中考数学几何模型--胡不归最值模型.pdf

（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 1 页 共 19 页 V2V1MNCBACH=kACsin=CHAC=kHDABCNM中考数学几何模型 10：胡不归最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如 PA+PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家 根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置 A 到家 B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭 邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道 AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？V1V2V1驿道砂石地ABC【模型建立】如图，一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1V2，A、B 为定点，点 C 在直线 MN 上，确定点 C 的位置使2 1AC BCV V 的值最小【问题分析】12 1 1 21=V AC BCBC ACV V V V，记 12VkV，即求 BC+kAC 的最小值【问题解决】构造射线 AD 使得 sin DAN=k，即CHkAC，CH=kAC 将问题转化为求 BC+CH 最小值，过 B 点作 BH AD 交 MN 于点 C，交 AD 于 H 点，此时 BC+CH 取到最小值，即 BC+kAC 最小（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 2 页 共 19 页 M NCBADH【模型总结】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型而这里的 PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到 kPB 的等线段 典题探究 启迪思维 探究重点 例题 1.如图，ABC 中，AB=AC=10，tanA=2，BE AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则55CD BD 的最小值是 _ ABCDE HEDCBAABCDE H【分析】本题关键在于处理“55BD”，考虑 tanA=2，ABE 三边之比为 1:2:5，5sin5ABE，故作 DH AB 交 AB 于 H 点，则55DH BD 问题转化为 CD+DH 最小值，故 C、D、H 共线时值最小，此时4 5 CD DH CH BE【小结】本题简单在于题目已经将 BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线 DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在 sin=55H EDCBAEDCB 变式练习 1 如图，平行四边形 ABCD 中，DAB=60，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则32PB PD 的最小值等于 _ 子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 3 页 共 19 页 ABCDPMHPD CBA ABCDPHM【分析】考虑如何构造“32PD”，已知 A=60，且 sin60=32，故延长 AD，作 PH AD 延长线于 H 点，即可得32PH PD，将问题转化为：求 PB+PH 最小值当 B、P、H 三点共线时，可得 PB+PH 取到最小值，即 BH 的长，解直角 ABH 即可得 BH 长 例题 2.如图，AC 是圆 O 的直径，AC 4，弧 BA 120，点 D 是弦 AB 上的一个动点，那么 OD+BD 的最小值为（）A B C D【解答】解：的度数为 120，C 60，AC 是直径，ABC 90，A 30，作 BK CA，DE BK 于 E，OM BK 于 M，连接 OB BK AC，DBE BAC 30，在 Rt DBE 中，DE BD，OD+BD OD+DE，根据垂线段最短可知，当点 E 与 M 重合时，OD+BD 的值最小，最小值为 OM，BAO ABO 30，OBM 60，在 Rt OBM 中，OB 2，OBM 60，OM OBsin60，DB+OD 的最小值为，故选：B 变式练习 2 如图，ABC 中，BAC 30 且 AB AC，P 是底边上的高 AH 上一点 若 AP+BP+CP 的最小值为 2，则 BC 子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 4 页 共 19 页【解答】解：如图将 ABP 绕点 A 顺时针旋转 60 得到 AMG连接 PG，CM AB AC，AH BC，BAP CAP，PA PA，BAP CAP（SAS），PC PB，MG PB，AG AP，GAP 60，GAP 是等边三角形，PA PG，PA+PB+PC CP+PG+GM，当 M，G，P，C 共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段 CM 的长，AP+BP+CP 的最小值为 2，CM 2，BAM 60，BAC 30，MAC 90，AM AC 2，作 BN AC 于 N则 BN AB 1，AN，CN 2，BC 故答案为 例题 3.