江苏省南京市九校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题含答案.pdf

第1页/共6页 南京市九校联合体南京市九校联合体 2022-2023 学年度第二学期期末学情调研学年度第二学期期末学情调研高一数学高一数学 注意事项：注意事项：1.本试卷共分本试卷共分 8 页页.满分满分 150 分分.考试用时考试用时 120分钟分钟.2.答题前，考生务必将学校、姓名写在答题卡上，正确填涂考试号答题前，考生务必将学校、姓名写在答题卡上，正确填涂考试号.答案涂、写在答题卡上指答案涂、写在答题卡上指定位置定位置.考试结束后交回答题卡考试结束后交回答题卡.一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.2022i的值为（）A.1B.1C.iD.i2.数据 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的 60 百分位数为（）A.6 B.6.5C.7D.5.53 向量a与b不共线，ABakb=+，(),AClab k lR=+，且AB 与AC共线，则 k，l 应满足（）A 0kl+=B.0kl=C.10kl+=D.10kl =4.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为 1 的半圆，则该圆锥的表面积为（）A.34B.2C.4D.3245.已知向量()cos,sina=，()2,1b=，若/a b，则tan4+=（）A.3B.13C.13D.36.从长度为2,4,6,8,10的 5 条线段中任取 3 条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A.15B.310C.25D.127.在ABC中，下列命题正确的个数是（）ABACBC=；0ABBCCA+=；若()()0ABABACAC+=，则ABC为等腰三角形；0ABAC，则ABC为锐角三角形.第2页/共6页 A.1B.2C.3D.48.已知锐角ABC，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若22sinsinsinsinBAAC=，3c=，则a 的取值范围是（）A.2,23 B.()1,2C.()1,3D.3,32 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.设复数2i2iz=+，则下列结论正确是（）A.z共轭复数为2iB.z的虚部为 1C.z在复平面内对应的点位于第二象限D.|1|2z+=10.下列说法中错误的是（）A.已知(1,2),(1,1)ab=，且a与ab+的夹角为锐角，则实数5,3+B.向量1(2,3)e=，213(,)24e=不能作为平面内所有向量的一组基底C.若/ab，则存唯一实数，使得=abD.非零向量a和b满足abab=，则 a与ab+的夹角为60o11.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“第一枚出现奇数点”，事件B=“第二枚出现偶数点”，事件C=“两枚骰子出现点数和为 8”，事件D“两枚骰子出现点数和为 9”，则（）A.A与B互斥B.C与D互斥C.A与D独立D.B与C独立12.在ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知45,2Ac=，下列说法正确的是（）A.若3,aABC=有两解B.若3,aABC=有两解C.若ABC为锐角三角形，则 b的取值范围是(2,2 2)D.若ABC为钝角三角形，则 b的取值范围是(0,2)三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，分，13.设有两组数据：12,.nx xx与12,.ny yy，它们之间存在关系式：iiyaxb=+（1,2,in=，其中,a b非零常数），若这两组数据的方差分别为2x和2y，则2x和2y之间的关系是_ 的的在第3页/共6页 14.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为_15.已知向量()2,1a=，(),2bx=，若b在a方向上的投影向量为a，则x的值为 _16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为,O E F G H为圆O上的点，ABE，BCF，CDG，ADH分别是以,AB BC CD DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,AB BC CD DA为折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH使得,E F G H重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的 2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，其中第小题，其中第 17 题题 10 分，其余各题为分，其余各题为 12 分，共分，共 70 分分.解答应写出文解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤.17.已知i是虚数单位，设13i22=+.（1）求证：120；（2）计算：(12)(12)18.已知4sin5，,2，5cos13=，是第三象限角（）求tan2的值；（）求()cos+的值19.为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到ACBDCB=，ACD为钝角，5AC=，7AD=，2 6sin7ADC=第4页/共6页 学科网（北京）股份有限公司（1）求sinACB的值；（2）若测得BDCBCD=，求待测径长AB20.