2023年微分几何练习题库及参考答案已修改.pdf

微 分 几 何 复 习 题 与 参 考 答 案 一、填空题 1 极限2 32lim(3 1)i j ktt t r r r13 8 i j k rr r 2 设 f()(sin)i j t t t r r r，2g()(1)i jtt t e r r，求0lim()()tf t g t rr 0 3 已知 42r()d=1,2,3 t t r，64r()d=2,1,2 t t r，2,1,1 a r，1,1,0 b r，则4 62 2()()a r t dt+b a r t dt=rr r r r 3,9,5.4 已知()r t ar r（ar为常向量），则()r t rta c r r 5 已知()r t tar r，（ar为常向量），则()r t r 212t a c r r 6.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的 _ 切线 _和 密切平面_.7.曲率恒等于零的曲线是 _ 直线 _.8.挠率恒等于零的曲线是 _ 平面曲线 _.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线.10.曲线()r r t r r在 t=2 处有 3 vv&，则曲线在 t=2 处的曲率 k=3.11.若在点0 0(,)u v 处v0ur r rr r，则0 0(,)u v 为曲面的 _ 正常 _点.12 已知()(2)(ln)f t t j t k r rr，()(sin)(cos)g t t i t j r rr，0 t，则40()df g dtdt rr4 cos 6 2 13 曲线 3()2,tr t t t e r在任意点的切向量为 22,3,tt e 14 曲线()cosh,sinh,r t a t a t at r在 0 t 点的切向量为 0,a a 15 曲线()cos,sin,r t a t a t bt r在 0 t 点的切向量为 0,a b 16 设曲线2:,t tC x e y e z t，当 1 t 时的切线方程为2111 zeeyee x 17 设曲线t t te z t e y t e x,sin,cos，当 0 t 时的切线方程为 1 1 z y x.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 _F=M=0_ _.19.u曲线（v曲线）的正交轨线的微分方程是 _ Edu+Fdv 0（Fdu+Gdv 0）_.20.在欧拉公式 2 21 2cos sinnk k k 中，是 方向(d)与 u曲线 的夹角.21.曲面的三个基本形式,、高斯曲率、平均曲率 之间的关系是2 0 H K.22 已知 r(,),u v u v u v uv r，其中2,sin u t v t，则drdtr 2 cos,2 cos,2 cos t t t t vt u t 23 已知 r(,)cos cos,cos sin,sin a a a r，其中 t，2t，则dr(,)dt r sin cos 2 cos sin,sin sin 2 cos cos,cos a at a at a 24 设(,)r r u v r r为曲面的参数表示，如果 0u vr r rr r，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G r r 是 一一对应的，则称曲面是简单曲面 25 如果 u 曲线族和 v 曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 26 平面 r(,),0 u v u v r的第一基本形式为2 2d d u v，面积微元为 d d u v 27 悬链面 r(,)cosh cos,cosh sin,u v u v u v u r第一基本量是2 2cosh 0,cosh E u F G u，28 曲面 z axy 上坐标曲线0 x x，0y y 的交角的余弦值是20 02 2 2 20 0(1)(1)a x ya x a y.29 正螺面(,)cos,sin,r u v u v u v bv r的第一基本形式是2 2 2 2d()d u u b v 30 双曲抛物面 r(,)(),(),2 u v a u v b u v uv r的第一基本形式是2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(4)d 2(4)d d(4)d a b v u a b uv u v a b u v 31 正螺面(,)cos,sin,r u v u v u v bv r的平均曲率为 0 32 方向(d)d:d u v 是渐近方向的充要条件是2 2()0 2 0nk d Ldu Mdudv Ndv 或 33.方向(d)d:d u v 和():u v 共轭的充要条件是(,)0()0 dr r Ldu u M du v dv u Ndv v IIr r或 向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本34.是主曲率的充要条件是 0E L F MF M G N 35.(d)d:d u v 是主方向的充要条件是2 2d d d d0 0d d d ddv dudv duE u F v L u M vE F GF u G v M u N vL M N 或 36.