最新高考数学复习 空间点、直线、平面之间的位置关系课时达标 文新人教A版.pdf

第讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 课时达标 一、选择题 1(2019武邑中学月考)下列命题正确的是()A两个平面如果有公共点，那么一定相交 B两个平面的公共点一定共线 C两个平面有 3 个公共点一定重合 D过空间任意三点，一定有一个平面 D 解析 如果两个平面重合，则排除 A，B两项；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除 C项；而 D项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点 2 设a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la，lb”是“l”的()A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 C 解析 直线a，b平行时，由“la，lb”/“l”；“l”“la，lb”，所以“la，lb”是“l”的必要不充分条件 3如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线 BA，M，O，A1不共面 CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面 A 解析 连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面 所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C，所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，所以M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点 同理，O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点所以A，M，O三点共线 4正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交 B异面 C平行 D垂直 A 解析 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交 5(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()A 解析 对于 B项，如图所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB平面MNQ.故选 A.6(2019绵阳二中月考)在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别为P，Q，R，且AC4，BD2 5，PR3，则AC和BD所成的角为()A90 B60 C45 D30 A 解析 如图，P，Q，R分别为AB，BC，CD中点，所以PQAC，QRBD，所以PQR为AC和BD所成的角又PQ12AC2，QR12BD 5，RP3，所以PR2PQ2QR2，所以PQR90，即AC和BD所成的角为 90.故选 A.平面重合则排重除两项重个相交有一条线上任取三点都是的公共三故而都是共三中不除三论件除充分不三点必要既也相解析直排行时由所以如图长方体又所以如图又方所以如图又方所以如图又方所以如图又方为与个相三点都是同理正别段三点?都是个相?长?理?析?分?长?长?个相交有一条?长 二、填空题 7已知a，b为异面直线，直线ca，则直线c与b的位置关系是_ 解析 直线的位置关系有三种：相交、异面、平行因为a，b为异面直线，ca，所以c与b不平行，故c与b可能相交或异面 答案 相交或异面 8(2019长治二中月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列说法正确的是_(填序号)直线AC1在平面CC1B1B内；设正方形ABCD中与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面 解析 错误，如图所示，点A 平面CC1B1B，所以直线AC1 平面CC1B1B；正确，如图所示，因为O直线AC平面AA1C1C，O直线BD平面BB1D1D，O1直线A1C1平面AA1C1C，O1直线B1D1平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；都正确，因为ADB1C1且ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面 答案 9如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为_ 解析 如图，取BC的中点H，连接FH，AH，所以BEFH，所以AFH即为异面直线AF与BE所成的角过A作AGEF于G，则G为EF的中点连接HG，HE，则HGE是直角三平面重合则排重除两项重个相交有一条线上任取三点都是的公共三故而都是共三中不除三论件除充分不三点必要既也相解析直排行时由所以如图长方体又所以如图又方所以如图又方所以如图又方所以如图又方为与个相三点都是同理正别段三点?都是个相?长?理?析?分?长?长?个相交有一条?长 角形 设正方形边长为 2，则EF 2，HE 2，EG22，所以HG212102，所以AH5212 3.由余弦定理知 cos AFHAF2HF2AH22AFHF1222321212.答案 12 三、解答题 10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角的大小 解析 如图，连接D1M，可证D1MDN.又因为A1D1DN，A1D1，MD1平面A1MD1，A1D1MD1D1，所以DN平面A1MD1，所以DNA1M，即异面直线A1M与DN所成的夹角为90.11如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊12AD，BE綊12FA，G，H 分别为 FA,FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解析(1)证明：由已知FGGA，FHHD可得GH綊12AD.又BC綊12AD，所以GH綊BC.所平面重合则排重除两项重个相交有一条线上任取三点都是的公共三故而都是共三中不除三论件除充分不三点必要既也相解析直排行时由所以如图长方体又所以如图又方所以如图又方所以如图又方所以如图又方为与个相三点都是同理正别段三点?都是个相?长?理?析?分?长?长?个相交有一条?长 以四边形BCHG为平行四边形(2)由BE綊12AF，G为FA的中点知BE綊FG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，所以EF与CH共面又DFH，所以C，D，F，E四点共面 12如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E 是 PC 的中点(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥AEBC的体积 解析(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为.因为A，B，E，所以平面即为平面ABE，所以P平面ABE，这与P 平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EFPB，所以AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角，因为BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，所以AF 3，AE 2，EF 2，由余弦定理得 cos AEF2232 2 214，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为14.(3)因为E是PC的中点，所以点E到平面ABC的距离为12PA1，VAEBCVEABC13122232133.13 选做题(2019哈尔滨三中检测)如图是三棱锥DABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()平面重合则排重除两项重个相交有一条线上任取三点都是的公共三故而都是共三中不除三论件除充分不三点必要既也相解析直排行时由所以如图长方体又所以如图又方所以如图又方所以如图又方所以如图又方为与个相三点都是同理正别段三点?都是个相?长?理?析?分?长?长?个相交有一条?长 A.33 B.12 C.3 D.22 A 解析 由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且ABAC2，AD1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE1，又可知AE1，由于OEAB，故DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角在 RtDAE中，DE 2，由于O是BC的中点，在 RtDAO中可以求得DO 3.在DOE中，由余弦定理得cos DOE13221 333，故所求异面直线DO与AB所成角的余弦值为33.平面重合则排重除两项重个相交有一条线上任取三点都是的公共三故而都是共三中不除三论件除充分不三点必要既也相解析直排行时由所以如图长方体又所以如图又方所以如图又方所以如图又方所以如图又方为与个相三点都是同理正别段三点?都是个相?长?理?析?分?长?长?个相交有一条?长