浙江宁波市九校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题含答案.pdf

第1页/共7页 2022 学年第二 学 期宁波市九校联 考高二数学试题一、单 项选择 题：本题共 8 小 题，每 小题 5 分，共 40 分.在每 小题 给出 的四 个选项 中，只有一 项是 符合题 目要 求的.1.已知 复数 z 满足i 1i z=+，则z对应 的 点位 于（）A.第一 象限 B.第二 象限 C.第三 象限 D.第四 象限2.设集 合(),21xM xy y=，(),cos,4 42N xy y x x=，则 MN 中元素 的 个数为（）A.2 B.3 C.4 D.53.已知 随机 变量()211,XN，()222,YN，它 们 的分布 密度 曲线 如下 图所 示，则 下列 说法 中正确的是（）A.12，2212 B.12 C.12，2212，2212 4.已知 平面 向量a，b满足ab ab+=，则ba 在a上的投 影向 量为（）A.a B.aC.b D.b5.若1sin()43+=，(0,)，则 cos 2=（）A.79 B.429C.429D.4296.在 ABC 中，点 O 满足2 CO OB=，过点 O 的直 线分 别交 射线 AB，AC 于点 M，N，且AM mAB=，AN nAC=，则 2 mn+的最小 值为（）A.83B.103C.3 D.47.已知()fx 是定义 在 R 上的奇 函 数，且()22 f=，若 对任 意的1x，()20,x+，均有第2页/共7页()()12121fx fxxx成立，则不 等式()11 fx x+的 解集 为（）A.()()2,0 2,+B.()(),2 0,2 C.()(),1 1,3 D.()()1,1 3,+8.三面 角是 立体 几何 的重要 概 念之 一.三面 角 P ABC 是指 由 有公共 端点 P 且不 共面 的三 条射线 PA，PB，PC 以及 相邻 两射 线之 间的 平面部 分所 组成 的空 间图 形.三面 角余 弦定 理告 诉我们，若 APC=，BPC=，APB=，平面 APC 与平面 BPC 所 成夹 角为，则cos cos coscossin sin=.现已 知三棱锥 P ABC，32 PA=，3 BC=，45 APC=，60 BPC=，90 APB=，则当 三棱锥 P ABC 的体积 最大 时，它的 外接 球的表 面积 为（）A.18 B.36 C.87 2D.117 2二、多 项选择 题：本题共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题 给出 的选 项中，有多 项符合 题目 要求.全部 选对 的得 5 分，部 分选 对的得 2 分，有选 错的 得 0 分.9.下列 等式 成立 的是（）A.0!0=B.11AAmmnnn=C.11(1)C(1)Cmmnnnm+=+D.111CC Cmm mnn n+=10.以下 四个 正方 体中，满 足 AB 平面 CDE 的 有（）A.B.C.D.11.已知 函数()fx 的 定义 域为 R，()21 fx+是 偶函 数，()1 fx 的图象 关于 点()3,3 中心 对称，则 下列说法正 确的 是（）第3页/共7页 A.()()2 fx fx=+B.()20 3 f=C.()()24 fx f k x+=，Z k D.411()12 3kifi k=，Z k 12.一 个不 透明 的袋 子中 装有大 小形 状完 全相 同的 红、黄、蓝 三种 颜色 的小 球各一 个，每次 从袋 子中 随机摸出一 个小 球，记录 颜色 后放回，当 三种 颜色 的小 球均被 摸出 过时 就停 止摸 球.设=iA“第 i 次摸 到红 球”，iB=“第 i 次摸 到黄 球”，iC=“第 i 次摸到 蓝球”，iD=“摸 完第 i 次 球后就 停止 摸球”，则（）A()329PD=B.()41227PD A=C.()11223nn nPD=，3 n D.()312 223nnn n nPD B C=，3 n 三、填 空题：本题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知 实数 a，b 满足25abm=且1112 ab+=，则 m _.14.现 有一 枚质 地不 均匀 的硬币，若 随机 抛掷 它两 次均正 面朝 上的 概率 为12，则随机 抛掷 它两 次得 到正面、反 面朝 上各 一次 的概 率为_；若随 机抛 掷它 10 次得 到正 面朝 上的 次数 为，则()E=_.