版高考数学二轮复习第2部分专题2数列第1讲等差数列等比数列教案理.pdf

2020 版高考数学二轮复习 第 2 部分 专题 2 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列教案 理-1-第 1 讲 等差数列、等比数列 做小题激活思维 1在数列 an中，an 1 an 2，a2 5，则 an的前 4 项和为()A 9 B 22 C 24 D 32 C 依题意得，数列 an是公差为 2 的等差数列，a1 a2 2 3，因此数列 an的前 4项和等于 43错误!2 24,选 C.2(2019全国卷)记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和已知 S4 0，a5 5,则(）A an 2n 5 B an 3n 10 C Sn 2n2 8n D Sn错误!n2 2n A 设等差数列 an的公差为 d，错误!错误!解得错误!an a1(n 1)d 3 2(n 1)2n 5，Sn na1错误!d n2 4n.故选 A。3如果等差数列 an中，a3 a4 a5 12，那么 a1 a2 a7等于(）A 14 B 21 C 28 D 35 C a3 a4 a5 12，3 a4 12，a4 4。a1 a2 a7(a1 a7)（a2 a6)(a3 a5)a4 7a4 28。4已知数列 an 满足 3an 1 an 0，a2错误!,则 an的前 10 项和等于 _ 错误!错误!由 3an 1 an 0，a2错误!得 an成首项为 1，公比 q错误!的等比数列，S10错误!错误!错误!。5在等比数列 an 中,an 1 an,a2a8 6，a4 a6 5，则错误!等于 _ 32 因为 a2a8 a4a6 6，又 a4 a6 5,联立,解得错误!或错误!(舍)，所以错误!错误!.扣要点-查缺补漏 1判断等差(比）数列的常用方法（1)定义法：若 an 1 an d，d 为常数错误!，则 an 为等差(比)数列,如 T1，T4.2020 版高考数学二轮复习 第 2 部分 专题 2 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列教案 理-2-(2）中项公式法(3）通项公式法 2等差数列的通项公式及前 n 项和公式(1)an a1（n 1)d am（n m）d；（2）Sn错误!na1错误!d。如 T2.3等比数列的通项公式及前 n 项和公式(1）an a1qn 1 amqn m(q0）；（2)Sn错误!如 T4。4等差数列与等比数列的性质（1）在等差数列中,若 m n p q(m，n，p，q N*),则 am an ap aq。如 T3。（2)若 an 是等差数列，则错误!也是等差数列(3）在等差数列 an 中，Sn，S2n Sn，S3n S2n也成等差数列(4）在等比数列中，若 m n p q（m，n，p，q N*），则 aman apaq.如 T5。(5）在等比数列中，Sn，S2n Sn，S3n S2n也成等比数列(n 为偶数且 q 1 除外).等差（比）数列的基本运算(5 年 9 考）高考解读 高考对该点的考查以等差数列、等比数列的通项公式与求和公式为考查目标，对等差 比 数列的五个基本量的计算进行考查，体现方程思想和转化与化归思想的应用。预测 2020 年命题风格不变。1(2018全国卷）记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 若 3S3 S2 S4，a1 2，则 a5()A 12 B 10 C 10 D 12 B 设等差数列 an 的公差为 d，3 S3 S2 S4,3错误!2a1 d 4a1错误!d，解得 d错误!a1,a1 2，d 3，a5 a1 4d 24（3）10。故选 B.2 一题多解(2019全国卷)记 Sn为等比数列 an的前 n 项和，若 a1错误!，a错误!a6，则 S5 _。则错误设等差数列的公差为错误错误解得错误错误故选如果等差数列中那么等于已知数列满足错误则的前项和等于错 舍所以错误错误扣要点查缺补漏判断等差比数列的常用方法定义法若为常数错误则为等差比数列如版高考数学二轮复 误如等比数列的通项公式及前项和公式错误如等差数列与等比数列的性质在等差数列中若则如若是等差数列则错误也2020 版高考数学二轮复习 第 2 部分 专题 2 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列教案 理-3-错误!法一：设等比数列 an 的公比为 q，因为 a错误!a6，所以(a1q3)2 a1q5，所以 a1q 1,又 a1错误!，所以 q 3，所以 S5错误!错误!错误!.