社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在40,100内，将笔试成绩按照)40,50、)50,60、90,100分组，得到如图所示频率分布直方图（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线21.如图，三棱锥ABCD中，ABC为等边三角形，且面ABC面BCD，CDBC（1）求证：CDAB；（2）当AD与平面 BCD 所成角为 45时，求二面角CADB的余弦值22.设ABC是边长为 1 的正三角形，点123,P P P四等分线段BC（如图所示）第5页/共6页（1）求112AB APAP AP+的值；（2）Q为线段1AP上一点，若112AQmABAC=+，求实数m的值；（3）P为边BC上一动点，当PA PC 取最小值时，求cosPAB的值 第1页/共18页 南京市九校联合体南京市九校联合体 2022-2023 学年度第二学期期末学情调研学年度第二学期期末学情调研高一数学高一数学 注意事项：注意事项：1.本试卷共分本试卷共分 8 页页.满分满分 150 分分.考试用时考试用时 120分钟分钟.2.答题前，考生务必将学校、姓名写在答题卡上，正确填涂考试号答题前，考生务必将学校、姓名写在答题卡上，正确填涂考试号.答案涂、写在答题卡上指答案涂、写在答题卡上指定位置定位置.考试结束后交回答题卡考试结束后交回答题卡.一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.2022i的值为（）A.1B.1C.iD.i【答案】B【解析】【分析】根据41i=计算可得结果.【详解】由41i=，得20224 5052iii1=.故选：B 2.数据 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的 60 百分位数为（）A.6B.6.5C.7D.5.5【答案】D【解析】【分析】由百分位数的求法求 60百分位数.【详解】由题设，10 60%6=，故 60百分位数为565.52+=.故选：D 3.向量a与b不共线，ABakb=+，(),AClab k lR=+，且AB 与AC共线，则 k，l 应满足（）A.0kl+=B.0kl=C.10kl+=D.10kl =【答案】D【解析】第2页/共18页【分析】根据AB 与AC共线，由()akbab+=+求解.【详解】由AB 与AC共线，故ABAC=，即()akbab+=+，故1lk=，所以10kl =.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.4.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为 1 的半圆，则该圆锥的表面积为（）A.34B.2C.4D.324【答案】A【解析】【分析】根据题意求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的表面积.【详解】依题意，设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为1l=，则2221lrh=+=，底面周长为()122 12r=，则12r=，所以213122h=，所以圆锥的表面积为23424SSSrrl=+=+=+=侧底，故选：A.5.已知向量()cos,sina=，()2,1b=，若/a b，则tan4+=（）A.3B.13C.13D.3【答案】C【解析】第3页/共18页【分析】先根据向量平行得到正余弦间的关系，再弦化切，进而用正切和公式展开代入即可.【详解】因/ab，所以cos2sin=，易知cos0，所以1tan2=，所以tan11tan41tan3+=.故选：C.6.从长度为2,4,6,8,10的 5 条线段中任取 3 条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A.15B.310C.25D.12【答案】B【解析】【分析】求出从长度为2,4,6,8,10的 5 条线段中任取 3条，共有几种取法,再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有几种，根据古典概型的概率公式即可得答案.【详解】从长度为2,4,6,8,10的 5条线段中任取 3条，共有35C10=种取法,而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有4,6,8和4,8,10以及6,8,10,共 3 种,故这三条线段能构成一个三角形的概率为310P=,故选：B 7.在ABC中，下列命题正确的个数是（）ABACBC=；0ABBCCA+=；若()()0ABABACAC+=，则ABC为等腰三角形；0ABAC，则ABC为锐角三角形A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】ABACCB=，所以错误；0ABBC CA+=，所以正确；由题得|ABAC=,所以ABC为等腰三角形，所以正确；0ABAC，则A是锐角，但是ABC不一定为锐角三角形，所以错误为第4页/共18页【详解】ABACCB=，所以错误；0BC CAAACABC+=+，所以正确；若()()0ABABACAC+=，则22=,|ABACABAC=,所以ABC为等腰三角形，所以正确；0ABAC，则|cos0,cos0,AB ACAAA是锐角，但是ABC不一定为锐角三角形，所以错误故选：B 8.已知锐角ABC，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若22sinsinsinsinBAAC=，3c=，则a 的取值范围是（）A.2,23 B.()1,2C.()1,3D.3,32【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可得三边的关系，再由余弦定理可得312cosaB=+，结合三角形为锐角三角形可得a的取值范围.