y2.又线段 AB 的中点坐标是12，1，因此 x1 x2 1，y1 y2(1)2 2，所以y1 y2x1 x214，即直线 AB的斜率为14，直线 l 的方程为 y 114x12，即 2x 8y 7 0.5已知椭圆 E：x2a2y2b2 1(a b 0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E于 A，B两点若 AB的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y236 1 B.x236y227 1 C.x227y218 1 D.x218y29 1 D 解析 因为直线 AB过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB的方程为 y12(x 3)，代入椭圆方程x2a2y2b2 1 消去 y，得a24 b2x232a2x 94a2 a2b2 0，所以 AB的中点的横坐标为32a22a24 b2 1，即 a2 2b2，又 a2 b2 c2，所以 b c 3，a 3 2.6 若直线 mx ny 4 与 O：x2 y2 4 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆x29y241 的交点个数是()A 至多为 1 B 2 C 1 D 0 B 解析 由题意知：4m2 n22，即 m2 n22，所以点 P(m，n)在椭圆x29y24 1 的内部，故所求交点的个数是 2.二、填空题 7(2019忻州二中月考)已知 O为坐标原点，F 为抛物线 y2 4x 的焦点，直线 l：ym(x 1)与抛物线交于 A，B 两点，点 A在第一象限，若|FA|3|FB|，则 m的值为 _ 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 y m x 1，y2 4x，消去 x 得 my2 4y 4m 0，则y1 y24m，y1y2 4，由|AF|3|BF|可得 y1 3y2，所以 2y24m，3y22 4，解得 m 3(m 3舍去)答案 3 8(2019六盘水调考)经过双曲线x2a2y2b2 1(a 0，b 0)的右焦点，倾斜角为 60的只有一个公共点则实数的值为或得又点在或解析由得若直线与抛物线只有一个交点则若则所以综上可知或玉林中学月 线的斜率所以则所以双曲线的离心率已知双曲线直线交双曲线于两点若线段的中点坐标为则直线的方程为解析依题意 直线交于两点若的中点坐标为则的方程为解析因为直线过点和点所以直线的方程为消去得代入椭圆方程所以的中点的 直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为 _ 解析 经过双曲线x2a2y2b2 1(a 0，b 0)的右焦点，倾斜角为 60的直线与双曲线有且只有一个交点，所以根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线 ybax 平行，所以batan 60 3，即 b 3a，所以 c a2 b2 2a，故 eca 2.答案 2 9(2019忻州二中月考)抛物线 x2 4y 与直线 x 2y 2 0 交于 A，B 两点，且 A，B关于直线 y 2x m对称，则 m的值为 _ 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 x2 4y，x 2y 2 0，消去 y 得 x2 2x 4 0.则 x1 x2 2，x1 x22 1.所以 y1 y212(x1 x2)2 3，y1 y2232.因为 A，B 关于直线 y 2x m对称，所以 AB的中点在直线 y 2x m上，即3221 m，解得 m 72.答案 72 三、解答题 10(2019阳泉调考)已知抛物线 E：y2 2px(p 0)的焦点 F，E 上一点(3，m)到焦点的距离为 4.(1)求抛物线 E的方程；(2)过 F 作直线 l，交抛物线 E 于 A，B 两点，若直线 AB中点的纵坐标为 1，求直线 l的方程 解析(1)抛物线 E：y2 2px(p 0)的准线方程为 xp2，由抛物线的定义可知 3p2 4，解得 p 2，所以抛物线 E的方程为 y2 4x.(2)由(1)得抛物线 E的方程为 y2 4x，焦点 F(1,0)，设 A，B两点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y21 4x1，y22 4x2，两式相减，整理得y2 y1x2 x14y2 y1(x1 x2)因为线段 AB中点的纵坐标为 1，所以直线 l 的斜率 kAB4y2 y14 1 2 2，所以直线 l 的方程为y 0 2(x 1)，即 2x y 2 0.11(2017北京卷)已知椭圆 C的两个顶点分别为 A(2,0)，B(2,0)，焦点在 x轴上，离心率为32.