最新高考新课标2卷文科数学试题.pdf

精品文档 精品文档 2015 普通高等学校招生全国统一考试新课标卷文科数学 一 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知集合 A=B A x x B x x 则,3 0,2 1 A.(-1，3)B.(-1，0)C.(0，2)D.(2，3)解析：选 A 2若 a 实数，且 a iiai则,312 A.-4 B.-3 C.3 D.4 解析：因为.4,4 2)1)(3(2 a i i i ai 所以故选 D 3根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是 2700260025002400230022002100200019002013(年)2012 2011 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004 A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。解析：选 D 4已知向量 a b a b a）则（2),2,1(),1,0(A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：选 B 5设 项和，的前 是等差数列 n a Sn n若 5 5 3 1,3 S a a a 则 A.5 B.7 C.9 D.11 解析：在等差数列 na中，因为.,5 525)(,1,335 15 3 5 3 1A aa aS a a a a 故选 所以 6一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 精品文档 精品文档 A.81 B.71 C.61 D.51 解析：还原三视图，如图所示，选 D.7已知三点)3 2()3 0(),0 1(，C B A,则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 A.35 B.321 C.35 2 D.34 解析：根据题意，三角形 ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为 D，则 D（1，33 2）所以，.32137341 OD故选 B.8 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著 九章算术 中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的 a,b 分别为 14,18，则输出的a 为 A.0 B.2 C.4 D.14 解析：执行程序框图：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2,所以 a=b=2，故选 B.9已知等比数列 2 4 5 3 1),1(4,41a a a a a an则 满足 A.2 B.1 C.21 D.81 解析：因为),1(4,414 5 3 1 a a a a an满足所以，.21241,2,2),1(41 231 4 4 424 q a a q q a a a a a 所以，所以 又 解得故选 C.10已知 A,B 是球 O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB,90 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 A.36 B.64 C.144 D.256 解析：因为 A,B 都在球面上，又为该球面上动点，C AOB,90 所以 三棱锥的体积的最大值为366121313 2 R R R，所以 R=6，所以球的表面积为 S=144 42 R，故选 C.11 如 图，长 方 形 的 边 AB=2，BC=1,O 是 AB 的 中 点，点 P 沿 着 边 BC,CD,与 DA 运 动，的图像大致为 则 数 两点距离之和表示为函 到 将动点)(),(,x f x f B A P x BOP 是年逐年比较年减少二氧化碳排放量的效果最显著年我国治理二氧化碳排放显现成效年以来我国二氧化碳排放量呈减 差数列中因为所以故选一个正体被一个平面截去一部分后剩余部分的三视图如右图则截去部分体积与剩余部分体积的 题意三角形是等边三角形设外接圆的圆心为则所以故选右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中精品文档 精品文档 xPODCB A DCBA3424344234222 2 243424XOYXYO XOYYX O 解析：如图，当点 P 在 BC 上时，2 2,tan,4 tan,tan 4 tan,BOP x PB x PA x PA PB x x Q 当4 x时取得最大值5 1，以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB5 1.，又函数)(x f不是一次函数，故选 B.12设函数的范围是 成立的 则使得 x x f x fxx x f)1 2()(,11)1 ln()(2 A.)1,31(B.),1()31,(C.)31,31(D.),31()31,(解析：因为函数时函数是增函数 是偶函数，),0,11)1 ln()(2 xxx x f.131,)1 2(,1 2)1 2()(2 2 x x x x x x f x f 解得 故选 A.二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知函数 a x ax x f），则 的图像过点（4,1-2)(3。解析：a=-2 14若 x,y 满足约束条件 的最大值为 则 y x zy xy xy x2,0 1 2,0 1 2,0 5。解析：作出可行域可知，当 x=3,y=2 时，z=2x+y 取得最大值 8.