【详解】22sinsinsinsinBAAC=，由正弦定理可得22baac=，由余弦定理2222cosbacacB=+，可得2222cosacacBaac+=+，又3c=，可得312cosaB=+，锐角ABC中，若 B 是最大角，则 B 必须大于 3，所以,3B，所以1cos02B，所以3,32a，故选：D.【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.第5页/共18页 9.设复数2i2iz=+，则下列结论正确的是（）A.z的共轭复数为2iB.z的虚部为 1C.z在复平面内对应的点位于第二象限D.|1|2z+=【答案】BCD【解析】【分析】根据共轭复数的定义即可判断 A选项；根据虚部的概念即可判断 B选项；根据复数的几何意义可以判断 C 选项；根据复数模的计算公式可以判断 D选项.【详解】由题得，复数2i2i2iz=+=+，故 z的共轭复数为2i，则 A错误；z 的虚部为 1，故 B 正确；z 在复平面内对应的点为(2,1)，位于第二象限，故 C正确；|1|1 i|1 12z+=+=+=，故 D正确 故选:BCD 10.下列说法中错误是（）A.已知(1,2),(1,1)ab=，且a与ab+的夹角为锐角，则实数5,3+B.向量1(2,3)e=，213(,)24e=不能作为平面内所有向量的一组基底C.若/ab，则存在唯一实数，使得=abD.非零向量a和b满足abab=，则 a与ab+的夹角为60o【答案】ACD【解析】【分析】A.根据a与ab+夹角为锐角，由()0a ab+，且不共线求解判断；B.判断12,e e 是否共线；C.由0b=时判断；D.根据a和b满足abab=，得到222a bab=，然后利用向量的夹角公式求解判断.【详解】A.因为(1,2),(1,1)ab=，所以()1,2ab+=+，又因为a与ab+的夹角为锐角，所以()0a ab+，即()12 20+且0，解得53 且0，故错误；B.因为向量1(2,3)e=，213(,)24e=，所以124ee=，即12,e e 共线，所以12,e e 不能作为平面内所有的的第6页/共18页 向量的一组基底，故正确；C.当0b=时，满足/ab，则存在无数个实数，使得=ab，故错误；D.因为非零向量a和b满足abab=，则22bab=，即222a bab=，则()2232aabaa ba+=+=，()22223ababaa bba+=+=+=，所以()()3cos,2aaba abaab+=+，因为(),0,a ab+，则(),6a ab+=，故错误；故选：ACD 11.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“第一枚出现奇数点”，事件B=“第二枚出现偶数点”，事件C=“两枚骰子出现点数和为 8”，事件D“两枚骰子出现点数和为 9”，则（）A.A与B互斥B.C与D互斥C.A与D独立D.B与C独立【答案】BC【解析】【分析】对于 A，结合互斥事件的概念举反例排除即可；对于 B，列举出事件,C D所包含的基本事件，结合结合互斥事件的概念即可判断；对于 CD，利用古典概型求出事件,A B C D AD BC的概率，结合独立事件的概率公式判断即可.【详解】对于 A，记(),x y表示事件“第一枚点数为x，第二枚点数为y”，则事件A包含事件()1,2，事件B也包含事件()1,2，所以AB，故A与B不互斥，故 A 错误；对于 B，事件C包含的基本事件有()()()()()2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共 5 件，事件D包含的基本事件有()()()()3,6,4,5,5,4,6,3共 4件，故CD=，即C与D互斥，故 B 正确；对于 C，总的基本事件有6 636=件，事件A的基本事件有1863=件，故()181362P A=，由选项 B 知()41369P D=，而事件AD包含的基本事件有()()3,6,5,4共 2件，故()213618P AD=，所以()()()P ADP A P D=，故A与D独立，故 C 正确；对于 D，事件B的基本事件有6 318=件，故()181362P B=，由选项 B知()536P C=，第7页/共18页 而事件BC包含的基本事件有()()()2,6,4,4,6,2共 3件，故()313612P BC=，所以()()()15512367212P B P CP BC=，故B与C不独立，故 D错误.故选：BC.12.在ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知45,2Ac=，下列说法正确的是（）A.若3,aABC=有两解B.若3,aABC=有两解C.若ABC为锐角三角形，则 b的取值范围是(2,2 2)D.若ABC为钝角三角形，则 b的取值范围是(0,2)【答案】AC【解析】【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即sincAac或sinacA=，ABC有一解，sinacA，ABC有 0解，根据直角三角形的情况，便可得出ABC为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.【详解】A选项，sincAac，ABC有一解，故 B 错误；C选项，ABC为锐角三角形，coscosccAbcA，即22 2b，故 C正确；D选项，ABC为钝角三角形，0cosbcA，即02b，故 D错误.故选：AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，分，13.设有两组数据：12,.nx xx与12,.ny yy，它们之间存在关系式：iiyaxb=+（1,2,in=，其中,a b非零常数），若这两组数据的方差分别为2x和2y，则2x和2y之间的关系是_【答案】222yxa=【解析】【分析】注意两组数据的关系,后一组中的每一个数字是前一组数字的 a 倍,这样两组数据的方差之间的关系就是后者的方差是前者的2a倍.