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第 9 章线性系统的状态空间分析与综合例题解析例 9-1对于图 9-1 所示的质量弹簧系统，当外力F（t）作用时，系统产生运动，质量及弹簧弹性系数见图示。如不计摩擦，试：（1）以质量 m2的位移 y(t)为输出，外力F(t)为输入，列写系统的运动方程；（2）求从 F(s)到 y(s)的传递函数；（3）以框图表示上述系统；（4）自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。图 9-1 质量弹簧系统解：（1）设质量块m1的位移为z，根据牛顿定律有zmyzktF11)()(1)同理对质量块m2有ymykyzk221)(2)联立式 1）和 2）消去中间变量，得出系统微分方程：)()(12121121)4(21tFkykkymkmkkymm 3)(2)对式 3）进行拉氏变换可得212211214211)()()(kksmkmkksmmksFsY 4)m1m2y(t)k1k2F(t)FyZ(3)对式（1）进行拉氏变换可得121 11)()()(ksmsFsYksZ 5)同样处理式2)有21221)()(kksmksZsY 6)由式 5)，式 6)可以画出系统结构图，如图9-2 所示。图 9-2系统结构图（4）设状态变量zxxzx211yxxyx433由式 1)xmkzx11211311)(mtFxmk由式 2)12132214xmkxmkkyx因此有)(00100010000000101221221111tFmxmkkmkmkmkxxy01001211ksm21221kksmkk1例 9-2在图 9-3 所示系统中，若选取 x1，x2，x3作为状态变量，试列写其状态空间表达式，并写成矩阵形式.图 9-3解：由结构图可得11313221)1()(2)3()2xysxxxssxxxsxu（整理可得系统状态空间方程表达式132.321.23.132232xyxxxuxxxxx写成矩阵的形式xyuxx001020320032100例 9-3设系统微分方程为uuuyyyy1588147系统初始条件为零，试：（1）采用传递函数直接分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图；（2）采用传递函数并联分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图。ux2x3x1s32s)1(2ss解：系统的传递函数为)()(8147158)(232sUsYssssssG 1)(1)令)()()()()(sZsYsUsZsG?2)式中81471)()(23ssssUsZ 3)158)()(2sssZsY 4)由式 3)uzzzz8147令zx1zxx21zxx32则有uxxxzx32137148由式 4)321815xxxy有uxx1007148100010 xy1815(2)对式 1)进行部分分式展开，有)()(461223138)(sUsYssssG令11)()(1ssUsX21)()(2ssUsX41)()(3ssUsX则有uxx11uxx222uxx334321612338xxxy故有uxx111400020001xy612338ux3x2x1y两种形式的状态空间表达式所对应的状态图分别如图9-4（a），（b）所示。(a)(b)图 9-20系统状态模拟图例 9-4线性定常系统的齐次状态方程为21213210 xxxxx3xyux17s1s1s1188s11s12s1382361系统的初始状态为01)0()0()0(21xxx求系统齐次状态方程的解x(t)。解：先求系统的状态转移矩阵Atet)(。解法一按矩阵指数定义22!21tAAtIetAt）（=2232102132101001tt=32323232252731373267231ttttttttttt解法二用拉氏变换法)()11AsILt（ssssssssadjssAsI213231321det321321)(2112211221221112112ssssssss故得tttttttteeeeeeeeAsILt2222112222)()(解法三用凯莱哈密顿定理系统特征方程0)2)(1(23321det2AI系统矩阵有A两个互异特征值。，2121AtItetAt)()()10（tttttttteeeeeeeett2221121212211111)()(21故3210)(1001)2()(22tttteeeettttttttteeeeeeee22222222系统齐次状态方程的解为?tttttttttttteeeeeeeeeeeexttx222222222012222)0()()(例 9-5设系统状态方程为)(tAxx已知当X(0)=11时，x(t)=ttee22；当x(0)=12时，x(t)=ttee2，试求系统矩阵A及系统状态转移矩阵)(t。解：先计算状态转移矩阵)(t。