（第一 空 2 分，第二 空 3 分）15.已知 函数()()ln2e,02 3 4,0 xaxfxx ax a x=+，若()fx 有 4 个零 点，则 实数 a 的范 围是_.16.已知 平面 向量a，b，()1,2ici=满足 222 a b ab=，1ica=，则()1222 R c bcb+的最小 值为_.四、解 答题：本题 共 6 小题，共 70 分.解答 应写 出文 字说明、证 明过程 或演 算步骤.17.在 ABC 中，角 A，B，C 的对 边 分别为 a，b，c，且_，请从下 列两 个条 件中 任选 一个填 入上 方的 横线 中作 为已知 条件，并 解答 本题（如果 选择 多个 条件 分别 解答，则 按第 一个 解答 计分）：sin sin2BCc aC+=；()22234ABCS bca=+，（1）求 A；（2）若 D 为边 BC 上一 点，且 2CD AD BD=，试判 断 ABC 是锐角 三角 形、直 角三 角形 还是 钝角 三角形，并说 明理 由.第4页/共7页 18.已知 函数()sin cos(0)fx x x=+的图象 关于 直线8x=对称，且()fx 在0,6上 没有 最小值.（1）求()fx 的单调 增区 间；（2）已知函 数()()log 2 4 2xagx a a=+（0 a 且 1 a），对 任意1,42x，总存 在 21,2 x，使得()()12f x gx，求实数 a 取值范 围.19.航 班正 点率 是指 航空 旅客运 输部 门在 执行 运输 计划时，航 班实 际出 发时 间与计 划出 发时 间较 为一 致的航班数 量与 全部 航班 数量 的比率.人 们常 用航 班正 点 率来衡 量一 个航 空公 司的 运行效 率和 服务 质量.现随机抽取 10 家航 空公 司，对其 近一年 的航 班正 点率 和顾 客投诉 次数 进行 调查，得 到数据 如下：航空公 司编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 航班正 点率ix/%82 77 77 76 74 73 71 70 91 69 顾客投 诉次 数iy/次 21 58 79 68 74 93 72 122 18 125 整理数 据得：10153620iiixy=，102158150iix=，102164810iiy=，101760iix=，101730iiy=，13 384 70（1）（i）证 明：样本 相关 系数1222211niiinniiiix y nxyrx nx y ny=；（ii）根据 以上 数据 计算 样 本相关 系数（结 果保 留 2 位 小 数），并 由此 推断 顾客投 诉 次数 与航 班正 点率 之间线性相 关程 度（若 0.8 1 r，则认 为线性 相关 程度 很强；若 0.3 0.8 r，则认 为线 性相 关程 度一般；若 0.3 r，则 认为 线性 相关 程度很 弱）.（2）用一 元线 性回 归模 型 对上表 中的 样本 数据 进行 拟合，得到 顾客 投诉 次数 关于航 班正 点率 的经 验回 归方程为 5 y xa=+.现 有一 家航 空公 司 拟通过 加强 内部 管理 来减 少由于 公司 自身 原因 引起 的航班 延误 次数，并 希望 一年 内收 到的 顾客投 诉不 超 过 73 次，试 估计该 公司 的航 班正 点率 应达到 多少？的.的第5页/共7页 参考公 式：样本 相关 系数()()()()12211niiinniiiix xy yrxx yy=20.2023 年 4 月 23 日 是第 28 个“世界 读书 日”.为了 倡 导学生 享受 阅读 带来 的乐 趣、尊 重和 保护 知识 产权，立德中 学举 办了 一次 阅读 知识竞 赛.初赛 中每 支队 伍 均要参 加两 轮比 赛，只有 两轮比 赛均 通过 的队 伍才 能晋级.现有 甲、乙两 队参 赛，初 赛 中甲 队通 过第 一轮 和第 二 轮的 概率 均为34，乙队 通过第 一轮 和第 二轮 的概 率分别为35，23，且各 队各 轮比 赛互不 影响.（1）记 甲、乙两 队中 晋级的 队 伍数 量为 X，求 X 的 分布列 和数 学期 望；（2）经过 激烈 的比 拼，甲、乙两 队成 功进 入决 赛争 夺冠军.决赛 共有 两道 抢答题.第一 题中，某 支队 伍若抢到并答 对则 加 10 分，若抢 到但答 错则 对方 加 10 分.