第8页/共18页【详解】两组数据:12,x x,nx与12,y y,ny,它们之间存在关系式:iiyaxb=+即第二组数据是第一组数据的a倍还要整体加上b,在一列数字上同时加上一个数字方差不变,而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方,2x和2y之间的关系是222yxa=,故填:222yxa=,【点睛】本题考查方差的变换特点,若在原来数据前乘以同一个数,平均数也乘以同一个数,而方差要乘以这个数的平方,在数据上同加或减同一个数,方差不变,属于基础题.14.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为_【答案】120【解析】【详解】试题分析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为 8 与 5，设长为 7 的边所对的角为，则最大角与最小角的和是 180-，有余弦定理可得，cos=2564492 5 8+=12，易得=60，则最大角与最小角的和是 180-=120，故答案为 1200 考点：本试题主要考查了余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意点评：解决该试题的关键是设长为 7 的边所对的角为，根据余弦定理可得 cos 的值，进而可得 的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是 180-，即可得答案 15.已知向量()2,1a=，(),2bx=，若b在a方向上的投影向量为a，则x的值为 _【答案】32#1.5【解析】【分析】利用投影向量公式求解即可.【详解】解：()2,1a=，(),2bx=，22a bx=+，4 15a=+=，b在a方向上的投影向量为225a baxaaa+=，b在a方向上的投影向量为a，2215x+=，32x=，第9页/共18页 故答案为：32.16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为,O E F G H为圆O上的点，ABE，BCF，CDG，ADH分别是以,AB BC CD DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,AB BC CD DA为折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH使得,E F G H重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的 2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为_【答案】4003【解析】【分析】先连接OE交AB与点N，结合四棱锥的侧面积是底面积的 2倍，求得正方形边长，再画出折叠后的立体图形，找出外接球的球心，结合勾股定理即可求解【详解】如图：连接OE交AB与点N，设正方形边长为x，()012 2x，则2xON=，122xEN=则正方形面积为：2x，四棱锥的侧面积为：()2142122242ABENxxxx=，由题意得2SS=侧底，即22242xxx=，解得8x=，画出折叠后的立体图形如图：第10页/共18页 设重合点为P，该四棱锥为正四棱锥，球心应在OP的连线上，设为O，设外接球半径为R，则8NPEN=，4ON=，4 3PO=，,4 3O PO BR OOR=，4 2OB=，由勾股定理得222O BOOOB=+，即()()2224 24 3RR=+，解得10 33R=，外接球表面积为：21004004433SR=故答案为4003【点睛】本题考查图形折叠前后的变换关系，四棱锥的外接球半径的求法，属于中档题四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，其中第小题，其中第 17 题题 10 分，其余各题为分，其余各题为 12 分，共分，共 70 分分.解答应写出文解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤.17.已知i是虚数单位，设13i22=+.（1）求证：120；（2）计算：(12)(12)【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】【分析】（1）代入13i22=+，化简210+=，即可作出证明；（2）由（1）知210+=，求解31=，代入即可求解.【小问 1 详解】证明：13i22=+，第11页/共18页 222131133(i)2()(i)(i)224222=+=+13313ii42422=，2131311ii0.2222+=+=【小问 2 详解】由 120知，(1)(12)0，310，31.(12)(12)(22)(2)434.18.已知4sin5，,2，5cos13=，是第三象限角（）求tan2的值；（）求()cos+的值【答案】（）247；（）6365【解析】【分析】（）先求得cos，然后求得tan，从而求得tan2.（）先求得sin，从而求得()cos+的值.【详解】（）4sin5，,2，23cos1 sin5=，sintans43co=，22tan24tan21tan7=（）5cos13=，是第三象限角，212sin1 cos13=，故63cos()coscossinsin65+=19.为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利第12页/共18页 用激光仪器和反光规律得到ACBDCB=，ACD为钝角，5AC=，7AD=，2 6sin7ADC=（1）求sinACB的值；（2）若测得BDCBCD=，求待测径长AB【答案】（1）15sin5ACB=（2）15AB=【解析】【分析】（1）由正弦定理结合二倍角的余弦公式求解即可；（2）分别在ACD，BCD用余弦定理可求得4CD=，10BDBC=，再由两角差的余弦公式可求出cosADB，最后在在ABD，由余弦定理即可求出答案.【小问 1 详解】在ACD中，由正弦定理可得：57sinsinsin2 67ACADADCACDACD=，则2 6sin5ACD=，因为ACBDCB=，因为ACD为钝角，所以1cos5ACD=，所以215cos1 2sinsin5ACDACBACB=.