根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d:d)u v 是主方向，则n ndn k dr k r r，其中 是沿方向(d)的法曲率 37 旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面 38 测地曲率的几何意义是曲面 S 上的曲线在 P 点的测地曲率的绝对值等于(C)在 P点的切平面 上的正投影曲线(C*)的曲率 39,g nk k k 之间的关系是2 2 2g nk k k 40 如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 41 正交网时测地线的方程为 cos sin2 2cossinv uE G d=dsE G G Edu=dsEdv=dsG 42 曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线.二、单项选择题 1 已知(),t tr t e t er，则 r(0)r为（A）A.1,0,1；B.1,0,1；C.0,1,1；D.1,0,1.2 已知()()r t r t r r，为常数，则()r tr为（C）A.ta r；B.a r；C.te ar；D.e ar.其中 ar为常向量 3.曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D）A切线与固定方向成固定角；B副法线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂直；D副法线与固定方向垂直 4.曲面在每一点处的主方向（A）A至少有两个；B只有一个；C只有两个；D可能没有.向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本5 球面上的大圆不可能是球面上的（D）A测地线；B曲率线；C法截线；D渐近线.6.已知 r(,),x y x y xy r，求(1,2)drr为（D）A.d,d,d 2d x y x y；B.d d,d d,0 x y x y；C.d-d,d+d,0 x y x y；D.d,d,2d d x y x y.7 圆柱螺线 cos,sin,r t t t r的切线与 z 轴（C）.A.平行；B.垂直；C.有固定夹角4；D.有固定夹角3.8 设平面曲线:()C r r s r r，s 为自然参数，rr,是曲线的基本向量叙述错误的是（C）A.r为单位向量；B.r r&；C.k rr&；D.k rr r&.9 直线的曲率为（B）A.-1；B.0；C.1；D.2.10 关于平面曲线的曲率:()C r r s r r不正确的是（D）A.()()k s s r&；B.()()k s s&，为()s r的旋转角；C.()k s r&；D.()|()|k s r s r&.11 对于曲线，“曲率恒等于 0”是“曲线是直线”的（D）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.12 下列论述不正确的是（D）A.,rr r,均为单位向量；B.rr；C.rr；D.rrP.13 对于空间曲线 C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.142sin 4),cos 1(),sin(ta z t a y t t a x 在点2 t 的切线与 z 轴关系为（D）A.垂直；B.平行；C.成3的角；D.成4的角.向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本15 椭球面 2 2 22 2 21x y za b c 的参数表示为（C）A.,cos cos,cos sin,sin x y z；B.,cos cos,cos sin,sin x y z a b；C.,cos cos,cos sin,sin x y z a b c；D.,cos cos,sin cos,sin 2 x y z a b c.16 曲面 2 2 3 3(,)2,r u v u v u v u v r在点(3,5,7)M 的切平面方程为（B）A.21 3 5 20 0 x y z；B.18 3 4 41 0 x y z；C.7 5 6 18 0 x y z；D.18 5 3 16 0 x y z.17 球面(,)cos cos,cos sin,sin r u v R u v R u v R u r的第一基本形式为（D）A.2 2 2 2(d sin d)R u u v；B.2 2 2 2(d cosh d)R u u v；C.2 2 2 2(d sinh d)R u u v；D.2 2 2 2(d cos d)R u u v.18 正圆柱面(,)cos,sin,r u v R v R v u r的第一基本形式为（C）A.2 2d d u v；B.2 2d d u v；C 2 2 2d d u R v；D.2 2 2d d u R v.19 在第一基本形式为2 2 2(d,d)d sinh d u v u u v I 的曲面上，方程为1 2()u v v v v 的曲线段的弧长为（B）A 2 1cosh cosh v v；B 2 1sinh sinh v v；C 1 2cosh cosh v v；D 1 2sinh sinh v v 20 设 M 为正则曲面，则 M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）A 0 E；B 0 F；C 0 G；D 0 M 21 高斯曲率为零的的曲面称为（A）A 极小曲面；B 球面；C 常高斯曲率曲面；D 平面 22 曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）A 0；B 1；C 2；D 3 23 当参数曲线构成正交网时，参数曲线 u-曲线的测地曲率为（B）A 1 ln2EuE；B 1 ln2EvG；C 1 ln2GvE；D 1 ln2EuG 24 如果测地线同时为渐近线，则它必为（A）向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本 A 直线；B 平面曲线；C 抛物线；D 圆柱螺线 三、判断题（正确打，错误打）1.