法二：设等比数列 an 的公比为 q,因为 a错误!a6，所以 a2a6 a6,所以 a2 1，又 a1错误!，所以 q 3,所以 S5错误!错误!错误!。3(2018全国卷）等比数列 an中，a1 1，a5 4a3。(1）求 an的通项公式；（2)设 Sn为 an 的前 n 项和若 Sm 63，求 m.解(1)设 an 的公比为 q，由题设得 an qn 1.由已知得 q4 4q2,解得 q 0(舍去)或 q 2 或 q 2。故 an(2）n 1或 an 2n 1。（2)若 an(2）n 1，则 Sn1 2n3.由 Sm 63 得(2)m 188，此方程没有正整数解 若 an 2n 1，则 Sn 2n 1。由 Sm 63 得 2m 64，解得 m 6。综上，m 6.教师备选题 1(2015全国卷）已知等比数列 an 满足 a1 3,a1 a3 a5 21，则 a3 a5 a7()A 21 B 42 C 63 D 84 B a1 3,a1 a3 a5 21，3 3q2 3q4 21。1 q2 q4 7.解得 q2 2 或 q2 3（舍去)a3 a5 a7 q2（a1 a3 a5）221 42.故选 B。2（2013全国卷)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm 1 2,Sm 0，Sm 1 3，则m（)A 3 B 4 C 5 D 6 C an是等差数列,Sm 1 2,Sm 0，am Sm Sm 1 2。Sm 13,am 1 Sm 1 Sm 3，则错误设等差数列的公差为错误错误解得错误错误故选如果等差数列中那么等于已知数列满足错误则的前项和等于错 舍所以错误错误扣要点查缺补漏判断等差比数列的常用方法定义法若为常数错误则为等差比数列如版高考数学二轮复 误如等比数列的通项公式及前项和公式错误如等差数列与等比数列的性质在等差数列中若则如若是等差数列则错误也2020 版高考数学二轮复习 第 2 部分 专题 2 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列教案 理-4-d am 1 am 1。又 Sm错误!错误!0，a1 2，am 2(m 1)1 2，m 5.等差(比)数列基本运算的解题途径（1)设基本量：首项 a1和公差 d（公比 q)(2)列、解方程（组）：把条件转化为关于 a1和 d(q)的方程(组）,然后求解，注意整体代换,以减少运算量 提醒：抓住项与项之间的关系及项的“下角标”之间的关系巧用性质解题，可达到事半功倍的效果 1(数列与数学文化)中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是(）A 174 斤 B 184 斤 C 191 斤 D 201 斤 B 用 a1，a2,a8表示 8 个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列 a1，a2，,a8是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为 996，8 a1错误!17 996，解得 a1 65。a8 65717 184.选 B。2(基本量的运算)设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，公比为 q，若 a3 2,S4 5S2，则 q _。1 或2 由 a3 2 知，若 q 1，则 S4 8,而 5S2 20，不合题意，所以 q1。若 q 1，则 a3 a1q2 a1 2，an2(1）n 1，此时,S2 S4 0，满足 S4 5S2。当 q1 时，由 a3 2,S4 5S2，得 a1错误!5a1错误!，解得 q 2 或 2，满足题意 综上，q 的值为 1 或 2。3(等差、等比数列的交汇问题)设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn.若 S3，S9，S6成等差数列,且 a8 3，则 a5的值为 _ 6 设等比数列 an 的公比为 q.S3，S9,S6成等差数列，2 S9 S3 S6，且 q1。则错误设等差数列的公差为错误错误解得错误错误故选如果等差数列中那么等于已知数列满足错误则的前项和等于错 舍所以错误错误扣要点查缺补漏判断等差比数列的常用方法定义法若为常数错误则为等差比数列如版高考数学二轮复 误如等比数列的通项公式及前项和公式错误如等差数列与等比数列的性质在等差数列中若则如若是等差数列则错误也2020 版高考数学二轮复习 第 2 部分 专题 2 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列教案 理-5-错误!错误!错误!,即 2q6 q3 10,q3错误!