等边三角形 ABC 的边长为 6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中 BC 边在 x 轴上，BC边的高 OA 在 Y 轴上一只电子虫从 A 出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GC 到达 C 点，已知电子虫在 Y轴上运动的速度是在 GC 上运动速度的 2 倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点 G 的坐标为（0，）【解答】解：如图作 GM AB 于 M，设电子虫在 CG 上的速度为 v，电子虫走完全全程的时间 t+（+CG），在 Rt AMG 中，GM AG，电子虫走完全全程的时间 t（GM+CG），当 C、G、M 共线时，且 CM AB 时，GM+CG 最短，此时 CG AG 2OG，易知 OG 6 所以点 G 的坐标为（0，）故答案为：（0，）子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 5 页 共 19 页 变式练习 3如图，ABC 在直角坐标系中，AB AC，A（0，2），C（1，0），D 为射线 AO 上一点，一动点 P从 A 出发，运动路径为 A D C，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为（）A（0，）B（0，）C（0，）D（0，）解：假设 P 在 AD 的速度为 3V，在 CD 的速度为 1V，总时间 t+（+CD），要使 t 最小，就要+CD 最小，因为 AB AC 3，过点 B 作 BH AC 交 AC 于点 H，交 OA 于 D，易证 ADH ACO，所以 3，所以 DH，因为 ABC 是等腰三角形，所以 BD CD，所以要+CD 最小，就是要 DH+BD 最小，就要 B、D、H 三点共线就行了因为 AOC BOD，所以，即，所以 OD，所以点 D 的坐标应为（0，）例题 4.直线 y 与抛物线 y（x 3）2 4m+3 交于 A，B 两点（其中点 A 在点 B 的左侧），与抛物线的对称轴交于点 C，抛物线的顶点为 D（点 D 在点 C 的下方），设点 B 的横坐标为 t（1）求点 C 的坐标及线段 CD 的长（用含 m 的式子表示）；（2）直接用含 t 的式子表示 m 与 t 之间的关系式（不需写出 t 的取值范围）；（3）若 CD CB 求点 B 的坐标；在抛物线的对称轴上找一点 F，使 BF+CF 的值最小，则满足条件的点 F 的坐标是（3，）子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 6 页 共 19 页【解答】解：（1）抛物线 y（x 3）2 4m+3 的对称轴为 x 3，令 x 3，则有 y 3 4，即点 C 的坐标为（3，4）抛物线 y（x 3）2 4m+3 的顶点 D 的坐标为（3，4m+3），点 D 在点 C 的下方，CD 4（4m+3）4m+1（2）点 B 在直线 y 上，且其横坐标为 t，则点 B 的坐标为（t，t），将点 B 的坐标代入抛物线 y（x 3）2 4m+3 中，得：t（t 3）2 4m+3，整理，得：m t+3（3）依照题意画出图形，如图 1 所示 过点 C 作 CE x 轴，过点 B 作 BE y 轴交 CE 于点 E 直线 BC 的解析式为 y x，BE CE，由勾股定理得：BC CE CD CB，有 4m+1（t 3）（+3），解得：m 4，或 m 1 当 m 4 时，+4（4）0，不合适，m 1，此时 t+6，y 6 8故此时点 B 的坐标为（6，8）作 B 点关于对称轴的对称点 B，过点 F 作 FM BC 于点 M，连接 B M、BB 交抛物线对称轴于点 N，如图 2 所示 直线 BC 的解析式为 y x，FM BC，tan FCM，sin FCM B、B 关于对称轴对称，BF B F，BF+CF B F+FM 当点 B、F、M 三点共线时 B F+FM 最小 B 点坐标为（6，8），抛物线对称轴为 x 3，B 点的坐标为（0，8）又 B M BC，tan NB F，NF B Ntan NB F，点 F 的坐标为（3，）故答案为：（3，）子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 7 页 共 19 页 变式练习 4如图 1，在平面直角坐标系中将 y 2x+1 向下平移 3 个单位长度得到直线 l1，直线 l1与 x 轴交于点 C；直线 l2：y x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，且与直线 l1交于点 D（1）填空：点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（0，2）；（2）直线 l1的表达式为 y 2x 2；（3）在直线 l1上是否存在点 E，使 S AOE 2S ABO？