中考数学一轮复习第五章四边形第三节矩形菱形和正方形.pdf

中考复习 第三节 矩形、菱形和正方形 姓名：_ 班级：_ 用时：_分钟 1(2018上海中考)已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()A AB BAC C AC BD D ABBC 2(2017四川广安中考)下列说法，正确的有()四边相等的四边形一定是菱形 顺次连结矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 对角线相等的四边形一定是矩形 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 3.(2018四川内江中考)如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD折叠，点 C 落在点 E 处，BE交 AD于点 F，已知BDC62，则DFE 的度数为()A 31 B28 C 62 D56 4已知一个菱形的边长为 2，较长对角线长为 2 3，则这个菱形的面积是 _ 5(2018甘肃天水中考)如图所示，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O.若 AC 6，BD 8，AEBC，垂足为 E，则 AE的长为 _ 6(2018湖南张家界中考)在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC上，AE AD，DFAE，垂足为 F.(1)求证：DF AB；(2)若FDC30，且 AB 4，求 AD.中考复习 7(2018吉林长春中考)在正方形 ABCD 中，E 是边 CD上一点(点 E 不与点 C，D重合)，连结 BE.【感知】如图 1，过点 A作 AFBE 交 BC于点 F.易证ABFBCE.(不需要证明)【探究】如图 2，取 BE的中点 M，过点 M作 FG BE交 BC于点 F，交 AD于点 G.求证：(1)BE FG；(2)连结 CM，若 CM 1，则 FG的长为 2.【应用】如图 3，取 BE的中点 M，连结 CM.过点 C 作 CGBE 交 AD于点 G，连结 EG，MG.若 CM 3，则四边形 GMCE 的面积为 _ 定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线一定能把平行四边形分成面积相等的两 长对角线长为则这个菱形的面积是甘肃天水中考如图所示菱形的对角线相交于点若垂足为则的长为湖南张家界中考在 交于点易证不需要证明探究如图取的中点过点作交于点交于点求证连结若则的长为应用如图取的中点连结过点作交于中考复习 8.(2018浙江温州中考)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a 3，b 4，则该矩形的面积为()A 20 B 24 C.994 D.532 9(2018甘肃兰州中考)如图，M，N是正方形 ABCD 的边 CD上的两个动点，满足 AM BN，连结 AC交 BN于点 E，连结 DE交 AM 于点 F，连结 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF的最小值是 _ 10(2018浙江绍兴中考)小敏思考解决如下问题：原题：如图 1，点 P，Q分别在菱形 ABCD 的边 BC，CD上，PAQ B，求证：AP AQ.(1)小敏进行探索，若将点 P，Q的位置特殊化：把 PAQ 绕点 A旋转得到EAF，使 AEBC，点 E，F 分别在边 BC，CD上，如图 2.此时她证明了 AE AF，请你证明 定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线一定能把平行四边形分成面积相等的两 长对角线长为则这个菱形的面积是甘肃天水中考如图所示菱形的对角线相交于点若垂足为则的长为湖南张家界中考在 交于点易证不需要证明探究如图取的中点过点作交于点交于点求证连结若则的长为应用如图取的中点连结过点作交于中考复习(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图 3，作 AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F.请你继续完成原题的证明(3)如果在原题中添加条件：AB 4，B60，如图 1，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线一定能把平行四边形分成面积相等的两 长对角线长为则这个菱形的面积是甘肃天水中考如图所示菱形的对角线相交于点若垂足为则的长为湖南张家界中考在 交于点易证不需要证明探究如图取的中点过点作交于点交于点求证连结若则的长为应用如图取的中点连结过点作交于中考复习 11(2018浙江金华中考)在 RtABC 中，ACB90，AC 12.点 D在直线 CB上，以 CA，CD为边作矩形 ACDE，直线 AB与直线 CE，DE的交点分别为 F，G.(1)如图，点 D在线段 CB上，四边形 ACDE 是正方形 若点 G为 DE的中点，求 FG的长 若 DG GF，求 BC的长(2)已知 BC 9，是否存在点 D，使得DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由 定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线一定能把平行四边形分成面积相等的两 长对角线长为则这个菱形的面积是甘肃天水中考如图所示菱形的对角线相交于点若垂足为则的长为湖南张家界中考在 交于点易证不需要证明探究如图取的中点过点作交于点交于点求证连结若则的长为应用如图取的中点连结过点作交于中考复习 参考答案【基础训练】1 B 2.C 3.D 4.2 3 5.245 6(1)证明：在矩形 ABCD 中，ADBC，AEBDAF，又DFAE，DFA 90，DFA B，又AD EA，ADFEAB，DF AB.(2)解：ADFFDC90，DAFADF90，FDCDAF30，AD 2DF，DF AB，AD 2AB 8.7解：【感知】四边形 ABCD 是正方形，AB BC，BCEABC90，ABECBE90.AFBE，ABEBAF90，BAFCB E.在ABF 和BCE 中，BAFCBE，AB BC，ABCBCE90，ABFBCE(ASA)【探究】证明：(1)如图，过点 G作 GPBC 于 P.