或 q3 1（舍去）a8 3，a5错误!错误!6。等差（比)数列的性质及应用（5 年 3 考）高考解读 高考对该点的考查体现了在知识交汇处命题的思想，即把数列的通项 an和前 n 项和 Sn都看作关于“n的函数，要学会用函数的思想解决此类问题。预测 2020 年会加大与函数的交汇.1（2016全国卷)设等比数列 an满足 a1 a3 10，a2 a4 5，则 a1a2an的最大值为 _ 64 设等比数列 an的公比为 q，则由 a1 a3 10,a2 a4 q(a1 a3)5，知 q错误!。又 a1 a1q2 10，a1 8。故 a1a2an a错误!q1 2(n 1)23n错误!错误!23n错误!2错误!.记 t 错误!错误!错误!(n2 7n)，结合 n N*可知 n 3 或 4 时，t 有最大值 6.又 y 2t为增函数，从而 a1a2an的最大值为 26 64.2（2018全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，已知 a1 7，S3 15。（1）求 an的通项公式；(2)求 Sn,并求 Sn的最小值 解(1）设 an的公差为 d，由题意得 3a1 3d 15.由 a1 7 得 d 2.所以 an 的通项公式为 an 2n 9.(2)由（1）得 Sn n2 8n(n 4）2 16.所以当 n 4 时，Sn取得最小值，最小值为 16.教师备选题 1（2013全国卷)等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S10 0，S15 25，则 nSn的最小值为 _ 49 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，由 等差数列前 n 项和可得错误!解得错误!则错误设等差数列的公差为错误错误解得错误错误故选如果等差数列中那么等于已知数列满足错误则的前项和等于错 舍所以错误错误扣要点查缺补漏判断等差比数列的常用方法定义法若为常数错误则为等差比数列如版高考数学二轮复 误如等比数列的通项公式及前项和公式错误如等差数列与等比数列的性质在等差数列中若则如若是等差数列则错误也2020 版高考数学二轮复习 第 2 部分 专题 2 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列教案 理-6-nSn n2a1错误!d 3n2错误!（n3 n2)错误!n3错误!,（nSn)n2错误!，令（nSn）0，解得 n 0(舍去）或 n错误!。当 n错误!时，nSn是单调递增的；当 0 n错误!时,nSn是单调递减的，故当 n 7 时，nSn取最小值，（nSn）min1373错误!49。2（2019北京高考）设 an 是等差数列，a1 10，且 a2 10,a3 8，a4 6 成等比数列（1）求 an 的通项公式;（2）记 an 的前 n 项和为 Sn,求 Sn的最小值 解(1)an是等差数列，设公差为 d，又 a1 10,且 a2 10,a3 8，a4 6 成等比数列（a3 8)2(a2 10)(a4 6），（2 2d)2 d（4 3d），解得 d 2，an a1（n 1)d 10 2n 2 2n 12.(2)法一:由 a1 10，d 2，得:Sn 10n错误!2 n2 11n错误!错误!错误!，n 5 或 n 6 时，Sn取最小值 30。法二：由（1）知，an 2n 12。所以,当 n7 时,an 0；当 n6 时，an0.所以,Sn的最小值为 S5 S6 30.与数列性质有关问题的求解策略(1)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质,如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题(2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件,有时需进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用 1（下角标性质的应用）已知数列 an满足 2an an 1 an 1(n2），a2 a4 a6 12,a1 a3 a5 9,则 a1 a6(）A 6 B 7 C 8 D 9 则错误设等差数列的公差为错误错误解得错误错误故选如果等差数列中那么等于已知数列满足错误则的前项和等于错 舍所以错误错误扣要点查缺补漏判断等差比数列的常用方法定义法若为常数错误则为等差比数列如版高考数学二轮复 误如等比数列的通项公式及前项和公式错误如等差数列与等比数列的性质在等差数列中若则如若是等差数列则错误也2020 版高考数学二轮复习 第 2 部分 专题 2 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列教案 理-7-B 由 2an an 1 an 1（n2）可知数列 an是等差数列，a2 a4 a6 3a4 12，a1 a3 a5 3a3 9,a3 3，a4 4.