若存在，则求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由（4）如图 2，点 P 为线段 AD 上一点（不含端点），连接 CP，一动点 H 从 C 出发，沿线段 CP 以每秒1 个单位的速度运动到点 P，再沿线段 PD 以每秒 个单位的速度运动到点 D 后停止，求点 H 在整个运动过程中所用时间最少时点 P 的坐标【解答】解：（1）直线 l2：y x+2，令 y 0，则 x 2，令 y 0，则 x 2，故答案为（2，0）、（0，2）；（2）y 2x+1 向下平移 3 个单位长度得到直线 l1，则直线 l1的表达式为：y 2x 2，故：答案为：y 2x 2；（3）S AOE 2S ABO，yE 2OB 4，将 yE 4 代入 l1的表达式得：4 2x 2，解得：x 3，则点 E 的坐标为（3，4）；（4）过点 P、C 分别作 y 轴的平行线，分别交过点 D 作 x 轴平行线于点 H、H，H C 交 BD 于点 P，直线 l2：y x+2，则 ABO 45 HBD，PH PD，点 H 在整个运动过程中所用时间+PH+PC，当 C、P、H 在一条直线上时，PH+PC 最小，即为 CH 6，点 P 坐标（1，3），故：点 H 在整个运动过程中所用最少时间为 6 秒，此时点 P 的坐标（1，3）子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 8 页 共 19 页 例题 5.已知抛物线 y a（x+3）（x 1）（a0），与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，经过点 A 的直线 y x+b 与抛物线的另一个交点为 D（1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点 P，使得 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点 E 是线段 AD 上的一点（不含端点），连接 BE一动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒 个单位的速度运动到点 D 后停止，问当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）y a（x+3）（x 1），点 A 的坐标为（3，0）、点 B 两的坐标为（1，0），直线 y x+b 经过点 A，b 3，y x 3，当 x 2 时，y 5，则点 D 的坐标为（2，5），点 D 在抛物线上，a（2+3）（2 1）5，解得，a，则抛物线的解析式为 y（x+3）（x 1）x2 2 x+3；（2）A 的坐标为（3，0），C（0，3），直线 AC 的解析式为：y x+3，ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形，CP AC，设直线 CP 的解析式为：y x+m，把 C（0，3）代入得 m 3，直线 CP 的解析式为：y x+3，解 得，（不合题意，舍去），P（，）；ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形，AP AC，设直线 CP 的解析式为：y x+n，把 A（3，0）代入得 n，直线 AP 的解析式为：y x，子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 9 页 共 19 页 解 y 得，P（，），综上所述：点 P 的坐标为（，）或（，）；（3）如图 2 中，作 DM x 轴交抛物线于 M，作 DN x 轴于 N，作 EF DM 于 F，则 tan DAN，DAN 60，EDF 60，DE EF，Q 的运动时间 t+BE+32DE=BE+EF，当 BE 和 EF 共线时，t 最小，则 BE DM，此时点 E 坐标（1，4）变式练习 5如图，已知抛物线 y x2+bx+c 交 x 轴于点 A（2，0）、B（8，0），交 y 轴于点 C，过点 A、B、C 三点的 M 与 y 轴的另一个交点为 D（1）求此抛物线的表达式及圆心 M 的坐标；（2）设 P 为弧 BC 上任意一点（不与点 B，C 重合），连接 AP 交 y 轴于点 N，请问：AP AN 是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；（3）延长线段 BD 交抛物线于点 E，设点 F 是线段 BE 上的任意一点（不含端点），连接 AF动点 Q从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到点 F，再沿线段 FB 以每秒 个单位的速度运动到点 B 后停止，问当点 F 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）抛物线解析式为 y（x+8）（x 2），即 y x2 x+4；当 x 0 时，y x2 x+4 4，则 C（0，4）BC 4，AC 2，AB 10，BC 2+AC2 AB2，ABC 为直角三角形，且 ACB 90，AB 为直径，圆心 M 点的坐标为（3，0）；（2）以 AP AN 为定值理由如下：如图 1，AB 为直径，APB 90，APB AON，NAO BAP，APB AON AN：AB AO：AP，AN AP AB AO 20，所以 AP AN 为定值，定值是 20；子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 10 页 共 19 页（3）AB CD，OD OC 4，则 D（0，4），易得直线 BD 的解析式为 y x 4，过 F 点作 