第二题 中，某支 队伍 若抢 到并答 对则 加 20 分，若 抢到但 答 错则 对方加 20 分.最 终得分 高的 队伍 获胜.假设两 支 队伍 在每 一题 中抢 到答 题 权的 概率 均为12，且每 一题答对 的概 率分 别与 初赛 中通过 对应 轮次 的概 率相 等.各队 各题 作答 互不 影响.已知甲 队获 得了 冠军，计 算第二题 是由 甲队 抢到 答题 权的概 率.21.如图，四 面体 ABCD 中，平 面 ABC 平面 BCD，AB AC，2 AB AC=，1 CD=，（1）若 AD AB，证明：CD 平面 ABC；（2）设过 直线 AD 且与 直线 BC 平行 的平 面为，当 BD 与 平面 ABC 所 成的 角最 大时，求 平面与 平面BCD 的夹角 的余 弦值.22.已知()1 fx x=+，()22 gx x=+.定义,min,aa babbb a=，设()()()min,2 mx f x t g x t=，R t.第6页/共7页（1）若 3 t=，（i）画出 函数()mx 的图象；（ii）直接 写出 函数()mx 的单 调 区间；（2）定义 区间(),A pq=的 长度()LA q p=.若()*12NnB A A An=，(1)ijA A i jn=，则()1()niiLB L A=.设 关于 x 的不 等式()mx t 的解 集为 D.是否 存在 t，使得()6 LD=？若存 在，求出 t 的值；若不 存在，请 说明 理由.第1页/共27页 2022 学年第二 学 期宁波市九校联 考高二数学试题一、单 项选择 题：本题共 8 小 题，每 小题 5 分，共 40 分.在每 小题 给出 的四 个选项 中，只有一 项是 符合题 目要 求的.1.已知 复数 z 满足i 1i z=+，则z对应 的 点位 于（）A.第一 象限 B.第二 象限 C.第三 象限 D.第四 象限【答案】A【解析】【分析】根据 复数 的除 法运 算 法则，求 出复数 z，即 可求解.【详解】由 i 1i z=+，得21 i(1 i)(i)=1iiiz+=，所以1i z=+，在复 平面 内对 应的 点为(1,1)所以对 应点 位于 第一 象限.故选：A.2.设集 合(),21xM xy y=，(),cos,4 42N xy y x x=，则 MN 中元素 的 个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】在 同一 坐标 系下 画出两 集合 对应 函数 图象，交点 个数 即为 交集 元素 个数【详解】对于 函数 21xy=，当 0 x 时，01 y；当 0 x 时，0 y.对于函 数cos,4 42y xx=，222,x，则 11 y 且端 点处 取最大 值两函数 图象 在同 一坐 标系 下大致 如下，则 两函 数图 象有 3 个交 点，即 MN 中 元素的 个 数为 3 个.故选：B 3.已知 随机 变量()211,XN，()222,YN，它 们 的分布 密度 曲线 如下 图所 示，则 下列 说法 中正 确.第2页/共27页 的是（）A.12，2212 B.12 C 12，2212，2212【答案】B【解析】【分析】由 图结 合正 态分 布曲线 特点 可得 答案.【详解】由图 可得 随机 变量 X 的均 值比 随机 变量Y 的均 值小，则12.故选：B 4.已知 平面 向量a，b满足ab ab+=，则ba 在a上的投 影向 量为（）A.a B.aC.b D.b【答案】A【解析】【分析】由已 知可 得0 ab=，根 据投影 向量 的定 义及 数量 积的运 算律 求投 影向 量即 可.【详解】由ab ab+=知：2 22 222 aa ab b ab b=+，可得0 ab=，所以ba 在a上 的投 影向 量为22()aba a a baaaaaa=.故选：A 5.若1sin()43+=，(0,)，则 cos 2=（）A.79 B.429C.429D.429【答案】D【解析】.第3页/共27页【分析】根据 同角 三角 函数 的 关系 结合 角度 范围 可得22cos()43+=，再根 据二 倍角 公式 可得sin2()4+，结合 诱导 公式 可得 cos 2.