设)()()()()(22211211ttttt齐次方程解为)0()()(xttx，依题意应有)()()()(11)()()()(222112112221121122tttttttteett 1)()(2)()(212)()()()(22221121122211211tttttttteett 2)解方程组得tttttttteeteeteeteet2222212122112)()(22)(2)(故tttttttteeeeeeeet22222222)(计算系统矩阵A,由状态转移矩阵性质得31202222|)(022220tttttttttteeeeeeeetA注意：根据1)，2)可以列出下面的式子,用以求得)(t1121)(222teeeetttt故tttttttttttteeeeeeeeeeeet2222122222211212)(例 9-6设系统运动方程为cuuabyybay)(式中a，b，c均为实数；u为系统的输入；y为输出。试：(1)求系统状态空间表达式；(2)画出系统相应的模拟结构图；(3)当输入函数)(1)(ttu时，求系统状态方程的解。解：（1）依题意可写出系统传递函数bsbabcasabacbsascsabsbascssUsYsG?11)()()()()(2令assUsX1)()(1bssUsX1)()(2则可得uaxx11ubxx2221xbabcxabacy故有uXbax1100 xbabcabacy（2）依状态空间表达式，可画出系统模拟结构图（即状态图），如图9-5。（3）系统状态转移矩阵btateebsasLbsasLAsILt00100100)()(1111tdButxttx0)()()0()()(deexxeettbtabtat11100)0()0(000)()(21tbtbtatatbbtaatbtatebexeaexdeeexex02121)1(1)0()1(1)0()0()0(图 9-5例 9-7一系统的微分方程为uuyyy2（1）建立系统的动态方程；（2）用四种方法求系统的转移矩阵。解：(1)由微分方程可得到系统传函为22)1(1121)(sssssUYsG用 s2除以 G(s)的分子和分母得212121)(sssssG根据梅逊增益公式，可画出如下信号流图s1as1babacbabcux1x2y图 9-6由图可知21212212xxyuxxxxx写成矩阵形式为11,10,2110CBA（2）求状态转移矩阵 首先用拉氏变换法求eAt)(11AsILeAtttttttAtteeteteteeAsILessssssAsI)(112121211)(11211 用特征值、特征向量法求eAt特征方程为012211)(2f特征根为12,1特征向量为11，广义特征向量为01非奇异变换矩阵ttttttAtteeteteteePtettetePePP1111101110,0111图 9-7 用待定系数法求eAt由凯莱哈密尔顿定理知1110)()()(1tatataet对求导得)(11tatet联立求解上面两个方程得tttttttttttttAttttteeteteteeteteteteeteeAtaItaeteetateta2000)()()()(1001 用信号流图法求eAt将系统的信号流图变为图9-7，由梅逊公式知 12s1s2)(1sX和)0(1x的关系为)0(122)0(21)21(1)(1212111xssssxssssX)(1sX和)0(2x的关系为12)0()0(21)(2222111ssxsxssssX)(2sX和)0(1x的关系为12)0()0()()(21112ssxsxssX)(2sX和)0(2x的关系为)0(12)0()(1()(2222xssssxsX由)0()()(xssX可得12121121122)(2222sssssssssss因此ttttttteeteteteesLt)()(1例 9-8对例 9-7 中的系统，当输入量为ttusin)(，初始条件为0)0(,1)0(yy时，求输出量)(ty。解:令uur微分方程变为ryyy2令yxyx21,有1122212xyrxxyxxx写成矩阵形式01,10,2110CBA上题已求出ttttttAtteeteteteee系统状态的初始值为01)0()0()0()0(21yyxx输入为tttrsincos)(系统的转移状态方程为ttteedetedetetetetetteteetdBreCxCetCxtydBrexetxttttttttttttttttAAtttAAtcos21sin2123)sin(cos)()1()sin(cos10)1()()()1(0101)1()1(01)()0()()()()0()(0)(0)()()()(0)(0)(例 9-9太阳能加热系统的微分方程为：duxdtdxuuxdtdx222211123这里1u和2u是系统输入，d是系统的干扰。当01u，12u，0d，初始条件为零时，求系统响应。解：由题目知duuuBA21,110011,2003有00)0(,0023xeeettAt则1)1(31)()(230)(ttttAeedBuetx例 9-10已知一线性定常系统的状态转移矩阵为tttttttteeeeeeeet22222222)(试求该系统的系统矩阵A。