FG x 轴于 G，如图 2，FG OD，BFG BDO，即，点 Q 沿线段 FB 以每秒 个单位的速度运动到点 B 所用时间 等于点 Q 以每秒 1 个单位的速度运动到 G 点的时间，当 AF+FG 的值最小时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少，作 EBI ABE，BI 交 y 轴于 I，作 FH BI 于 H，则 FH FG，AF+FG AF+FH，当点 A、F、H 共线时，AF+FH 的值最小，此时 AH BI，如图 2，作 DK BI，垂足为 K，BE 平分 ABI，DK DO 4，设 DI m，DIK BIO，IDK IBO，BI 2m，在 Rt OBI 中，82+（4+m）2（2m）2，解得 m1 4（舍去），m2，I（0，），设直线 BI 的解析式为 y kx+n，把 B（8，0），I（0，）代入得，解得，直线 BI 的解析式为 y x，AH BI，直线 AH 的解析式可设为 y x+q，把 A（2，0）代入得+q 0，解得 q，直线 AH 的解析式为 y x，解方程组，解得，F（2，3），即当点 F 的坐标是（2，3）时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少 达标检测 领悟提升 强化落实 1.如图，在平面直角坐标系中，点 3,3 A，点 P 为 x 轴上的一个动点，当OP AP21最小时，点 P 的坐标为 _.答案：0,2 P 2.如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且 ABC=60，点 M 为对角线 BD（不含点 B）上的一动点，则子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 11 页 共 19 页 BM AM21的最小值为 _.答案：3 2 3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax 2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点 M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，求点 M 的坐标；（3）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，求 PB+PD 的最小值【解答】解：（1）由题意，解得，抛物线解析式为 y x2 x，y x2 x（x）2，顶点坐标（，）；（2）设点 M 的坐标为（，y）A（1，0），B（0，），AB2 1+3 4 以 A 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时 AM AB，则（+1）2+y2 4，解得 y，即此时点 M 的坐标为（，）或（，）；以 B 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时 BM AB，则（）2+（y+）2 4，解得 y+或 y，子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 12 页 共 19 页 即此时点 M 的坐标为（，+）或（，）；线段 AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时 AM BM，则（+1）2+y2（）2+（y+）2，解得 y，即此时点 M 的坐标为（，）综上所述，满足条件的点 M 的坐标为（，）或（，）或（，+）或（，）或（，）；（3）如图，连接 AB，作 DH AB 于 H，交 OB 于 P，此时 PB+PD 最小 理由：OA 1，OB，tan ABO，ABO 30，PH PB，PB+PD PH+PD DH，此时 PB+PD 最短（垂线段最短）在 Rt ADH 中，AHD 90，AD，HAD 60，sin60，DH，PB+PD 的最小值为 4.【问题提出】如图，已知海岛 A 到海岸公路 BD 的距离为 AB 的长度，C 为公路 BD 上的酒店，从海岛A 到酒店 C，先乘船到登陆点 D，船速为 a，再乘汽车，车速为船速的 n 倍，点 D 选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若 n 2，则时间 t+，当 a 为定值时，问题转化为：在 BC 上确定一点 D，使得+的值最小如图，过点 C 做射线 CM，使得 BCM 30（1）过点 D 作 DE CM，垂足为 E，试说明：DE；（2）请在图 中画出所用时间最短的登陆点 D【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图 中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）【综合运用】（4）如图，抛物线 y x2+x+3 与 x 轴分别交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，E 为OB 中点，设 F 为线段 BC 上一点（不含端点），连接 EF一动点 P 从 E 出发，沿线段 EF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿着线段 FC 以每秒 个单位的速度运动到 C 后停止若点 P 