向量函数()r r t r r具有固定长度，则()()r t r tr r.2.向量函数()r r t r r具有固定方向，则()()r t r tr rP.3.向量函数()r tr关于 t 的旋转速度等于其微商的模()r tr.4.曲线 的曲率、挠率都为常数，则曲线 是圆柱螺线.5.若曲线 的曲率、挠率都为非零常数，则曲线 是圆柱螺线.6.圆柱面 cos,sin,r R R z rz 线是渐近线.7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.9.等距变换一定是保角变换.10.保角变换一定是等距变换.11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一 13.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线 14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向 15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量 16.曲面上的直线一定是测地线 17.微分方程 A(,)B(,)0 u v du u v dv 表示曲面上曲线族.18.二阶微分方程2 2(,)2(,)(,)0 A u v du B u v dudv C u v dv 总表示曲面上两族曲线.19.坐标曲线网是正交网的充要条件是 0 F，这里 F 是第一基本量.20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.22.球面上的圆一定是测地线.23.球面上经线一定是测地线.24.测地曲率是曲面的内蕴量.四、计算题 1 求旋轮线)cos 1(),sin(t a y t t a x 的 2 0 t 一段的弧长 解 旋轮线()(sin),(1 cos)r t a t t a t r的切向量为()cos,sin r t a a t a t r，则在 2 0 t 一段的弧长为：2 20 0()d 2 1 cos d 8 s r t t a t t a r 2 求曲线tte z t t y t t x,cos,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量 向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本解 由题意知()sin cos,cos sin,t tr t t t t t t t e te r，()2cos sin,2sin cos,2t tr t t t t t t t e te r，在原点，有(0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r r r，又()(),r r r r r r rr r r r r r r r r r rrrr r r r，r rr r r rrr r，所以有2 2 6 6 6 3 3 3(0,),(,),(,)2 2 3 6 6 3 3 3 rr r.3 圆柱螺线为()cos,sin,r t a t a t bt r，求基本向量,rr r；求曲率 k 和挠率.解()sin,cos,r t a t a t b r，()cos,sin,0 r t a t a t r，又由公式()(),r r r r r r r r rr r r r r r r r r r r r r r rrr rr r r r r r 由一般参数的曲率公式3()r rk tr r rr及挠率公式2(,)()r r rtr r r r rr r 有2 2aka b，2 2b ab.4 求正螺面(,)cos,sin,r u v u v u v bv r的切平面和法线方程 解 cos,sin,0ur v v r，sin,cos,vr u v u v b r，切平面方程为 cos sincos sin 0 0sin cosx u v y u v z bvv vu v u v b，法线方程为cos sinsin cosx u v y u v z bvb v b v u 5 求球面(,)cos cos,cos sin,sin r a a a r上任一点处的切平面与法线方程 解 sin cos,sin sin,cos r a a a r，cos sin,cos cos,0 r a a r，球面上任意点的切平面方程为 即 cos cos cos sin sin 0 x y z a，法线方程为 即cos cos cos sin sincos cos cos sin sinx a y a z a 6 求圆柱螺线 cos,sin,x a t y a t z t 在点(,0,0)a 处的密切平面.解()sin,cos,1,r t a t a t r()cos,sin,0,r t a t a t r 向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本所以曲线在原点的密切平面的方程为 即 sin)(cos)sin 0 t x t y az a t(.7 求旋转抛物面2 2()z a x y 的第一基本形式 解 参数表示为 2 2(,),()r x y x y a x y r，1,0,2xr ax r，0,1,2yr ay r，2 21 4x xE r r a x r r，24x yF r r a xy r r，2 21 4y yG r r a y r r，2 2 2 2 2 2 2(d,d)(1 4)d 8 d d(1 4)d x y a x x a xy x y a y y I 8 求正螺面(,)cos,sin,r u v u v u v bv r的第一基本形式 解 cos,sin,0ur