解：可用两种方法求A（1）由11)(AsILt知3210321321213)23()(21323123232231233)()(12222221sssIAssssssAsIsssssssssssssssAsI（2）由状态转移矩阵的性质知ItAt)0(),()(因此有3210)(0ttA例 9-11图 9-8（a）所示电网络的输入端电压如图（b）所示，试求电流（）的表达式。（a）（b）图 9-8（a）电路图（b）输入电压解：（1）建立状态方程，由电路知识有)(1)()(tuLtiLRdttdi选（）为状态变量，即令（）)(1111tuLxLRdtdxx即LBLRA1,(2)系统的状态转移矩阵为tLRAtee，可用两种方法求电流（）把输入电压表示成)(1)(1)(1ttEtEte，用拉氏变换的方法求解电流（）。把整个过程看成两段，第一段是由x(0)转移到x(t2)，第二段由x2(t)转移到x(t)。这里用第二种方法计算。对于第一段，有e(t)=E,0tt2，按定常系统状态方程的求解公式有：)1()0()1()1)()0()0()0()(00)(tLRLRAAtLRtAAttLRttAAteREieeeELRLieEdeBeieBudeieti对于第二段，有e(t)=2 E，ttv,初始状态为REeREititxtLR1)0()()(11于是REeREieREdeeLEtieEdBetxetitLRttLRtAAtttLRttAttA2)0(2)(2)()()(11)(1)(1)(111例 9-12已知矩阵3223A求100,sin,AAeA解：（1）求A的特征值特征方程056)(2AIf特征值为5,121（2）求非奇异线性变换矩阵P对应1和2的特征向量为11,11因此有5001111121,111111APPAPP（3）计算eA55555121111121001111eeeeeeeeeePPeeAA（4）计算 sinA5sin1sin5sin1sin5sin1sin5sin1sin211111215sin001sin1111)(sinsin1PAPA（5）计算A1001001001001001001100100515151512111112150011111)(PAPA例 9-13已知矩阵0001100001000010A试用凯莱哈密尔顿定理计算A7A32I。解：系统的特征方程为01)(4AIf由凯莱哈密尔顿定理知01)(4AAf于是IIAAIAA22)1(24337例 9-14已知矩阵000100000001A试利用状态转移矩阵的性质求Ate,并用特征值,特征向量法验证。解:将A分为两个矩阵之和0000100000000010,0000000000000001000000012121AAAAA由于1221AAAA,所以tAtAtAAeee2121)(对于矩阵 A 有tAtAtAAAteeee2121)(而tttttAeeeee000000000000110001000010001000001000000000101000010000100001!02tttAktekkktA于是ttttttAteteeeteee0000000000例 9-15线性定常系统传递矩阵为34)2)(1(3)(ssssssG（1）求系统可控标准形实现，画出系统状态图；（2）用传递函数并联分解法，求系统对角形实现，画出系统状态图。解：（1）10)2)(1()3()3)(2)(1(1131)2)(1(3)(2sssssssssssG102396611612223sssssss利用传递函数直接分解法得可控标准形实现uxx1006116100010uxy10132169（2）10312111)(ssssG令31)()(21)()(11)()(321ssUsXssUsXssUsX可得uxx11uxx222uxx3332112xxyuxy32x1x3y2y1x2故uxyuxx10100012111300020001可控标准形，对角形实现对应的状态图分别如图9-9(a)，(b)所示。（a）us11s12s1321(b)图 9-9例 9-16已知系统传递矩阵为5)4(4)2)(1()3(2)(ssssssG求最小实现。解：401017881243016240)5)(2)(1()2)(1(4)5)(3(2)(2322sssssssssssssssG为方便计，先求其转置实现：40812430162101781)(2223ssssssssGT利用传递函数直接分解法可得uxx10081710100010uxy40412821630再对其进行转置，得出系统实现为uxyuxx4010042121683081017011000例 9-17已知系统的输入输出方程为uuuyyy8634试分别求出满足下述要求的状态空间表达式：（1）系统为可控可观测的对角标准形；（2）系统为可控不可观测的；（3）系统为可观测不可控的；（4）系统为即不可控也不可观测的。