在整个运动过程子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 13 页 共 19 页 中用时最少，请求出最少时间和此时点 F 的坐标【解答】解：（1）如图，DE CM，DEC 90，在 Rt BCM 中，DE CDsin30 CD；（2）如图 过点 A 作 AE CM 交 BC 于点 D，则点 D 即为所用时间最短的登陆点；（3）如图，过点 C 作射线 CM，使得 sin BCM，过点 A 作 AE CM，垂足为 E 交 BC 于点 D，则点 D 为为所用时间最短的登陆点；（4）由题意得：t EF+CF，过点 C 作 CD x 轴交抛物线于点 D，过点 F 作 GF CD 交 CD 于点 G，ACB DCB，sin ABC，则 EF CF，EF+CF EF+FH，故当 E、F、H 三点共线且与 CD 垂直时，t 最小，将点 B、C 坐标代入一次函数表达式并解得：直线 BC 的表达式为：y x+3，点 E 是 OB 中点，其坐标为：（3，0），当 x 3 时，对于 y x+3，y，点 F 坐标为（3，），t EF+CF，当 H、F、E 三点共线时，EF+FH OC 3，即：最小时间为 3 秒 5.如图，ABC 是等边三角形（1）如图 1，AH BC 于 H，点 P 从 A 点出发，沿高线 AH 向下移动，以 CP 为边在 CP 的下方作等边子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 14 页 共 19 页 三角形 CPQ，连接 BQ求 CBQ 的度数；（2）如图 2，若点 D 为 ABC 内任意一点，连接 DA，DB，DC 证明：以 DA，DB，DC 为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在 P 点的移动过程中，设 x AP+2PC，点 Q 的运动路径长度为 y，当 x 取最小值时，写出 x，y 的关系，并说明理由【解答】（1）解：如图 1 中 ABC 是等边三角形，AH BC，CAP BAC 30，CA CB，ACB 60，PCQ 是等边三角形，CP CQ，PCQ ACB 60，ACP BCQ，ACP BCQ，CBQ CAP 30（2）证明：如图 2 中，将 ADC 绕当 A 顺时针旋转 60 得到 ABQ，连接 DQ ACD ABQ，AQ AD，CD BQ，DAQ 60，ADQ 是等边三角形，AD DQ，DA，DB，DC 为边一定能组成一个三角形（图中 BDQ）（3）如图 3 中，作 PE AB 于 E，CF AB 于 F 交 AH 于 G PE PA，PA+2PC 2（PA+PC）2（PE+PC），根据垂线段最短可知，当 E 与 F 重合，P 与 G 重合时，PA+2PC 的值最小，最小值为 2CF 由（1）可知 ACP BCQ，可得 BQ PA，PA BQ AG CG y，FG y，x 2（y+y），y x 6.如图，已知抛物线 y（x+2）（x 4）（k 为常数，且 k 0）与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 15 页 共 19 页 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y x+b 与抛物线的另一交点为 D（1）若点 D 的横坐标为 5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与 ABC 相似，求 k 的值；（3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线 y（x+2）（x 4），令 y 0，解得 x 2 或 x 4，A（2，0），B（4，0）直线 y x+b 经过点 B（4，0），4+b 0，解得 b，直线 BD 解析式为：y x+当 x 5 时，y 3，D（5，3）点 D（5，3）在抛物线 y（x+2）（x 4）上，（5+2）（5 4）3，k 抛物线的函数表达式为：y（x+2）（x 4）即 y x2 x（2）由抛物线解析式，令 x 0，得 y k，C（0，k），OC k 因为点 P 在第一象限内的抛物线上，所以 ABP 为钝角 因此若两个三角形相似，只可能是 ABC APB 或 ABC PAB 若 ABC APB，则有 BAC PAB，如答图 2 1 所示 设 P（x，y），过点 P作 PN x 轴于点 N，则 ON x，PN y tan BAC tan PAB，即：，y x+k P（x，x+k），代入抛物线解析式 y（x+2）（x 4），得（x+2）（x 4）x+k，整理得：x2 6x 16 0，解得：x 8 或 x 2（与点 A重合，舍去），P（8，5k）ABC APB，即，解得：k 若 ABC PAB，则有 ABC PAB，如答图 2 2 所示 设 P（x，y），过点 P作 PN x 轴于点 N，则 ON x，PN y tan ABC tan PAB，即：，子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 16 页 共 19 页 y x+P（x，x+），代入抛物线解析式 y（x+2）（x 4），得（x+2）（x 4）x+，整理得：x2 4x 12 0，解得：x 6 或 x 2（与点 A 重合，舍去），P（6，2k）ABC PAB，解得 k，k 0，k，综上所述，k 或 k（3）方法一：如答图 3，由（1）知：D（5，3），如答图 2 2，过点 D 作 DN x 轴于点 N，则 DN 