四边形 ABCD 是正方形，AB BC，AABC90，四边形 ABPG 是矩形，PG AB，PG BC.同感知的方法得PGFCBE，在PGF 和CBE 中，定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线一定能把平行四边形分成面积相等的两 长对角线长为则这个菱形的面积是甘肃天水中考如图所示菱形的对角线相交于点若垂足为则的长为湖南张家界中考在 交于点易证不需要证明探究如图取的中点过点作交于点交于点求证连结若则的长为应用如图取的中点连结过点作交于中考复习 PGFCBE，PG BC，FPGECB90，PGFCBE(ASA)，BE FG.(2)由(1)知，FG BE，如图，连结 CM.BCE90，点 M是 BE的中点，BE 2CM 2，FG 2.【应用】9【拔高训练】8 B 9.3 5 3 10(1)证明：四边形 ABCD 是菱形，BC180，BD，AB AD.EAFB，EAFC180，AECAFC180.AEBC，AFCD，在AEB 和AFD 中，AEBAFD，BD，AB AD，AEBAFD，AE AF.(2)证明：由(1)得PAQEAFB，AE AF，EAPFAQ，在AEP 和AFQ 中，AEPAFQ90，AE AF，EAPFAQ，AEPAFQ，AP AQ.(3)解：答案不唯一已知：AB 4，B60，定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线一定能把平行四边形分成面积相等的两 长对角线长为则这个菱形的面积是甘肃天水中考如图所示菱形的对角线相交于点若垂足为则的长为湖南张家界中考在 交于点易证不需要证明探究如图取的中点过点作交于点交于点求证连结若则的长为应用如图取的中点连结过点作交于中考复习 求四边形 APCQ 的面积 解：如图，连结 AC，BD交于 O.ABC60，BA BC，ABC 为等边三角形 AEBC，BE EC.同理，CF FD，四边形 AECF 的面积12四边形 ABCD 的面积，由(2)得四边形 APCQ 的面积四边形 AECF 的面积，OA 12AB 2，OB 32AB 2 3，四边形 ABCD 的面积1222 34 8 3，四边形 APCQ 的面积 4 3.【培优训练】11解：(1)在正方形 ACDE 中，DG GE 6.在 RtAEG 中，AG AE2 EG2 6 5.EGAC，ACFGEF，FGAFEGAC，FGAF61212，FG13AG 2 5.如图 1 中，正方形 ACDE 中，AE ED，AEFDEF45.图 1 EF EF，AEFDEF，定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线一定能把平行四边形分成面积相等的两 长对角线长为则这个菱形的面积是甘肃天水中考如图所示菱形的对角线相交于点若垂足为则的长为湖南张家界中考在 交于点易证不需要证明探究如图取的中点过点作交于点交于点求证连结若则的长为应用如图取的中点连结过点作交于中考复习 12，设12 x.AEBC，B1 x.GF GD，32 x.在DBF 中，3FDBB180，x(x 90)x180，解得 x30，B30，在 RtABC 中，BC ACtan 30 12 3.(2)在 RtABC 中，AB AC2 BC2 122 92 15.如图 2 中，当点 D在线段 BC上时，此时只有 GF GD.图 2 DGAC，BDGBCA.设 BD 3x，则 DG 4x，BG 5x，GF GD 4x，则 AF 15 9x.AECB，AEFBCF，AEBCAFBF，9 3x915 9x9x，整理得 x2 6x 5 0，解得 x 1 或 5(舍去)，腰长 GD 4x 4.如图 3 中，当点 D在线段 BC的延长线上，且直线 AB，CE的交点在 AE上方时，图 3 定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线一定能把平行四边形分成面积相等的两 长对角线长为则这个菱形的面积是甘肃天水中考如图所示菱形的对角线相交于点若垂足为则的长为湖南张家界中考在 交于点易证不需要证明探究如图取的中点过点作交于点交于点求证连结若则的长为应用如图取的中点连结过点作交于中考复习 此时只有 GF DG，设 AE 3x，则 EG 4x，AG 5x，FG DG 12 4x.AEBC，AEFBCF，AEBCAFBF，3x99x 129x 27，解得 x 2 或 2(舍去)，腰长 DG 4x 12 20.如图 4 中，当点 D在线段 BC的延长线上，且直线 AB，EC的交点在 BD下方时，图 4 此时只有 DF DG，连结 DF，过点 D作 DHFG.设 AE 3x，则 EG 4x，AG 5x，DG 4x 12，FH GH DGcos DGB(4x 12)4516x 485，GF 2GH 32x 965，AF GF AG 7x 965.ACDG，ACFGEF，ACEGAFFG，124x7x 96532x 965，解得 x12 147或12 147(舍去)腰长 GD 4x 1284 48 147.如图 5 中，当点 D在线段 CB的延长线上时，此时只有 DF DG，作 DHAG 于 H.定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线一定能把平行四边形分成面积相等的两 长对角线长为则这个菱形的面积是甘肃天水中考如图所示菱形的对角线相交于点若垂足为则的长为湖南张家界中考在 交于点易证不需要证明探究如图取的中点过点作交于点交于点求证连结若则的长为应用如图取的中点连结过点作交于中考复习 图 5 设 AE 3x，则 EG 4x，AG 5x，DG 4x 12，FH GH DGcos DGB16x 485，FG 2FH 32x 965，AF AG FG 96 7x5.ACEG，ACFGEF，ACEGAFFG，124x96 7x532x 965，解得 x12 147或12 147(舍去)，腰长 DG 4x 12 84 48 147.综上所述，等腰DFG 的腰长为 4 或 20 或84 48 147或 84 48 147.定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线一定能把平行四边形分成面积相等的两 长对角线长为则这个菱形的面积是甘肃天水中考如图所示菱形的对角线相交于点若垂足为则的长为湖南张家界中考在 交于点易证不需要证明探究如图取的中点过点作交于点交于点求证连结若则的长为应用如图取的中点连结过点作交于