【详解】因为(0,)，所以5(,)4 44+，又13sin()sin43 4+=，因为AM mAB=，AN nAC=，所以1AB AMm=，1AC ANn=，又2 CO OB=，所以22 AO AC AB AO=，所以21 2 133 3 3AO AB AC AM ANmn=+=+，因为,MON 三点共 线，所以21133 mn+=，所以2 14 44 4 82(2)()23 3 33 3 3 9 3mnmnmnmn nm+=+=+=，当且仅 当43321133mnnmmn=+=，即42,33mn=时，等 号成 立.所以 2 mn+的最小 值为83.第4页/共27页 故选：A 7.已知()fx 是定义 在 R 上的奇 函 数，且()22 f=，若 对任 意的1x，()20,x+，均有()()12121fx fxxx成立，则不 等式()11 fx x+的 解集 为（）A.()()2,0 2,+B.()(),2 0,2 C.()(),1 1,3 D.()()1,1 3,+【答案】D【解析】【分析】构造 函数()()gx f x x=，则()()gx f x x=在()0,+上递增，判断()()gx f x x=也是是定义在 R 上的 奇函 数，可得()()gx f x x=在(),0 上递增，分类 讨论 列不 等式 求解即 可.【详解】因为 对任 意的1x，()20,x+，均有()()12121fx fxxx成 立，不妨设2x 10 x，则 1x20 x，所以()()()()1 2 12 1 1 2 2fx fx x x fx x fx x 化为()()()1 10 10 f x x gx，因为()()()()()22 22 0 20 2 20 f f g gg=，则()()12 12310 10 x gx gxx x，第5页/共27页 或()()12 121110 10 x gx gxx x 的解 集为()()1,1 3,+，故选：D.8.三面 角是 立体 几何 的重要 概 念之 一.三面 角 P ABC 是指 由 有公共 端点 P 且不 共面 的三 条射线 PA，PB，PC 以及 相邻 两射 线之 间的 平面部 分所 组成 的空 间图 形.三面 角余 弦定 理告 诉我们，若 APC=，BPC=，APB=，平面 APC 与平面 BPC 所 成夹 角为，则cos cos coscossin sin=.现已 知三棱锥 P ABC，32 PA=，3 BC=，45 APC=，60 BPC=，90 APB=，则当 三棱锥 P ABC 的体积 最大 时，它的 外接 球的表 面积 为（）A.18 B.36 C.87 2D.117 2【答案】B【解析】【分析】作出 图形，作 BD PC，BM 平面 APC，则=BDM，先表 示出13P ABC APCV S BM=，接着用 条件 表示 成24P ABCV PC PB=，要使 三棱锥 P ABC 的体 积最 大，则 PB PC 最大，利 用基本不等 式得 出 3 PB PC=时，其 体积 最大，然后 补全 三棱 锥成 棱柱，根据 棱柱 外接 球半 径即可 求解.【详解】由题 知，45 APC=，60 BPC=，90 APB=，平面 APC 与平面 BPC 所 成夹 角为，作 BD PC，BM 平面 APC，则=BDM，第6页/共27页 由题意 得13P ABC APCV S BM=，210cos cos cos 322cossin sin 3 2322=，()0,，6sin3=，66 2sin sin33 2BM BD BD PB PB=，13sin22APCS PA PC PC=，所以1 12 23 22 4P ABC APCV S BM PC PB PC PB=，要使三 棱锥 P ABC 的 体积 最大，则 PB PC 最 大，在 PBC 中，由 余弦 定理 得，2221cos22PB PC BCBPCPB PC+=，整理得，229 PB PC PB PC+=，2292 PB PC PB PC PB PC+=+，即 9 PB PC，当且仅 当 3 PB PC=时，等 号成 立，则32 PA=，3 PB PC BC=，2218 9 3 3 AB PA PB=+=+=，因为2222cos22PA PC ACAPCPA PC+=，解得 3 AC=，第7页/共27页 所以2 22PC AC PA+=，222AC BC AB+=，即 AC PC，AC BC，60 BCP=，所以补 全三 棱锥 成棱 柱，如下图，则四边 形 BCPD 是菱形，点 O 为其 外接 球的 球心，即 AD 中点，所以 3 BP=，2 cos30 3 3 CD PC=，2227 9 6 AD CD AC=+=+=，所以外 接球 半径 为3，即三棱 锥 P ABC 外接球 的表 面积 为24 3 36=.