v v r，sin,cos,vr u v u v b r，1u uE r r r r，0u vF r r r r，2 2v vG r r u b r r，2 2 2 2(d,d)d()d u v u u b v I 9 计算正螺面(,)cos,sin,r u v u v u v bv r的第一、第二基本量 解 cos,sin,0ur v v r，sin,cos,vr u v u v b r，0,0,0uur r，sin,cos,0uvr v v r，cos,sin,0vvr u v u v r，cos sin 0 sin,cos,sin cosu vi j kr r v v b v b v uu v u v b rr rr r，2 2sin,cos,u vu vb v b v ur rnr rb u r rrr r，1u uE r r r r，0u vF r r r r，2 2v vG r r u b r r，0uuL r n r r，2 2uvbM r nb u r r，0vvN r n r r 10计算抛物面2 2z x y 的高斯曲率和平均曲率 解 设抛物面的参数表示为 2 2(,),r x y x y x y r，则 1,0,2xr x r，0,1,2yr y r，0,0,2xxr r，0,0,0 xy yxr r r r，0 0 2yyr r，1 0 2 2,2,10 1 2x yi j kr r x x yy rr rr r，2 22,2,1|4 4 1x yx yr r x ynr rx y r rrr r，21 4x xE r r x r r，4x yF r r xy r r，21 4y yG r r y r r，向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本2 224 4 1xxL r nx y r r，0 xyM r n r r，2 224 4 1yyN r nx y r r，2 2 22 2 2 2 2 2 2404 4 4 1(1 4)(1 4)(4)(4 4 1)LN M x yKEG F x y xy x y，2 23 22 221 2 4 4 22(4 4 1)GL FM EN x yHEG Fx y 11.计算正螺面(,)cos,sin,r u v u v u v av r的高斯曲率.解 直接计算知 1 E，0 F，2 2G u a，0 L，2 2aMu a，0 N，2 22 2 2 2()LN M aKEG F u a 12.求曲面2z xy 的渐近线.解 2z xy，则2zp yx，2zq xyy，220zrx，22zs yx y，222zt xy 所以，L=0，4 2 221 4yMy x y，4 2 221 4xNy x y 渐近线微分方程为24 2 2 4 2 24 201 4 1 4y xdxdy dyy x y y x y，化简得(2)0 dy ydx xdy，0 2 0 dy ydx xdy 或 渐近线为 y=C1，x2y=C2 13.求螺旋面 cos,sin,r u v u v bv r上的曲率线.解 u vr cos,sin v,0,r u sin v,u cos v,b v r r uu uv vvr=0,0,0,r=sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0 r r r，2 2bL 0,M,N 0u b 曲率线的微分方程为:向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本2 22 22 2dv dudv du1 0 u b=0b0 0u b 或 dub udv2 21 积分得两族曲率线方程:14.求马鞍面2 2,r u v u v r在原点处沿任意方向的法曲率.解 1,0,2,0,1,2 r ru vr u r v，u v2 2u v2u,2v,1r rnr r4u 4v 1 r rrr r，2 22 2 2 22 21 4 4 1 4 4 du dvu v u v，2 22 2n2 2 2 22du dv)1 4u 4vk=(1 4u)du 8uvdudv(1 4v)dv（.15.求抛物面2 2()z a x y 在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即2 2,(),rr x y a x y 0,0,2,0,0,0,0,0,2 r r rxx xy yyr a r r a，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2a k 000 2a k，所以两主曲率分别为 1 2k k 2a.16.求曲面2 2,r u v u v r在点(1,1)的主方向.解 ur=,ur1,0 2,vr,vr=01,2 2 21 4,4,1 4 E u F uv G v 2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M 代入主方向方程，得()()0 du dv du dv,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1 du dv u v.17.求曲面2 3(,),r u v u v u v r上的椭圆点，双曲点和抛物点 解 由2 3,r u v u v r 得 ur=,ur1,0 2,2,vr,vr=0 1,3 v0时，是椭圆点；v0时，是双曲点；v=0时，是抛物点.18.求曲面3 2(,),r u v v u u v r上的抛物点的轨迹方程 解 由3 2(,),r u v v u u v r 得 ur=u,r0,2 1,2,vr v,r=3 0,1 向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本令 322720uvLN M=.EG-F 得 u=0 或 v=0 所以抛物点的轨迹方程为 r=v,vr30 或 0 r=,u,ur2.19.