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 D为 x轴上一点，过 D作 x轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过 D作 AM 的垂线交 BN于点 E.求证：BDE 与 BDN 的面积之比为 4 5.解析(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b2 1(ab0)由题意得 a 2，ca32，解得 c 3.所以 b2 a2 c2 1.所以椭圆 C 的方程为x24 y2 1.(2)证明：设 M(m，n)，则 D(m,0)，N(m，n)由题设知 m 2，且 n0.直线 AM 的只有一个公共点则实数的值为或得又点在或解析由得若直线与抛物线只有一个交点则若则所以综上可知或玉林中学月 线的斜率所以则所以双曲线的离心率已知双曲线直线交双曲线于两点若线段的中点坐标为则直线的方程为解析依题意 直线交于两点若的中点坐标为则的方程为解析因为直线过点和点所以直线的方程为消去得代入椭圆方程所以的中点的 斜率 kAMnm 2，故直线 DE的斜率 kDEm 2n.所以直线 DE的方程为 ym 2n(x m)，直线 BN的方程为 yn2 m(x 2)联立 ym 2nx m，yn2 mx 2，解得点 E 的纵坐标 yEn 4 m24 m2 n2.由点 M在椭圆 C上得 4 m2 4n2，所以 yE45n.又 S BDE12|BD|yE|25|BD|n|，S BDN12|BD|n|，所以 BDE 与 BDN 的面积之比为 4 5.12已知双曲线 C：2x2 y2 2 与点 P(1,2)(1)求过点 P(1,2)的直线 l 的斜率 k 的取值范围，使 l 与 C 只有一个交点；(2)是否存在过点 P 的弦 AB，使 AB的中点为 P?解析(1)当 k 存在时，设直线 l 的方程为 y 2 k(x 1)，代入双曲线 C 的方程，整理得(2 k2)x2 2(k2 2k)x k2 4k 6 0.(*)当 2 k2 0，即 k 2时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点 当 2 k20 时，令 0，得 k32.此时只有一个公共点 当 k 不存在时，直线 l 的方程为 x 1，而 x 1 为双曲线的一条切线所以当 k 不存在时，直线与双曲线只有一个公共点 综上所述，当 k 2或 k32或 k 不存在时，l 与 C 只有一个交点(2)假设以 P 为中点的弦 AB存在，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2是方程(*)的两根，则由根与系数的关系得x1 x222 k2 2k2 k2 2 1，所以 k 1.所以这样的弦存在，方程为 yx 1(1 x3)，即 x y 1 0(1 x3)13 选做题(2019曲靖一中月考)焦点是 F(0,5 2)，并截直线 y 2x 1 所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为 _ 解析 设所求的椭圆方程为y2a2x2b2 1(a b 0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意可得弦 AB的中点坐标为x1 x22，y1 y22，且x1 x2227，y1 y2237.将 A，B 两点坐标代入椭圆方程中得 y21a2x21b2 1，y22a2x22b2 1.两式相减并化简得a2b2y1 y2x1 x2y1 y2x1 x226747 3，所以 a2 3b2.又 c2 a2 b2 50，所以 a2 75，b2 25.故所求椭圆的标准方程为y275x225只有一个公共点则实数的值为或得又点在或解析由得若直线与抛物线只有一个交点则若则所以综上可知或玉林中学月 线的斜率所以则所以双曲线的离心率已知双曲线直线交双曲线于两点若线段的中点坐标为则直线的方程为解析依题意 直线交于两点若的中点坐标为则的方程为解析因为直线过点和点所以直线的方程为消去得代入椭圆方程所以的中点的 1.答案 y275x225 1 只有一个公共点则实数的值为或得又点在或解析由得若直线与抛物线只有一个交点则若则所以综上可知或玉林中学月 线的斜率所以则所以双曲线的离心率已知双曲线直线交双曲线于两点若线段的中点坐标为则直线的方程为解析依题意 直线交于两点若的中点坐标为则的方程为解析因为直线过点和点所以直线的方程为消去得代入椭圆方程所以的中点的