故选：B【点睛】三 棱锥 外接 球表 面积问 题，从以 下几 个角 度分析：（1）面 面角 的定 义以 及辨析；（2）求 解最 值时，基 本不等 式 的利 用；（3）几 何体 割补 法的 应用；（4）数 形结 合思 想的 应用.二、多 项选择 题：本题共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题 给出 的选 项中，有多 项符合 题目 要求.全部 选对 的得 5 分，部 分选 对的得 2 分，有选 错的 得 0 分.9.下列 等式 成立 的是（）A.0!0=B.11AAmmnnn=C.11(1)C(1)Cmmnnnm+=+D.111CC Cmm mnn n+=【答案】BC【解析】【分析】利 用排 列数、组 合数公 式对 各选 项逐 一计 算判断 作答.【详解】根 据阶 乘的 概念 可知，0!1=，故 A 错误；第8页/共27页()()()111!AAmmnnnnnnnm nm=，故 B 正 确；因为11(1)!1!1CC(1)!()!1!()!1mmnnn nnnm nm m m nm m+=+，所以11(1)C(1)Cmmnnnm+=+，故 C 正确；根据组 合数 的性 质可 知11CC Cmm mnn n+=，故 D 错误；故选：BC 10.以下 四个 正方 体中，满 足 AB 平面 CDE 的 有（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据 直线 与平 面内 的 直线 不垂 直可 判断 AC，根据 直线 与平 面垂 直的 判定定 理判 断 BD.【详解】对 A，CE AD，4DAB=，AB 与 CE 所 成角为4，故 AB 与 平面 CDE 不 垂直，故A 错 误；对 B，在正 方体 中，ED 平面 ABD，AB 平面 ABD，所以 AB ED，又 AB CE，DE CE E=，,DE CE 平面 CDE，所 以 AB 平面 CDE，故 B 正确；对 C，连接,AF BF，如图，在正方 体中，由 正方 体面 上的对 角线 相等 可知，ABF 为正三角 形，所以3BAF=，又CE AF，第9页/共27页 AB 与 CE 所 成的 角为3，所以 AB 与 平面 CDE 不 垂直，故 C 不正确；对 D，连接,MB BN，如图，因为 AM 平面CMEB，EC 平面CMEB，所以 AM EC，又 BM EC，,BM AM M BM AM=，平面 AMB，所以 EC 平面 AMB，又 AB 平面 AMB，所以EC AB，同理 可得 ED AB，再由,EC ED E EC ED=平面 ECD，所以 AB 平面 CDE，故D 正确.故选：BD 11.已知 函数()fx 的 定义 域为 R，()21 fx+是 偶函 数，()1 fx 的图象 关于 点()3,3 中心 对称，则 下列说法正 确的 是（）A.()()2 fx fx=+B.()20 3 f=C.()()24 fx f k x+=，Z k D.411()12 3kifi k=，Z k【答案】BCD【解析】【分析】根据()21 fx+是偶函 数可 得函数()fx关于 直线 1 x=对 称，由()1 fx 的图象 关于 点()3,3 中心对称可得()fx关 于点(2,3)成中心 对称，据 此可 推导 出函 数为 周 期函数，判断 A，再由 函数 的周期 求出()20 f判断 B，由 周期 性及 对称性 可 判断 C，由 以上 分析利 用()()41 411()4kkiifi f i f k=求 解 可判断 D.【详解】因为()21 fx+是偶函 数，所以(2 1)(2 1)f x fx+=+，可得(1)(1)+=+f x fx，故()fx关于 直线 1 x=对 称，因为()1 fx 的图象 关于 点()3,3 中心对 称，所 以()fx关于点(2,3)成中 心对 称，所以(2)(2)6 f xf x+=，第10页/共27 页 又由(1)(1)+=+f x fx 可得()(2)f x fx=+，所以(2)()6 f x fx+=，即(2)()6 f x fx+=，所以(4)(2)6 fx fx+=，两式相 减可 得(4)()0 f x fx+=，即(4)()f x fx+=，所以 4 T=，故 A 错 误；由周期 4 T=，()20(4)(0)f ff=，又(0)(4)6 ff+=，所以(0)(4)3 ff=，即()20 3 f=，故 B 正确；由周期 4 T=，()4()f kx f x=，Z k，由()(2)f x fx=+可 得，()()24 fx f k x+=，Z k，故 C 正 确；由上述 分析 可知(2)(4)3 ff=，又 因为(1)(3)6 ff+=，所以(1)(2)(3)(4)12 ff ff+=，所以()()41 411()4 12 3kkiifi f i f k k=，故 D 正确.