求圆柱螺线()cos,sin,r t a t a t bt r自然参数表示.解 由()cos,sin,r t a t a t bt r得 sin,cos,r a t a t br-，2 2()+,r t a br 弧长2 2 2 20()+=+,ts t a b dt a b t 2 2,+sta b 曲线的自然参数表示为2 2 2 2 2 2()cos,sin,.+s s sr s a a ba b a b a br 20.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为 a a sr r=(),则主法线曲面为：r=a s v s,rr r()+()则,a=a=r r r&,b=-k r rr r&a b=k,rrg 2,2 2b=k+r 所以腰曲线是2 2 2a b kr=a s s=a s sk b rrr rg r r rr()-()()+()+21 求位于正螺面 cos,sin,x u v y u v z av 上的圆柱螺线0 0cos,sin,x u v y u v z av（0u=常数）的测地曲率 解 因为正螺面的第一基本形式为2 2 2 2d()d u u a v，螺旋线是正螺面的 v-曲线0u u，由2 得d0ds 由正交网的坐标曲线的测地曲率得02 202ugG uku aG E 五、证明题 1.设曲线：(s),r r r r证明：2()k-;r,r,r=k.r r r r r&证明 由伏雷内公式，得=k=-,r rr r&，两式作点积，得=-k=-k,r rr r&r=r=k,rr r r r&，2()r=k+k=k+k-k+=-k+k+k r r r rr r r r r&2.设曲线：(s),r r r r 证明：3()()r,r,r=k k-k.r r r&证明 由伏雷内公式，得 3.曲线()r r s r r是一般螺线，证明1:r R ds rr r也是一般螺线（R 是曲线 的曲率半径）证明 1r R ds rr r，两边关于 s 微商，得 向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本1 r rP，由于是一般螺线，所以 也是一般螺线.4.证明曲线()sin(),s(),(r t a t dt a co t dt bt a,b r是常数）是一般螺线 证明()sin(),cos(),r t a t a t b r k ab.5 曲面 S 上一条曲线(C),P 是曲线(C)上的正常点，n gk,k,k 分别是曲线(C)在点 P的曲率、法曲率与测地曲率，证明2 2 2n gk=k+k 证明 测地曲率()gk k k n r rr r r(,)k n k n rr r r rsin k.(是主法向量r与法向量nr的夹角)法曲率cosnk k n k rr，6.证明曲线 cos,sin,0t tr e t e t r的切向量与曲线的位置向量成定角 证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为 cos,sin,0t tr e t e t r，该点切线的切向量为：(cos sin),(sin cos),0t tr e t t e t t r，则有：22cos22tt tr r er re e r rr r，故夹角为4.由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角 7 证明：若 rr和 r r对一切 t 线性相关，则曲线是直线 证明 若 rr和 rr对一切 t 线性相关，则存在不同时为 0 的(),()f t g t 使()()()()0 f t r t g t r t rr r，则,()()0,t r t r t rr r 又3()r rk tr r rr，故 t 有()0 k t.于是该曲线是直线 8 证明圆柱螺线 bt z t a y t a x,sin,cos 的主法线和 z 轴垂直相交 证明 由题意有()sin,cos,()cos,sin,0 r t a t a t b r t a t a t r r，由()()r r r r r rr r r r r r r r rrr r r知 cos,sin,0 t t r.另一方面 z轴的方向向量为 0,0,1 a r，而 0 a rr，故 a rr，即主法线与 z 轴垂直 9 证明曲线 t a z t t a y t a x cos,cos sin,sin2 的所有法平面皆通过坐标原点 证明 由题意可得()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t r，则任意点的法平面为 向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本0)cos(sin)cos sin(2 cos)sin(2 sin0 0 0 0 0 020 t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有 左边)cos 0(sin)cos sin 0(2 cos)sin 0(2 sin0 0 0 0 0 020t a t a t t a t a t a t a 0 右边，故结论成立 10证明曲线2 2 21 3 2 2 2 5,1 x t+t,y t t z t 为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明 2 2 21 3 2 2 2 5,1 r t+t,t t t r，3 4 2 10,2 r+t,t t r，4 10,2 r,r，0 0,0 r,r(,)0 r r r,r r r 0，所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是密切平面(0)3 2,0 r,r，(0)4 10,2 r,r 密切平面方程为1 2 13 2 0 04 10 2x y z，化简得其所在的平面方程是 2x+3y+19 z27 0.11.