解：（1）3211231)3)(1(5213486)()()(22ssssssssssUsYsG令11)()(1ssUsX31)()(2ssUsX可得uxx1uxx323212123xxuy故有utxtytutxtx)(2123)()(11)(3001)(1)(2)在G(s)中分子，分母各乘一因子“”，使之存在零极点对消，即sssssssssssG34521)34()52(1)(2322采用可控标准形实现，系统一定是可控（必然不可测）的，有utxtyutxtx)(250)(100)(430100010)(2)(3)利用式 2)的对偶实现，系统必是可观测不可控的，有utxtyutxtx)(100)(250)(410301000)(3)(4)在式 1)的基础上，加一个不可控不可观测的状态变量，构成不可控不可观测的系统实现，即utxtyutxatx)(02123)(011)(00030001)(4)式中a为任意实数。注意:实现的方案有很多种,本题答案仅供参考.例 9-18一控制系统结构如图9-10 所示。其中12)(,1)1()(,122ssHsssGk（1）画出相应的信号流图,列写动态方程；（2）确定系统的稳定性；（3）判断系统的能控性和能观性。U(s)Y(s)图 9-10系统结构图解:(1)(sG可变为21222121121112)(ssssssssG于是，根据结构图画出信号流图如9-11：k)(sG)(sHS1图 9 11分别令积分器的输出为状态变量321,xxx,于是11323321131)313132(2)2(2xuxxuxxxxuxxxx整理后得001,31031,3413110032031313431313132321332131CBAuxxxxxxuxxx(2)分析系统的稳定性可用两种方法求系统特征方程 特征方程为0)1553(31341311032031)(23AIf 系统的闭环传递函数为155312)(232ssssss特征方程01553)(23ssssD根据特征方程列劳斯阵列为1052215530123ssss第一列系数均大于零，因此系统稳定。（3）能控判别矩阵。920953195310271191312BAABBQc3crankQ，系统能控。能观测判别矩阵91032913203100120CACACQ30rankQ，系统能观。例 9-19考虑由3213213213210106116100010 xxxcccyuxxxxxx定义的系统。除了明显的选择c1c2c30 外，试找出使得该系统不可观测的一组c1，c2和c3。解：A矩阵为友矩阵，于是将友矩阵化为对角线矩阵的非奇异线性变换矩阵为3213213219342300020001,941321111cccccccccCPCAP因为，非奇异变换不改变系统的能观性，于是当0930420321321321ccccccccc任一组成立时，该系统都不能观测。例 9-20线性定常系统的传递函数为6116)()()(23sssassUsYsG（1）指出当a 为何值时，系统是不能控或不能观的?（2）建立动态方程，使系统是不能控的。（3）建立动态方程，使系统是不能观的。解：（1）G(s)可变换为)3)(2)(1()(sssassG当 a1，2 或 3 时，传递函数出现零，极点相消的现象，这时系统是不能控或不能观的。（2）当 a1 时，系统的能观标准型为xyuxx1000116101101600此时，系统能观，但不能控。（3）当 a=1 时，系统的能控标准型为xyuxx0111006116100010此时，系统能控不能观。例 9-21一系统的传递函数为)22)(1(10)(22sssssG确定系统的能控性和能观性。解：可以证明对于单输入，单输出系统来说，系统能控,能观的的充要条件是：传递函数没有零，极点对消现象。该系统传递函数无零极点对消现象，因此系统能控且能观。例 9-22一系统的微分方程为udtduydtdydtyd222，其中 y 是输出，u 是输入。（1）选择相变量作为系统的状态变量，分析系统的能控性和能观性。（2）选择状态变量为yx1和udtdyx2，分析系统的能控性和能观性。（3）分别对上述两种情况进行非奇异变换，分析系统的能控性和能观性。解：（1）系统的传递函数为121)(2ssssG存在零极点相消现象，系统不是完全能控和能观的。212121)(sssssG相变量形式的信号流图为图 9-12动态方程为所以，系统不能观。所以，系统能控。,21,1111,2,21101110211000rankQQrankQQxyuxxcc（2）当uyxyx21,时，uxxuyuyuyyuyxuxx122212)(22写成矩阵形式为xyuxx01112110信号流图为图 9-13所以，系统不能控。,1,1111ccrankQQ所以，系统能观。,2,100100rankQQ（3）对于情况（1）特征值为121，特征向量为11，广义特征向量为01。10,11,1011,1110,011111CBAPPAPP系统能控不能观。ux2x1y对于情况（2）11,01,1011,1110,01111CBAPP系统不能控但能观。由此可见，经线性非奇异变换，系统的能控性和能观性没有改变。例 9-23系统结构图如图9-14 所示,图中,均是实常数.