故选：BCD【点睛】关键 点点 睛：当函 数 满足()()fa x fb x+=时，函 数()fx关于直 线2abx+=对 称，当函数 满足()()2 fa x fb x c+=时，函 数关 于点,2abc+成 中心 对称.12.一 个不 透明 的袋 子中 装有大 小形 状完 全相 同的 红、黄、蓝 三种 颜色 的小 球各一 个，每次 从袋 子中 随机摸出一 个小 球，记录 颜色 后放回，当 三种 颜色 的小 球均被 摸出 过时 就停 止摸球.设=iA“第 i 次摸 到红 球”，iB=“第 i 次摸 到黄 球”，iC=“第 i 次摸到 蓝球”，iD=“摸 完第 i 次 球后就 停止 摸球”，则（）A.()329PD=B.()41227PD A=C.()11223nn nPD=，3 n D.()312 223nnn n nPD B C=，3 n【答案】ACD【解析】【分析】AC 选项，求 出nD 包含 的 事件 数为()1232 2Cn，从而 得到()nPD，并计 算出()3PD；B 选项，计 算出()41227P DA=，()113PA=，利用 条件 概率公 式计 算出 答案，D 选项，表达 出()31223nnn n nP DB C=，3 n，和()21233nnn nPB C=，3 n，利用 条件 概率 公式得 到答 案.第11 页/共27 页【详解】AC 选项，nD=“摸 完第 n 次球 后就 停止 摸球”，有 放 回的摸 n 次，有3n种 可能，若恰 好摸球 n 次就停止 摸球，则 恰好 第 n 次三种 颜色 都被 摸到，即 前()1 n 次 摸到 2 种颜 色，第 n 次摸到 第三 种颜 色，共()1232 2Cn 种情况，则()()131122232 2C3nnnnnPD=，3 n，()23 22 2239PD=，AC 正确；B 选 项，事件41DA 表示第 一次 摸到红 球，摸到 第 4 次，摸 球 结束，若第 2 次或 第 3 次摸 到的 球为红 球，此时 有12A 种情况，不妨 设 第 2 次 摸到 的球为 红 球，则第 3 次和 第 4 次 摸到 的球 为 蓝球 或黄 球，有 2 种 可能，故有122A 4=种情况，若第 2 次和 第 3 次 都没 有摸 到 红球，则第 2 次 和第 3 次摸 到的 球颜 色相 同，第 4 次 摸到 的球 和第 2,3 次摸到的球 颜色 不同，故 有22A2=种情况，故()41426 n DA=+=，其中摸 4 次球 可能 得 情况有43 81=种情 况，故()4176122 8P DA=，其中()113PA=，故()()()4141129P DAPD APA=，B 错误；D 选 项，12 nn nDB C表示“第()2 n 次摸 到蓝 球，第()1 n 次 摸到 黄球，第n次摸到红 球，停止 摸球”，则前()3 n 次摸到 的球 时蓝 球或 红球，故有32n 种 可能，故()31223nnn n nP DB C=，3 n，12 nnBC表示“在前n次摸 球中，第()2 n 次摸 到 蓝球，第()1 n 次摸到 黄球”，故有23n 种可 能，故()21233nnn nPB C=，3 n，则()312 223nnn n nPD B C=，3 n，D 正确.故选：ACD【点睛】常 见的 条件 概率 处理方 法，其一 是用 样本 点数的 比值 处理，需 要弄 情况事 件包 含的 样本 点数，其 二是用概 率的 比值 处理，也 可以缩 小样 本空 间，从而 确定概 率，解决 实际 问题 的关键 在于 分析 情况 基本 事件.三、填 空题：本题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分.第12页/共27 页 13.已知 实数 a，b 满足25abm=且1112 ab+=，则 m _.【答案】100【解析】【分析】根 据指 数与 对数的 互 化公 式，表 示出,ab，再 结合换 底公 式表 示出1112 ab+=，最 后结合 对数 运算即可求 解【详解】由25abm=可得2511log,log log 2,log 5mma mb mab=，又1112 ab+=，即1log 2 log 5 log 102mmm+=，所以1210 m=，即 100 m=故答案 为：100 14.