3，ON 5，BN 4+5 9，tan DBA，DBA 30 过点 D 作 DK x 轴，则 KDF DBA 30 过点 F 作 FG DK 于点 G，则 FG DF 由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF+DF，运动时间：t AF+DF，t AF+FG，即运动的时间值等于折线 AF+FG 的长度值 由垂线段最短可知，折线 AF+FG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段 过点 A 作 AH DK 于点 H，则 t最小 AH，AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F 点 A 点横坐标为 2，直线 BD 解析式为：y x+，y（2）+2，F（2，2）综上所述，当点 F 坐标为（2，2）时，点 M 在整个运动过程中用时最少 方法二：作 DK AB，AH DK，AH 交直线 BD 于点 F，DBA 30，BDH 30，FH DF sin30，当且仅当 AH DK 时，AF+FH 最小，点 M 在整个运动中用时为：t，lBD：y x+，FX AX 2，F（2，）7.已如二次函数 y x2+2x+3 的图象和 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，（1）如图 1，P 是直线 BC 上方抛物线上一动点（不与 B、C 重合）过 P 作 PQ x 轴交直线 BC 于 Q，求线段 PQ 的最大值；子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 17 页 共 19 页（2）如图 2，点 G 为线段 OC 上一动点，求 BG+CG 的最小值及此时点 G 的坐标；（3）如图 3，在（2）的条件下，M 为直线 BG 上一动点，N 为 x 轴上一动点，连接 AM，MN，求 AM+MN的最小值【解答】解：（1）令 y 0，即：x2+2x+3 0，解得：x 3 或 1，即点 A、B 的坐标分比为（1，0）、（3，0），令 x 0，则 y 3，则点 C 的坐标为（0，3），直线 BC 过点 C（0，3），则直线表达式为：y kx+3，将点 B 坐标代入上式得：0 3k+3，解得：k 1，则直线 BC 的表达式为：y x+3，设点 P 的坐标为（m，n），n m2+2m+3，则点 Q 坐标为（3 n，n），则 PQ m（3 n）m2+3m，a 1 0，则 PQ 有最大值，当 m，PQ 取得最大值为；（2）过直线 CG 作 GCH，使 CH GH，当 sin 时，HG GC，则 BG+CG 的最小值即为 HG+GB 的最小值，当 B、H、G 三点共线时，HG+GB 最小，则 GBO，sin，则 cos，tan，OG OBtan 3，即点 G（0，），CG 3，而 BG，BG+CG 的最小值为：；（3）作点 A 关于直线 BG 的对称点 A，过 A 作 A N x 轴，交 BG 于点 M，交 x 轴于点 N，则此时 AM+MN 取得最小值，即为 A N 的长度，则：GBA AA N OGB，子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着胡不归胡不归胡同何而如果先沿着驿道先走 定点的值最小点在直线上确定点的位置使问题分析记即求的最小值问题解决构造射线使得即将问题转化为求最小值过（新）中考数学几何模型-胡不归最值模型（答案解析版）第 18 页 共 19 页 AA 2ABsin ABG 2 4 sin，A N A Acos，即：AM+MN 的最小值为 8.如图，在 Rt ABC 中，ACB 90，B 30，AB 4，点 D、F 分别是边 AB，BC 上的动点，连接 CD，过点 A 作 AE CD 交 BC 于点 E，垂足为 G，连接 GF，则 GF+FB 的最小值是（）A B C D【解答】解：延长 AC 到点 P，使 CP AC，连接 BP，过点 F 作 FH BP 于点 H，取 AC 中点 O，连接OG，过点 O 作 OQ BP 于点 Q，ACB 90，ABC 30，AB 4，AC CP 2，BP AB 4 ABP 是等边三角形，FBH 30 Rt FHB 中，FH FB 当 G、F、H 在同一直线上时，GF+FB GF+FH GH 取得最小值 AE CD 于点 G，AGC 90 O 为 AC 中点，OA OC OG AC A、C、G 三点共圆，圆心为 O，即点 G 在 O 上运动 当点 G 运动到 OQ 上时，GH 取得最小值 Rt OPQ 中，P 60，OP 3，sin P OQ OP，GH 最小值为 故选：C 9.抛物线26 2 366 3y x x 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C点 P 是直线 AC 上方抛物线上一点，PF x 轴于点 F，PF 与线段 AC 交于点 E；将线段 OB 沿 x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是 O1B1，当12PE EC 的值最大时，求四边形 PO1B1C 周长的最小值，并求出对应的点 O1的坐标 子一般可以分为两类问题胡不归问题阿氏圆故事介绍从前有个少年外出求学某天不幸得知老父亲病危的消息便立即赶 了气小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说老人弥留之际