试建立系统的状态空间表达式,并分别确立当系统状态可控及系统可观测时,a,b，c,d 应满足的条件。图 9-14系统结构图解：依系统的结构图可列出uxxbdcaxx112121xy01acdbdbacABBPc11ccaCACP010可见,当0dcba时系统可控;当0c时系统可观测。例 9-24设s1cs1bad010001321aaaA001cC其中,a1，a2，a3，c1为实数.试问,(A,C)可观测的充分必要条件是什么?要求用 A 和 C中的参数具体表示。解:3123132123133132122132131311312112121131211120100100caaaaaacaaaaaaaaaaaccaacacaacacacacacacCACACP可见,当013ca时,系统可观测。例 925设在线性系统CxyBuAxx,中4023032600200001A2301B1134C（1）请判断其可控性，并求出其可控子空间；（2）判断其可观测性，并求出其不可观测子空间；（3）计算其传递函数。解:系统特征方程为0)4)(3)(2)(1(4023032600200001ssssssssAsI可见，系统特征值为互异单根，可以对角化。设矩阵A相对于11的特征向量为P1则有00003023022600100000)(4131211111ppppPAI可解出114111312130ppppp取111p则有1301413121111ppppP同理，对22相应的特征向量设为P2,有00002023012600000001)(4232221222ppppPAI解出224222321220ppppp取122p有121022P同样,对33可得01003P;对44,可得10004P使系统化为对角形的线性变换矩阵为10110123001000014321ppppp10110123001000011P40000300002000011APPA1100101101230010000111341001230110110123001000011CPCBPB对角化后的状态空间表达式为xyuxx110010014000030000200001可看出,系统不可控不可观测.4,1xx构成可控子空间uxxxxxc114001414143,xx构成可观测子空间04343011104003xyuxxxxx系统传递函数为411001410000310000210000111100)()()(11sssssBAsICBAsICsG例 9-26给定系统的状态空间表达式为xyuxx210011310301100请判断系统的可控性，可观测性。若不完全可控，请用坐标变换分出其可控和不可控的子系统，讨论能否用状态反馈Kxu使闭环系统稳定。解:2103111012BAABBPc32rankPc（不完全可控）33242111020CACACP320rankP（不完全可观测）系统可控性指数为2，在PC中选两个线性无关的列向量，即101101取一个与之线性无关的列向量100构成变换矩阵1100110011T111011001T21111001100121000101111101100110022111011001100131030110011101100111CTCTBBTATA系统按可控性，不可控性分解为uxxxxxx001100221110321321可见，不可控子空间对应特征值13,可控子空间用状态反馈可以实现极点任意配置。因此，用状态反馈可以使闭环系统稳定。例 9-27给定开环传递函数为)3(1)(2ssssG要求用状态反馈将闭环极点配置到1,2,2。试计算状态反馈增益矩阵，并说明所得到的闭环系统是否可观测。解:写出系统的可控标准形实现为xyuxx011100300100010设系统状态反馈矩阵321kkkK，令加状态反馈后闭环系统特征多项式为485)1()2()3(31001100300100010)(23212233321321ssssskskskskskksskkksssBKAsI比较系数得284321kkkK状态反馈不改变系统零点，且不改变系统可控性。然后反馈后系统在1s处出现零极点对消，所以闭环系统必不可观测。例 9-28系统状态方程如下：uxx100130100001试判定系统是否可用状态反馈vKxu分别配置以下两组闭环特征值1,2,2322若能配置，则求出反馈增益向量K。解:判定系统可控性322111100002nrankBAABBrankrankPc系统不可控，不能实现极点的任意配置。考虑原系统特征值)75.25.0)(75.25.0)(1(13010001jsjsssssAsI有一个特征根本来就在1s处，而且由状态方程可看出，正是该特征根对应的状态不可控，所以可以利用系统的可控子系统将另两个极点配置到2,2，实现第一组闭环特征值的配置。可控子系统状态方程为uxxxx1013103232令)3()1(13110131000)(2323232kskskskskkssKBAsIccc44)2(22sss得5132kkKc故可取510321kkkK将闭环极点配置到221。