现 有一 枚质 地不 均匀 的硬币，若 随机 抛掷 它两 次均正 面朝 上的 概率 为12，则随机 抛掷 它两 次得 到正面、反 面朝 上各 一次 的概 率为_；若随 机抛 掷它 10 次得 到正 面朝 上的 次数 为，则()E=_.（第一 空 2 分，第二 空 3 分）【答案】21#12+.52【解析】【分析】根 据独 立事 件的 乘法公 式求 出抛 掷一 枚硬 币正面 朝上 概率p，再由 独立 重 复试 验求 出正 面、反面朝上各一 次的 概率 为，由二 项分布 的期 望公 式求 期望.【详解】设这 枚硬 币正 面朝 上 的概 率为p，反面 朝上 的概率 为1 p，则两次 正面 朝上 的概 率为212p=，解得22p=，所以随 机抛 掷两 次得 到正 面，反 面朝 上各 一次 的概 率为()1222C 1 2 1 2122P pp=.由题易 知随 机变 量 服从二 项分布 102,2B，则2()10 5 22E=.故答案 为：21；52.15.已知 函数()()ln2e,02 3 4,0 xaxfxx ax a x=+，若()fx 有 4 个零 点，则 实数 a 的范 围是_.第13页/共27 页【答案】41,3【解析】【分析】由题 可得 方程()lnexa=与方程22 3 4 0,0 x ax a x+=各有两 个根，对 于前 者转化 为函 数()()lnexgx=图象与 直线ya=有两 个交 点，后者由 判别 式结 合韦 达定 理可 得 a 范围，综 合后 可 得答案.【详解】当 0 x 时，()()()ln,1lnln,1 0 xxxxx=，则 函数()()()()lnlnlne,1e1e,1 0 xxxxxgxxx=+=.故答案 为：41,3.【点睛】16.已知 平面 向量a，b，()1,2ici=满足 222 a b ab=，1ica=，则()1222 R c bcb+的最小 值为_.第14页/共27 页【答案】25 3#3 25+【解析】【分析】求出 向量,ab的模及 夹角，记11 2 2,2,2 OA a OB b OB b OC c OC c=，得 出对 应点 的轨迹，利 用数 形结 合求 最值.【详解】由|2|2 2 a b ab=，即 2 1 cos,2 ab=，所以,4ab=，记11 2 2,2,2 OA a OB b OB b OC c OC c=，因为 1ica=，所以1C在以 A 为圆心，1 为半径 的 圆上，2C 在以 A 为圆 心，2 为半 径的 圆上，其 中(2,0),(4,0)AA，所以11 2 22 12 2 2 22|c B b c bc b c b C BC+=+=+，作 A 关于 直线 l（OB 所在直 线）的对 称圆，1C的对称 点记 为3C，知1(0,2)A，则12 32BC BC BC BC+=+，如 图，由图可 知，当13 2,AC BC A 共线时，32|CB CB+存在最小 值，因为1116 4 2 5,1,2AAAA r r=+=，所以32|CB CB+最小值 为25 3.故答案 为：25 3【点睛】关 键点 点睛：利 用向量 的的 几何 表示，原 问题转 化为 求32|CB CB+最小值，数 形结合，利 用共线线 段最 短得 解.四、解 答题：本题 共 6 小题，共 70 分.解答 应写 出文 字说明、证 明过程 或演 算步骤.17.在 ABC 中，角 A，B，C 的对 边 分别为 a，b，c，且_，请从下 列两 个条 件中 任选 一个填 入上 方的 横线 中作 为已知 条件，并 解答 本题（如果 选择 多个 条件 分别 解答，则 按第 一个 解答 计分）：sin sinBCc aC+=；()22234ABCS bca=+，第15页/共27 页（1）求 A；（2）若 D 为边 BC 上一 点，且 2CD AD BD=，试判 断 ABC 是锐角 三角 形、直 角三 角形 还是 钝角 三角形，并说 明理 由.【答案】（1）3A=（2）直 角三 角形，理 由见解 析【解析】【分析】（1）选：利用诱 导 公式 化简，再由 正弦定 理 边化 角，然 后由 二倍角 公 式化 简可 得；选：根据面积公式 和余 弦定 理列 方程 可解；（2）根据 已知 先得1233AD AB AC=+，然后 平方，联 立余 弦定 理求 解 可得 2 cb=，3 ab，然后可 判断三角形 形状.