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精品文档 精品文档 2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第卷 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.（1）设集合2|4 3 0 A x x x，|2 3 0 B x x，则A B I（A）3(3,)2（B）3(3,)2（C）3(1,)2（D）3(,3)2（2）设(1 i)1 i x y，其中 x，y 是实数，则i=x y（A）1（B）2（C）3（D）2（3）已知等差数列 na前 9 项的和为 27，10=8 a，则 100=a（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在 7:00，8:00，8:30 发车，学.科网小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（A）31（B）21（C）32（D）43（5）已知方程132222 n myn mx表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（A）(1,3)（B）(1,3)（C）(0,3)（D）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17（B）18（C）20（D）28（7）函数 y=2x2 e|x|在 2,2的图像大致为（A）（B）（C）（D）（8）若10 1 a b c，则（A）c ca b（B）c cab ba（C）log logb aa c b c（D）log loga bc c（9）执行右面的程序图，如果输入的0 1 1 x y n，则输出 x，y 的值满足（A）2 y x（B）3 y x（C）4 y x（D）5 y x(10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C于 A、B 两点，交 C 的标准线于 D、E 两精品文档 精品文档 点.已知|AB|=4 2，|DE|=2 5，则 C 的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8(11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A，a/平面 CB1D1，a 平面 ABCD=m，a 平面 ABA1B1=n，则 m、n 所成角的正弦值为(A)32(B)22(C)33(D)13（12）.已知函数()sin()(0),2 4f x x+x，为()f x的零点，4x为()y f x 图像的对称轴，且()f x在518 36，单调，则的最大值为（A）11（B）9（C）7（D）5 第 II 卷 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分(13)设向量 a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=_.(14)5(2)x x 的展开式中，x3 的系数是 _.（用数字填写答案）（15）设等比数列 满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2an的最大值为 _。（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 _元。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本题满分为 12 分）ABC的内角 A，B，C 的对边分别别为 a，b，c，已知 2cos(cos cos).C a B+b A c（I）求 C；（II）若7,c ABC V的面积为3 32，求ABC V的周长（18）（本题满分为 12 分）如图，在已 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD，90 AFD o，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是60o（I）证明平面 ABEFEFDC；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值 的时刻是随机的则他等车时间不超过分钟的概率是已知方程表示双曲线且该双曲线两焦点间的距离为则的取值范围是 数在的图像大致为若则执行右的程序图如果输入的则输出的值满足以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点交的标准线于 角的正弦值为求若的面积为求的周长已知函数为的零点为图像的对称轴且在单调则的最大值为第卷二填空题本大题共精品文档 精品文档（19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求()0.5 P X n，确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19 n 与20 n 之中选其一，应选用哪个？20.（本小题满分 12 分）设圆2 22 15 0 x y x 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l 交圆A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M,N 两点，学科&网过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.（21）（本小题满分 12 分）已知函数2)1()2()(x a e x x fx有两个零点.(I)求 a 的取值范围；(II)设 x1，x2是 的两个零点，证明：+x22.的时刻是随机的则他等车时间不超过分钟的概率是已知方程表示双曲线且该双曲线两焦点间的距离为则的取值范围是 数在的图像大致为若则执行右的程序图如果输入的则输出的值满足以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点交的标准线于 角的正弦值为求若的面积为求的周长已知函数为的零点为图像的对称轴且在单调则的最大值为第卷二填空题本大题共精品文档 精品文档 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120.以 O 为圆心，21OA 为半径作圆.