所以 a1 a6 a3 a4 4 3 7。故选 B.2(和的性质的应用）已知数列 an是等比数列，Sn为其前 n 项和,若 a1 a2 a3 4，a4 a5 a6 8，则 S12()A 40 B 60 C 32 D 50 B 由等比数列的性质可知，数列 S3，S6 S3,S9 S6,S12 S9是等比数列，即数列 4，8,S9 S6，S12 S9是等比数列，因此 S12 4 8 16 32 60，选 B。3（奇数项与偶数项的性质)已知等差数列 an，bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn，若对于任意的自然数 n，都有SnTn错误!，则错误!错误!()A。错误!B。错误!C.错误!D。错误!A 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，故选 A。等差（比)数列的判断与证明(5 年 2 考）高考解读 高考对该点的考查以解答题第 1 问为主，立足双基，主要考查等差 比数列的证明，其中定义法及等差 比 中项法是解决此类问题的常用方法.预测 2020 年会加大对数列证明的考查。1(2018全国卷)已知数列 an满足 a1 1，nan 1 2（n 1)an.设 bn错误!.（1)求 b1,b2，b3；(2)判断数列 bn是否为等比数列，并说明理由；（3)求 an的通项公式 解(1)由条件可得 an 1错误!an。将 n 1 代入得，a2 4a1，而 a1 1，所以，a2 4。将 n 2 代入得,a3 3a2，所以 a3 12。则错误设等差数列的公差为错误错误解得错误错误故选如果等差数列中那么等于已知数列满足错误则的前项和等于错 舍所以错误错误扣要点查缺补漏判断等差比数列的常用方法定义法若为常数错误则为等差比数列如版高考数学二轮复 误如等比数列的通项公式及前项和公式错误如等差数列与等比数列的性质在等差数列中若则如若是等差数列则错误也2020 版高考数学二轮复习 第 2 部分 专题 2 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列教案 理-8-从而 b1 1，b2 2，b3 4。（2）bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 由条件可得错误!错误!，即 bn 1 2 bn，又 b1 1,所以 bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列（3)由(2）可得错误!2n 1，所以 an n2n 1.2（2014全国卷）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1 1,an0,anan 1 Sn 1,其中 为常数（1)证明:an 2 an；(2)是否存在,使得 an 为等差数列?并说明理由 解（1)证明：由题设知，anan 1 Sn 1，an 1an 2 Sn 1 1，两式相减得 an 1(an 2 an)an 1,由于 an 10，所以 an 2 an.(2)由题设知,a1 1,a1a2 S1 1,可得 a2 1.由（1）知，a3 1.令 2a2 a1 a3，解得 4。故 an 2 an 4，由此可得数列 a2n 1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n 1 4n 3；数列 a2n 是首项为 3，公差为 4 的等差数列,a2n 4n 1.所以 an 2n 1，an 1 an 2，因此存在 4，使得数列 an 为等差数列 教师备选题（2014全国卷）已知数列 an满足 a1 1，an 1 3an 1。(1）证明错误!是等比数列，并求 an 的通项公式；(2）证明错误!错误!错误!错误!.证明(1）由 an 1 3an 1 得 an 1错误!3错误!。又 a1错误!错误!，所以错误!是首项为错误!，公比为 3 的等比数列 an错误!错误!，因此 an的通项公式为 an错误!。（2)由(1）知错误!错误!。则错误设等差数列的公差为错误错误解得错误错误故选如果等差数列中那么等于已知数列满足错误则的前项和等于错 舍所以错误错误扣要点查缺补漏判断等差比数列的常用方法定义法若为常数错误则为等差比数列如版高考数学二轮复 误如等比数列的通项公式及前项和公式错误如等差数列与等比数列的性质在等差数列中若则如若是等差数列则错误也2020 版高考数学二轮复习 第 2 部分 专题 2 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列教案 理-9-因为当 n1 时,3n123n 1,所以错误!