【小问 1 详解】若选：sin sin cos2 22BC A Ac cc+=，cos sin2Ac aC=，sin cos sin sin2AC AC=，()0,sin 0 CC，cos sin 2sin cos2 22A AAA=，0,cos 0222AA，1sin22A=，所以26A=，解得3A=.若选：()2223 332 cos cos4 42ABCS b c a bc A bc A=+=，31cos sin22bc A bc A=，3 cos sin AA=，tan 3 A=，因为()0,A，故3A=.【小问 2 详解】2CD BD AD=，212,333AD a CD a BD a=且2 BD DC=22 AD AB AC AD=，即1233AD AB AC=+，222144999AD AB AC AB AC=+，第16页/共27 页 22241429 999a c b bc=+，即22 24 42 a c b bc=+，又由余 弦定 理得2 22a b c bc=+，联立 可得 2 cb=，3 ab，从而22 2+=abc，故 ABC 是直角 三角 形.18.已知 函数()sin cos(0)fx x x=+的图象 关于 直线8x=对称，且()fx 在0,6上 没有 最小值.（1）求()fx 的单调 增区 间；（2）已知 函数()()log 2 4 2xagx a a=+（0 a 且 1 a），对 任意1,42x，总存 在 21,2 x，使得()()12f x gx，求实数 a 的 取值 范围.【答案】（1）()3,Z88k kk+（2）2 a 或112a.【解析】【分析】（1）由 两角和的 正弦公式化简，再由对称 轴及在0,6上没有最小值求出 解析式，由正弦型函数的单调 性求 单调 区间 即可；（2）根据 存在 性及任 意性问 题转 化为()()12max maxf x gx，分别 利用 三角 函数 及对 数型函 数的 性质 求最值，解 不等 式即 可.【小问 1 详解】()sin cos 2 sin4fx x x x=+=+.第17页/共27 页()fx 的图象 关于 直线8x=对称.,Z8 42kk+=+，解得 8 2,Z kk=+.当0,6x时，,4 46 4x+.()fx 在0,6上没 有最 小值.3 6 42+，解得152.又 0，所以 2=，所以()2 sin 24fx x=+.令()2 22 Z2 42k x kk+，解得()3 Z88k x kk+.所以()fx 的单调 增区 间为()3,Z88k kk+.【小问 2 详解】任意1,42x，均存 在 20,2 x，使得()()12f x gx.()()12max maxf x gx.1,42x.1 3 5 2,4 44x+.()mx1 1a22sin 1224 2f x x+=.又 log,2 4 2xay tt a a=+（0 a 且 1 a）单调 性相 同，()()log 2 4 2xagx a a=+在定义 域上是 增函 数.()()()2max2 log 2 4 2 1agx g a a=+.212 42aaa a+或20102 4 2aaa a+2 a 或112a.19.航 班正 点率 是指 航空 旅客运 输部 门在 执行 运输 计划时，航 班实 际出 发时 间与计 划出 发时 间较 为一 致的航班数 量与 全部 航班 数量 的比率.人 们常 用航 班正 点 率来衡 量一 个航 空公 司的 运行效 率和 服务 质量.现随机第18页/共27 页 抽取 10 家航 空公 司，对其 近一年 的航 班正 点率 和顾 客投诉 次数 进行 调查，得 到数据 如下：航空公 司编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 航班正 点率ix/%82 77 77 76 74 73 71 70 91 69 顾客投 诉次 数iy/次 21 58 79 68 74 93 72 122 18 125 整理数 据得：10153620iiixy=，102158150iix=，102164810iiy=，101760iix=，101730iiy=，13 384 70.（1）（i）证 明：样本 相关 系数1222211niiinniiiix y nxyrx nx y ny=；（ii）根据 以上 数据 计算 样 本相关 系数（结 果保 留 2 位 小 数），并 由此 推断 顾客投 诉 次数 与航 班正 点率 之间