(I)证明：直线 AB 与 O 相切；(II)点 C,D 在 O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：AB CD.（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数，a 0）。在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos。（I）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3的极坐标方程为=0，其中 0满足 tan0=2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a。（24）（本小题满分 10 分），选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)=x+1-2x-3.（I）在答题卡第（24）题图中画出 y=f(x)的图像；（II）求不等式 f(x)1 的解集。的时刻是随机的则他等车时间不超过分钟的概率是已知方程表示双曲线且该双曲线两焦点间的距离为则的取值范围是 数在的图像大致为若则执行右的程序图如果输入的则输出的值满足以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点交的标准线于 角的正弦值为求若的面积为求的周长已知函数为的零点为图像的对称轴且在单调则的最大值为第卷二填空题本大题共精品文档 精品文档 2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A（7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分(13)2(14)10（15）64（16）216000 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分为 12 分）解：（I）由已知及正弦定理得，2cosC sin cos sin cos sinC，即 2cosCsin sinC 故2sinCcosC sinC 可得1cosC2，所以C3（II）由已知，1 3 3sin C2 2ab 又C3，所以6 ab 由已知及余弦定理得，2 22 cosC 7 a b ab 故2 213 a b，从而 225 a b 所以C 的周长为5 7（18）（本小题满分为 12 分）解：（I）由已知可得F DF，F F，所以F 平面FDC 又F 平面F，故平面F 平面FDC（II）过D作DG F，垂足为G，由（I）知DG 平面F 以G为坐标原点，GFu u u r的方向为x轴正方向，GFu u u r为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz 由（I）知DF 为二面角D F 的平面角，故DF 60 o，则DF 2，DG 3，可得 1,4,0，3,4,0，3,0,0，D 0,0,3 由已知，/F，所以/平面FDC 又平面CD I平面FDC DC，故/CD，CD/F 由/F，可得 平面FDC，所以C F 为二面角C F 的平面角，C F 60 o从而可得 C 2,0,3 所以 C 1,0,3 u u u r，0,4,0 uu u r，C 3,4,3 uuu r，4,0,0 uuu r 设,n x y z r是平面C 的法向量，则C 00nn u u u rru u u rr，即3 04 0 x zy，所以可取 3,0,3 n r 设mr是平面CD 的法向量，则C 00mm u u u rru u u rr，同 理 可 取 0,3,4 m r 则的时刻是随机的则他等车时间不超过分钟的概率是已知方程表示双曲线且该双曲线两焦点间的距离为则的取值范围是 数在的图像大致为若则执行右的程序图如果输入的则输出的值满足以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点交的标准线于 角的正弦值为求若的面积为求的周长已知函数为的零点为图像的对称轴且在单调则的最大值为第卷二填空题本大题共精品文档 精品文档 2 19cos,19n mn mn m r rr rr r 故二面角C 的余弦值为2 1919（19）（本小题满分 12 分）解：（）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而 04.0 2.0 2.0)16(X P；16.0 4.0 2.0 2)17(X P；24.0 4.0 4.0 2.0 2.0 2)18(X P；24.0 2.0 4.0 2 2.0 2.0 2)19(X P；2.0 2.0 2.0 4.0 2.0 2)20(X P；08.0 2.0 2.0 2)21(X P；04.0 2.0 2.0)22(X P.所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0（）由（）知44.0)18(X P，68.0)19(X P，故n的最小值为 19.（）记Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19 n时，08.0)500 2 200 19(2.0)500 200 19(68.0 200 19 EY 4040 04.0)500 3 200 19(.学科&网 当20 n时，04.0)500 2 200 20(08.0)500 200 20(88.0 200 20 EY4080.可知当19 n时所需费用的期望值小于20 n时所需费用的期望值，故应选19 n.20.解：（）因为|AC AD，AC EB/，故ADC ACD EBD，所以|ED EB，故|AD ED EA EB EA.又圆A的标准方程为16)1(2 2 y x，从而4|AD，所以4|EB EA.由题设得)0,1(A，)0,1(B，2|AB，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：13 42 2 y x（0 y）.（）当l与x轴不垂直时，设l的方程为)0)(1(k x k y，),(1 1y x M，),(2 2y x N.由 13 4)1(2 2y xx k y得0 12 4 8)3 4(2 2 2 2 k x k x k.则3 48222 1 kkx x，3 412 4222 1kkx x.所以3 4)1(12|1|222 12 kkx x k MN.