错误!。于是错误!错误!错误!1错误!错误!错误!错误!错误!。所以错误!错误!错误!错误!.点评 重视数列中的证明不等式,特别是不能直接求和时，需先放缩后求和的，放缩通项后转化为公式法求和，裂项求和.,常用放缩：。1证明数列 an是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明 an 1 an(n N）为同一常数;(2）利用等差中项，即证明 2an an 1 an 1(n2）2证明数列 an是等比数列的两种基本方法（1）利用定义,证明错误!（n N)为同一常数;(2）利用等比中项,即证明 a错误!an 1an 1（n2，an0）则错误设等差数列的公差为错误错误解得错误错误故选如果等差数列中那么等于已知数列满足错误则的前项和等于错 舍所以错误错误扣要点查缺补漏判断等差比数列的常用方法定义法若为常数错误则为等差比数列如版高考数学二轮复 误如等比数列的通项公式及前项和公式错误如等差数列与等比数列的性质在等差数列中若则如若是等差数列则错误也2020 版高考数学二轮复习 第 2 部分 专题 2 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列教案 理-10-1(数列与不等式的交汇）数列 an满足 an 1错误!，a1 1。(1)证明：数列错误!是等差数列；(2)求数列错误!的前 n 项和 Sn，并证明：错误!错误!错误!错误!.解(1）证明：（用转化法证明)an 1错误!,错误!错误!，化简得错误!2错误!，即错误!错误!2，故数列错误!是以 1 为首项，2 为公差的等差数列(2）由（1）知错误!2n 1，所以 Sn错误!n2.证明：错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!1错误!错误!。2 重视题(数列与概率的交汇)棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始时位于第 0 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第 99 站（胜利大本营)或第 100 站（失败集中营)时游戏结束设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn。(1）求 P3的值；(2）证明:Pn 1 Pn错误!(Pn Pn 1）(2 n99）；(3）求 P99、P100的值 解（1)棋子跳到第 3 站有以下三种途径:连续三次掷出正面，其概率为18；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为14;第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为错误!，因此 P3错误!。（2)(用构造法证明）易知棋子先跳到第 n 2 站，再掷出反面,其概率为错误!Pn 2；棋子先跳到第 n 1 站,再掷出正面，其概率为错误!Pn 1,因此有 Pn错误!（Pn 1 Pn 2)，即 Pn Pn 1错误!（Pn 1 Pn 2），也即 Pn 1 Pn错误!（Pn Pn 1）(2 n99）(3)由(2)知数列 Pn Pn 1（n1）是首项为 P1 P0错误!1错误!,公比为错误!的等比数列 因此有 Pn Pn 1错误!错误!(P1 P0)错误!.则错误设等差数列的公差为错误错误解得错误错误故选如果等差数列中那么等于已知数列满足错误则的前项和等于错 舍所以错误错误扣要点查缺补漏判断等差比数列的常用方法定义法若为常数错误则为等差比数列如版高考数学二轮复 误如等比数列的通项公式及前项和公式错误如等差数列与等比数列的性质在等差数列中若则如若是等差数列则错误也2020 版高考数学二轮复习 第 2 部分 专题 2 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列教案 理-11-由此得到 P99错误!错误!错误!错误!错误!1错误!错误!.由于若跳到第 99 站时，自动停止游戏，故有 P100错误!P98错误!错误!。则错误设等差数列的公差为错误错误解得错误错误故选如果等差数列中那么等于已知数列满足错误则的前项和等于错 舍所以错误错误扣要点查缺补漏判断等差比数列的常用方法定义法若为常数错误则为等差比数列如版高考数学二轮复 误如等比数列的通项公式及前项和公式错误如等差数列与等比数列的性质在等差数列中若则如若是等差数列则错误也