系统用状态反馈不能实现第二组闭环极点的配置。例 9-29设系统状态描述为CxyBuAxx现引入状态反馈xKvu?构成闭环系统，x?为x的估计值。(1)写出该系统状态向量的全维渐进估计器动态方程；(2)写出带状态反馈、全维估计器的闭环系统动态方程，并画出包括状态反馈及全维估计器的闭环系统结构图。解:（1）先画出闭环系统结构图，如图9-15 所示。依图，可写出状态观测器方程为xvuxxxy?xCyBvHCxxBKHCAxKvBxxHCxABuyyHxAx?)()?()?(?(?）1）（2）系统状态空间描述CxyBvxBKAxxKvBAxx?)?(2）联立式 1），式 2）两式，有xxCyvBBxxBKHCAHCBKAxx?0?（3）y图 9-15例 9-30设系统状态空间描述为xyuxx10200615（1）画出系统状态图；BsICAKsIAHCBx1(2)求系统传递函数；(3)判定系统可控性，可观测性；(4)求系统状态转移矩阵)(t；(5)当0)(,30)0(tux时，求系统输出)(ty；(6)设计全维状态观测器，将观测器极点配置在1010,1010jj处；(7)在(6)的基础上，设计状态矩阵K 使系统闭环极点配置在55,55jj处；(8)画出系统总体状态图。解:（1）原系统状态图如图9-16 所示：图 9-16(2)65)5(220561651102061510)()(2211sssssssssBAsICsG(3)0220ABBPc（系统可控）06100CACP（系统可观测）(4)561651615)()(211111ssssLssLAsILtu2xx21x2s1s16y=x2tttttttteeeeeeeessssssssL2323232313266232332263621312233(5)tttttttttteeeeeeeeeextCtCxty3223232323693032662310)0()()()(6)设观测器输出误差反馈矩阵,21hhH令21222121566)5(61510615)(hhshshshshhssHCAsI20020)1010)(1010(ssjsjs比较系数得15611921hhH(7)设状态反馈增益矩阵K=21kk，令21212261520615)(kskskkssBKAsI5010)55)(55(1026)25(22122ssjsjskksks比较系数5010261025212kkk解出2521921kkK(8)整体系统状态图如图9-17 所示。13443132212xxuyxxxxxzxxx图 9 17例 9-31一机械系统如图9-18 所示，其中m1m21，k1k2 1。（1）建立动态方程；（2）求系统的特征根；（3）选择适当的ix，加入ukxi后使系统变成稳定的，确定使系统稳定的k值。解：（1）系统受力分析如图9-19 所示由牛顿第二定理可知：zmzkzykymzyku11222)()(将m1m21 和k1k21 代入得zyzzyuy2选状态变量为yxyxzxzx4321,，于是有写成矩阵形式为：图 9-19图 9-180100,1000,0101100001020010CBA（2）系统的特征方程为13)212()1)(1()(101100012001)(24233AIf特征根为253,2534,32,1jj系统处于临界稳定状态。（3）选ukx4，可使特征方程不缺项，此时123)2122()(101100012001)(101100001020010234223kkkkkfkA劳斯阵列为10110213101234sksskkss当0k时，系统是稳定的。例 9-32已知一个简谐振子的状态方程为xyuxx10,010110（1）讨论系统的稳定性。（2）加输出反馈可否使系统渐进稳定？（3）加状态反馈则又如何?解：（1）系统特征方程0111)(2AIf特征值jj21,。系统处于临界稳定状态。（2）设输出反馈矩阵为H（是常数），加输出反馈后VHYu,状态方程为BVxBHCABvBHCxAxHyVBAxx)()(其中0110HBHCA特征方程为011)1()()(2HHBHCAIfH 无论取何值，都不能使系统的特征根都位于左半s 平面，因此加输出反馈不能使系统渐进稳定。（3）设21,kkKKxVu，加状态反馈后状态方程为0)1()(011)(21221kkfkkBKABVxBKAx通过 k1和 k2的调整可使系统的特征值都位于左半s 平面，使系统渐进稳定。例9-33设 控 制系 统的传 递 函数)4(1)(0sssG，要 求综 合系统 的 阻尼 比22，无阻尼自然振荡频率sradn/23。（1）设计一状态反馈阵K，并画出所构成的状态反馈闭环系统的结构；yX2+u+X1V（2）试确定一个二维观测器所构成的状态反馈闭环系统，要求观测器极点为-10，-20，并画出带观测器的闭环系统结构；（3）试确定一个一维观测器所构成的状态反馈闭环系统，要求观测器极点为-20，并画出带观测器的闭环系统结构。