【小问 2 详解】在ACD，由余弦定理可得：212549cos52 5CDACDCD+=，解得：4CD=或6CD=（舍去），第13页/共18页 因为BDCBCD=，所以BDBC=，BCD，10coscos5BDCBCD=，由余弦定理可得：22210162cos528CDBDBCBDCCD BDBDBD+=，解得：10BDBC=，10cos5BDC=，15sin5BDC=，2 6sin7ADC=，5cos7ADC=，()coscoscoscossinsinADBBDCADCBDCADCBDCADC=+105152 65 106 1011 1057573535+=+=，在ABD，由余弦定理可得：22211 102cos104921071535ABBDADBD ADADB=+=+=，故15AB=.20.社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在40,100内，将笔试成绩按照)40,50、)50,60、90,100分组，得到如图所示频率分布直方图（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线【答案】（1）0.020a=（2）众数为75，平均数为74.5（3）65在第14页/共18页【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可求得a的值；（2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，将矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得应聘者笔试成绩的平均数；（3）计算出25%百分位数，可得结果.【小问 1 详解】解：由题意有()0.0050.0100.0300.015101aa+=，解得0.020a=.【小问 2 详解】解：应聘者笔试成绩的众数为7080752+=，应聘者笔试成绩的平均数为45 0.0555 0.1 65 0.275 0.385 0.295 0.1574.5+=【小问 3 详解】解：1500.75200=，所以，面试成绩的最低分为25%百分位数，前两个矩形面积之和为0.050.10.15+=，前三个矩形的面积之和为0.150.20.35+=，设25%百分位数为m，则()0.15600.020.25m+=，解得65m=.因此，若计划面试150人，估计参加面试的最低分数线为65.21.如图，三棱锥ABCD中，ABC为等边三角形，且面ABC面BCD，CDBC（1）求证：CDAB；（2）当AD与平面 BCD 所成角为 45时，求二面角CADB的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】(1)根据给定条件证得CD 平面ABC即可推理作答.第15页/共18页(2)由AD与平面 BCD所成角确定正ABC边长与 CD长的关系，再作出二面角CADB的平面角，借助余弦定理计算作答.【小问 1 详解】在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC=，而CDBC，CD 平面BCD，因此有CD 平面ABC，又有AB平面ABC，所以CDAB.【小问 2 详解】取 BC中点 F，连接 AF，DF，如图，因ABC为等边三角形，则AFBC，而平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC=，AF 平面ABC，于是得AF 平面BCD，ADF是AD与平面 BCD所成角，即45ADF=，令2BC=，则3DFAF=，因CDBC，即有2DC=，由(1)知，DCAC，则有6ADBD=，过 C 作COAD交 AD于 O，在平面ABD内过 O 作OEAD交 BD于 E，连 CE，从而得COE是二面角CADB的平面角，RtACD中，23AC CDCOAD=，222226(2)()33ODCDCO=，ABD中，由余弦定理得222222(6)(6)22cos23266ADBDABEDOAD BD+=，6cos2ODDEEDO=，22306OEDEOD=，显然 E是Rt BCD斜边中点，则1622CEBD=，第16页/共18页 COE中，由余弦定理得2222222306()()()623cos2230263COEOCECOECO EO+=1010=，所以二面角CADB的余弦值1010.22.设ABC是边长为 1 的正三角形，点123,P P P四等分线段BC（如图所示）（1）求112AB APAP AP+的值；（2）Q为线段1AP上一点，若112AQmABAC=+，求实数m的值；（3）P为边BC上一动点，当PA PC 取最小值时，求cosPAB的值【答案】（1）138；（2）14；（3）51326【解析】【分析】（1）利用线段的中点向量公式将所求化为212AP，再结合余弦定理求解；（2）利用平面向量的线性运算进行化简求解；（3）先讨论P位置，研究PA PC 的符号，再设PCx=，将PA PC 表示为关于x的函数，利用二次函数的最值判定P的位置，再利用余弦定理进行求解【详解】（1）原式2121()2APABAPAP=+=，在1ABP中，由余弦定理，得21111312 1cos6016416AP=+=，的第17页/共18页 所以112138AB APAP AP+=（2）易知114BPBC=，即11()4APABACAB=，即13144APABAC=+，因为Q为线段1AP上一点，设13114412AQAPABACmABAC=+=+，所以3411412m=，解得1314m=所以14m=；（3）当P在线段2BP上时，0PA PC ；当P在线段2PC上时，0PA PC ；要使PA PC 最小，则P必在线段2PC上，设PCx=，则cosPA PCPAPCAPC=222111cos2416PA PCAPBPC PPxxx=，当14x=时，即当P为3P时，PA PC 最小，则由（1）可知134AP=，则由余弦定理得222139151616cos13226132 14ABAPBPBAPAB AP+=，