证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明 设曲线方程()r r s r r，定点的向径为0Rv，则 两边求微商，得()()()()s s s s k rr r r r&(1()()0 s s k r rr&由于,rr线性无关，1 00 k&k 0 曲线是直线.12.证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为()r r t r r，则曲面在任一点的密切平面方程为(),(),()0 r t r t r t r r r r 因任一点的密切平面过定点，所以(),(),()0 o r t r t r t r r r r,即(),(),()0 r t r t r t r r r 所以()r r t r r平行于固定平面，所以()r r t r r是平面曲线.13.若一条曲线的所有法平面包含非零常向量 e，证明曲线是直线或平面曲线.证明 根据已知条件，得 0.e r r，两边求导，得 0 e r r&，由伏雷内公式得 0 k e rr，)0 k，则曲线是直线；)0 e rr 又有可知 r er 因 er是常向量，所以 r是常向量，向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本于是|0,r&所以 0，所以曲线为平面曲线.14.设在两条挠曲线,的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 r r,21dsds g gr r 由伏雷内公式得 211dsds v v 1 2 r r=进而1 2 r r 15.证明挠曲线（0）的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s r r，则挠率 0，其主法线曲面的方程是：()()r s t s rr r 取(),()a r s b s r rr r，则(),()k a s b s gr rr r r r 所以,(,)(),(),k)(),(),k)(),(),)0 a b b s s s s s s r r r r rr r r r r r r r 所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16.证明挠曲线（0）的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s r r，则挠率 0，其副法线曲面的方程是：()()r s t s r r r 取(),()a r s b s rr r r，则(),()a s b s gr rr r r 所以,(,)(),(),)0 a b b s s r r rr r r，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线 r r(s),r r 则曲线的主法线曲面为 r r s+v s rr r=()()2,s vs vr r vk vn=r rvk v r r r rrr r2（1-）-（1-）（）沿曲线（v 0）n=r r，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2 ncos 0,k k 所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18.证明二次锥面 cos,sin,r au bu cu r沿每一条直母线只有一个切平面.证明 cos,sin,cos,sin,0()rr rr au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0 rr r）,所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率 K=0 证明.向成固定角的曲线称为一般螺线在处有则曲线在处的曲率则曲线若在点处已知为曲面的正常点则曲线在任意点的切向 网是曲率线网的充要条件是曲线曲线的正交轨线的微分方程是在欧拉公式中是方向与曲线的夹角曲面的三个基本形式 一对应的则称曲面是简单曲面如果曲线族和曲线族处处不相切则称相应的坐标网为正规坐标网平面悬链面的第一基本 19.给出曲面上一条曲率线，设 上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向 量成定角，求证 是一平面曲线.证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角 0，则 cos r rg0 两边求微商，得 0 g gr r r rg g 由于曲线 是曲率线，所以 gr rP，进而 0 gr rg，由伏雷内公式得0 rrg 0 时，是一平面曲线 n 0 vvg，即 n vv，nkcos=0 k，又因为 是曲率线，所以 0ndn k dr vv v即 nv是常向量，所以 是平面曲线.20 求证正螺面上的坐标曲线（即 u 曲线族 v 曲线族）互相垂直 证明 设正螺面的参数表示是(,)cos,sin,r u v u v u v bv r，则 cos,sin,0ur v v r，sin,cos,vr u v u v b r，cos,sin,0 sin,cos,0u vr r v v u v u v b r r，故正螺面上的坐标曲线互相垂直 21.证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和