答案：8 15已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为x y21，则该双曲线的标准方程为 是年逐年比较年减少二氧化碳排放量的效果最显著年我国治理二氧化碳排放显现成效年以来我国二氧化碳排放量呈减 差数列中因为所以故选一个正体被一个平面截去一部分后剩余部分的三视图如右图则截去部分体积与剩余部分体积的 题意三角形是等边三角形设外接圆的圆心为则所以故选右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中精品文档 精品文档 解析：设双曲线的方程为.4 3,4),0(42 2 k k k y x）代入方程，解得，点（1422 yx双曲线的标准方程为 16已知曲线x x y ln 在点（1,1）处的切线与曲线 a x a ax y 相切，则 1)2(2 解析：.1 2 2,11 x yxy，切线方程为 切线的斜率为 2 2 22 1(2)1 2 0,8 0,8 0.0 2 1 8.y x y ax a x ax ax a aa a a y x a 将 与 联立得 由解得 或 时曲线为 与切线平行，不符。所以 三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 12 分）.2,DC BD BAC AD BC D ABC 平分 上的点，是 中，（）求;sinsinCB（）若.,60 B BAC 求 解析：（）由正弦定理得,sinsinABACCB 再由三角形内角平分线定理得，21BDDCABAC.21sinsinCB（）120,60 C B BAC sin 1.sin 2sin,sin(120)2sin,sin 23tan,30.3BC B B BCB B 由（）得 展开得 18.（本小题满分 12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.400.0050.0100.035A地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.01510090 80 70 60 50O满意度评分频率组距 是年逐年比较年减少二氧化碳排放量的效果最显著年我国治理二氧化碳排放显现成效年以来我国二氧化碳排放量呈减 差数列中因为所以故选一个正体被一个平面截去一部分后剩余部分的三视图如右图则截去部分体积与剩余部分体积的 题意三角形是等边三角形设外接圆的圆心为则所以故选右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中精品文档 精品文档 B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 频 数 2 8 14 10 6（I）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）0.0050.0100.035B地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.015100 90 80 70 60 50 O满意度评分频率组距（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.解析：（I）B 地区频率分布直方图如图所示 0.0050.0100.035B地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.015100 90 80 70 60 50 O满意度评分频率组距 比较 A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A 地区评分均值为 45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5 分 B 地区评分均值为 55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5 分 A 地区用户评价意见较分散，B 地区用户评价意见相对集中。（II）A 地区的用户不满意的概率为 0.3+0.2+0.1=0.6，B 地区的用户不满意的概率为 0.05+0.20=0.25，所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大。19.（本小题满分 12 分）如图,长方体1 1 1 1ABCD A B C D 中 AB=16,BC=10,18 AA,点 E,F 分别在1 1 1 1,A B D C 上,1 14.A E D F 过点 E,F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.是年逐年比较年减少二氧化碳排放量的效果最显著年我国治理二氧化碳排放显现成效年以来我国二氧化碳排放量呈减 差数列中因为所以故选一个正体被一个平面截去一部分后剩余部分的三视图如右图则截去部分体积与剩余部分体积的 题意三角形是等边三角形设外接圆的圆心为则所以故选右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中精品文档 精品文档 FED1C1B1A1DCBA（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解析：（I）在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N，使得 AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF，即平面。（II）两部分几何体都是高为 10 的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即.9712 610 41121 EMBBAMEASSVV 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 22 2:1 0 x yC a ba b 的离心率为22,点 2,2在 C 上.（I）求 C 的方程；（II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.