解：（1）希望极点的位置按主导极点设计法来进行综合，设主导极点为1和2，根据二阶系统性能指标和主导极点的关系有3323*22123221221jjjnn3323*22123221222jjjnn希望的闭环系统的特征多项式为)1(1816)()(*221sssssf设210kkK，状态反馈闭环系统的特征多项式为(由传递函数得A10,01,4100cb)由式（1）和式（2）同次项系数相等，得18464211kkk则10221kk即1020K原受控系统状态反馈系统结构如图9-20。（2）由带观测器的状态反馈系统极点等于原系统的直接状态反馈系统极点与观测器系统的极点的合成，二者的极点互不相同，彼此分离可知，带观测器的状态反馈阵K与（1）中的K相同。系统的可观矩阵为：)2(4)4(41)(det)(211221kksksskksbKAsIsfs12410s1图 9-202,411000MrankCACM系统是可观的，因此存在渐近稳定的状态观测器。设21ggG，观测器的特征多项式为)3()4(10410000det)(det)(12221gsgsggssGCAsIsf希望的状态观测器的特征多项式为)4(20030)()(*221sssssf由式（3）和式（4）同次项系数相等，得30420021gg则2620021gg全维状态观测器的方程为XKGybuXGCAX?)(?反馈信号为：即2121?10?2?10226200012?1?3012000?XXXyuXXXX反馈信号为：二维观测器所构成的状态反馈闭环系统的结构图如图9-21 所示。（3）由图 9-21 可知，X2是可直接量测的状态变量，X1为不可直接量测的状态变量。由C可得非奇异矩阵T为单位矩阵，则可对原系统直接分解：21212121222112112110014100XXyuXXuBBXXAAAAXX图 9 211.0,0,1,4,1,0,0212122211211CCBBAAAA对不能直接量测子系统0,121111ABAZ构造一维观测器。设1gG，可得状态观测器的特征多项式：)5(10detdet)(21111gsgsAGAsIsf希望的一维观测器的特征多项式是)6()20()(*ssf由式（5），（6）同次项系数相等，得g20得yZXyuZZ20?320201111由 于变 换矩阵 为单 位矩阵，所以不用回到原系统坐标系中去。由一维观测器构成状态反馈的闭环系统结构图如图9-22 所示。图 9 22例 9-34设二阶系统为)(10)()(1411)()(2121tutXtXtXtX（1）该系统能否通过状态反馈来实现闭环极点任意配置，为什么？（2）设希望闭环极点为7,621，试设计状态反馈矩阵K。（3）画出带有状态反馈的状态变量图。（4）试分别求出初始值TX01)0(及输入0)(tu，求原系统和带状态反馈后系统的瞬态响应。解：（1）由于系统的可控性矩阵为：2,1110ccMrankAbbM故系统是可控的，通过状态反馈可以实现其极点任意配置。（2）设将系统的闭环极点配置在期望位置上的状态反馈增益矩阵为K=k1 k2，则闭环特征多项式为：5)2(1411)(det)(212221kksksksksbKAsIsf而闭环系统的期望特征多项式是4213)7)(6()(*2sssssf由以上两式同次项系数相等，可得2611,425,13212212kkkkk即1126K（3）带有状态反馈的状态变量图如图9-23 所示图 9-23（4）由于dtbutXttXt0)()()0()()(所以对于原系统，有14114)1(11411)(211111sssLssLAsILttetetetetetedbutXttXtetetetessssssLttttttttttt2sin22cos012cos2sin22sin5.02cos)()()0()()(2cos2sin22sin5.02cos2)1(12)1(222)1(12)1(10222222221对于带状态反馈系统，有tttttttteeeeeeeeLssssssssLssssLssLbKAsILt67767676112111115630305665767306307161756613011242131123011)(dbutXttXt0)()()0()()(tttttttttttteeeeeeeeeeee7676677676763030560156303056例 9-35 系统的状态方程为uxBuAxx011500020001(1)该系统是否是渐近稳定的？(2)该系统是否是状态反馈能镇定的？(3)设计状态反馈，使期望的闭环极点为5,22,22321jj解：（1）该系统的特征值为5,2,1321。有两个特征值在右半s 平面，因此系统不是渐进稳定的。（2）由动态方程知，系统是不能控的，但不能控部分的特征值是5，位于左半s平面，因此系统是状态反馈能镇定的。（3）不能控部分的极点为53，与其中一个期望极点相同。设21kkK，对能控部分进行极点配置。84)22)(22()(*)22()3()2)(1()3()2()1()(2120012212122121212212121212121jjfkkkkkkkkkkkkkkAIfkkkkkkkkBKAA由)(*)(ff得8224)3(2121kkkk解得20,1321kk例 9-36设系统的状态