过点)0,1(B且与l垂直的直线m：)1(1 xky，A到m的距离为122 k，所的时刻是随机的则他等车时间不超过分钟的概率是已知方程表示双曲线且该双曲线两焦点间的距离为则的取值范围是 数在的图像大致为若则执行右的程序图如果输入的则输出的值满足以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点交的标准线于 角的正弦值为求若的面积为求的周长已知函数为的零点为图像的对称轴且在单调则的最大值为第卷二填空题本大题共精品文档 精品文档 以13 44)12(4 2|22222 kkkPQ.故四边形MPNQ的面积3 411 12|212 kPQ MN S.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为)3 8,12.当l与x轴垂直时，其方程为1 x，3|MN，8|PQ，四边形MPNQ的面积为 12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为)3 8,12.的时刻是随机的则他等车时间不超过分钟的概率是已知方程表示双曲线且该双曲线两焦点间的距离为则的取值范围是 数在的图像大致为若则执行右的程序图如果输入的则输出的值满足以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点交的标准线于 角的正弦值为求若的面积为求的周长已知函数为的零点为图像的对称轴且在单调则的最大值为第卷二填空题本大题共精品文档 精品文档（21）（本小题满分 12 分）解：（）()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a（i）设0 a，则()(2)xf x x e，()f x只有一个零点（ii）设0 a，则当(,1)x 时，()0 f x；当(1,)x 时，()0 f x 所以()f x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 又(1)f e，(2)f a，取b满足0 b 且ln2ab，则 2 23()(2)(1)()02 2af b b a b a b b，故()f x存在两个零点（iii）设0 a，由()0 f x 得1 x 或ln(2)x a 若2ea，则ln(2)1 a，故当(1,)x 时，()0 f x，因此()f x在(1,)上单调递增又当1 x 时，()0 f x，所以()f x不存在两个零点学科&网 若2ea，则ln(2)1 a，故 当(1,ln(2)x a 时，()0 f x；当(ln(2),)x a 时，()0 f x 因 此()f x在(1,ln(2)a 单 调 递 减，在(ln(2),)a 单调递增又当1 x 时，()0 f x，所以()f x不存在两个零点 综上，a的取值范围为(0,)（）不妨设1 2x x，由（）知1 2(,1),(1,)x x，22(,1)x，()f x在(,1)上单调递减，所以1 22 x x 等价于1 2()(2)f x f x，即2(2)0 f x 由于22 22 2 2(2)(1)xf x x e a x，而222 2 2()(2)(1)0 xf x x e a x，所以2 222 2 2(2)(2)x xf x x e x e 设2()(2)x xg x xe x e，则2()(1)()x xg x x e e 所以当1 x 时，()0 g x，而(1)0 g，故当1 x 时，()0 g x 从而2 2()(2)0 g x f x，故1 22 x x 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 解：（）设E是AB的中点，连结OE，因为,120 OA OB AOB，所以OE AB，60 AOE 在Rt AOE 中，12OE AO，即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB与O相切 的时刻是随机的则他等车时间不超过分钟的概率是已知方程表示双曲线且该双曲线两焦点间的距离为则的取值范围是 数在的图像大致为若则执行右的程序图如果输入的则输出的值满足以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点交的标准线于 角的正弦值为求若的面积为求的周长已知函数为的零点为图像的对称轴且在单调则的最大值为第卷二填空题本大题共精品文档 精品文档 EODCOBA（）因为2 OA OD，所以O不是,A B C D四点所在圆的圆心，设 O是,A B C D四点所在圆的圆心，作直线 OO 由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又 O在线段AB的垂直平分线上，所以 OO AB 同理可证，OO CD 所以/AB CD（23）（本小题满分 10 分）解：cos1 sinx a ty a t（t 均为参数）22 21 x y a 1C 为以 0 1，为圆心，a 为半径的圆方程为2 2 22 1 0 x y y a 2 2 2sin x y y，2 22 sin 1 0 a 即为1C 的极坐标方程 24cos C：学科&网 两边同乘 得2 2 2 24 cos cos x y x Q，2 24 x y x 即 222 4 x y 3C：化为普通方程为 2 y x 由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C 的时刻是随机的则他等车时间不超过分钟的概率是已知方程表示双曲线且该双曲线两焦点间的距离为则的取值范围是 数在的图像大致为若则执行右的程序图如果输入的则输出的值满足以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点交的标准线于 角的正弦值为求若的面积为求的周长已知函数为的零点为图像的对称轴且在单调则的最大值为第卷二填空题本大题共精品文档 精品文档 得：24 2 1 0 x y a，即为3C 21 0 a 1 a（24）（本小题满分 10 分）解：如图所示：4 133 2 12342x xf x x xx x，1 f x 当 1 x，4 1 x，解得 5 x 或 3 x 1 x 当312x，3 2 1 x，解得 1 x 或13x 113x 或312x 当32x，4 1 x，解得 5 x 或 3 x 332x 或 5 x 综上，13x 或 1 3 x 或 5 x 1 f x，解集为 11 3 53 U U，的时刻是随机的则他等车时间不超过分钟的概率是已知方程表示双曲线且该双曲线两焦点间的距离为则的取值范围是 数在的图像大致为若则执行右的程序图如果输入的则输出的值满足以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点交的标准线于 角的正弦值为求若的面积为求的周长已知函数为的零点为图像的对称轴且在单调则的最大值为第卷二填空题本大题共