解析：（I）如图所示，由题设得,22ac 又点的坐标满足椭圆的方程，所以12 42 2 b a，联立解得：.14 8,4,82 22 2 y xC b a 的方程为：所以切线（II）设 A,B 两点的坐标为.,2 2 1 1mnk n m M y x y xom）的坐标为（点），（,8 2,8 222222121 y x y x 则上面两个式子相减得：.2 222121.0)()(22 12 11 21 221222122nmnmy yx xx xy yx x y y 变形得 FED1C1B1A1DCBAC(2,2)YXOMBA是年逐年比较年减少二氧化碳排放量的效果最显著年我国治理二氧化碳排放显现成效年以来我国二氧化碳排放量呈减 差数列中因为所以故选一个正体被一个平面截去一部分后剩余部分的三视图如右图则截去部分体积与剩余部分体积的 题意三角形是等边三角形设外接圆的圆心为则所以故选右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中精品文档 精品文档.21)2(1 21 2 mnnmmnx xy yk kom l（定值）21.（本小题满分 12 分）已知 ln 1 f x x a x.（I）讨论 f x的单调性；（II）当 f x有最大值,且最大值大于2 2 a 时,求 a 的取值范围.解析：已知 ln 1 f x x a x.1I().0()01 10()0,)(,).f x axa f xa f xa a Q（）当 时，函数 在（，）上是增函数；当 时，函数 在（上是增函数，在 上是减函数（II）由（1）知，当.ln 1)1(1)(0 a aafax x f a 时取得最大值 在 时，函数.0 1 ln,2 2 ln 1 a a a a a 整理得 由1()ln 1,1,0 0,()0,()0(1)0,()(1),0 1,(0,1.g x x x g x a x g x g xxg g a g a a Q 设 则（）在（，）是增函数。又 上述不等式即 即）请考生在 22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,O 与 ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F两点.（I）证明EFBC.（II）若 AG 等于 O 的半径,且2 3 AE MN,求四边形EDCF 的面积.解析：（I）证明：由切线的性质得 AE=AF，所以 AEF 是等腰三角形，又 AB=AC,NMGOFEDCBANMGOF EDCBA是年逐年比较年减少二氧化碳排放量的效果最显著年我国治理二氧化碳排放显现成效年以来我国二氧化碳排放量呈减 差数列中因为所以故选一个正体被一个平面截去一部分后剩余部分的三视图如右图则截去部分体积与剩余部分体积的 题意三角形是等边三角形设外接圆的圆心为则所以故选右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中精品文档 精品文档 所以EF ABC AEFACAFABAE,.BC（II）解：,R OG OE AG AE OE OE 则 连接 2 2)3 2(4,22 2 2 OM R R R R OA，.,60 30,.31030 cos,5 1 2 1,321都是等边三角形，AEF ABC BAC BAD AB OEADAB R AD OD MN MD.33 1660 sin 3 22160 sin3102122 EBCFS四边形 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,x tCy t（t 为参数,且0 t）,其中0,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2 3:2sin,:2 3cos.C C（I）求2C与3C交点的直角坐标；（II）若1C与 2C相交于点 A,1C与3C相交于点 B,求AB最大值.解析：（I）曲线2 3:2sin,:2 3cos.C C 的直角坐标方程是.0 3 2:;0:2 222 21 x y x C y y x C.23230,0,.23,23.0,02 1），、（）交点的直角坐标为（联立解得 C Cyxyx（II）曲线.0 01），（的极坐标方程为 R C 2sin,2 3 cos,52sin 2 3 cos 4 sin().4.3 6A BAB AB 因此点 的极坐标为（）点 的极坐标为（）所以当 时，取得最大值，最大值为 是年逐年比较年减少二氧化碳排放量的效果最显著年我国治理二氧化碳排放显现成效年以来我国二氧化碳排放量呈减 差数列中因为所以故选一个正体被一个平面截去一部分后剩余部分的三视图如右图则截去部分体积与剩余部分体积的 题意三角形是等边三角形设外接圆的圆心为则所以故选右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中精品文档 精品文档 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明选讲设,a b c d 均为正数,且a b c d.证明：（I）若ab cd,则a b c d；（II）a b c d 是a b c d 的充要条件.证明：（I）因为,2,222cd d c d c ab b a b a）（由题设知.,d c b a cd ab d c b a（II）（必要性）.4)(4)(,)()(,2 2 2 2cd d c ab b a d c b a d c b a 变形得 则 若.1,d c b a cd ab d c b a）得 由（充分性）若 2 2,d c b a d c b a 则.4 4 4.,2 22 2 2 2 2d c b ad c cd d c ab d c ab b a b acd ab d c b a cd d c ab b a 成立的充要条件。是 所以，d c b a d c b a 是年逐年比较年减少二氧化碳排放量的效果最显著年我国治理二氧化碳排放显现成效年以来我国二氧化碳排放量呈减 差数列中因为所以故选一个正体被一个平面截去一部分后剩余部分的三视图如右图则截去部分体积与剩余部分体积的 题意三角形是等边三角形设外接圆的圆心为则所以故选右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中