全国版2020年中考数学热点专题冲刺6方案设计问题.pdf

热点专题 7 方案设计问题 全日制义务教育数学课程标准(实验稿)中明确提出要培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，学会“数学地思考”，即运用数学的知识、方法去分析事物、思考问题，2019 年中考试卷中有一类方案设计题，特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点，此种题型考查考生的数学应用意识，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐，它要求学生根据題意设计符合条件的方案，或对己知方案进行评判，涉及的知识点主要有函数思想、分类讨论的思想、统计与概率、锐角三角函数方程或不等式(组)的应用以及图形变换等，对学生的能力要求较高，符合新课标的理念.考向 1 设计测量安装方案问题 1（2019山西）某综合与实践小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整).课题 测量旗杆的高度 成员 组长:组员:，测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量 示意图 说明:线段 GH表示旗杆，测量角度的仪器的高度 AC=BD=1.5m，测点 A，B与 H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点 G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内.点 C，D，E在同一直线上，点 E在 GH上.测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 GCE的度数 25.6 25.8 25.7 GDE的度数 31.2 30.8 31 A，B之间的距离 5.4m 5.6m 任务一:两次测量 A，B之间的距离的平均值是_m.任务二:根据以上测量结果，请你帮助该综合与实践小组求出学校旗杆 GH的高度.(参考数据:sin25.70.43，cos25.70.90，tan25.70.48，sin310.52，cos310.86，tan310.60)任务三:该综合与实践小组在制定方案时，讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)解：任务一:平均值=(5.4+5.6)2=5.5m 任务二:由题意可得，四边形 ACDB，ACEH 都是矩形，EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，设 EG=xm，在 RtDEG中，DEG=90，GDE=31，tan31=EGDE，DE=tan31xo，在 RtCEG中，CEG=90，GCE=25.7，tan25.7=EGCE，CE=tan 25.7xo，CD=CE DE，tan 25.7xotan31xo=5.5，x=13.2，GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7.答:旗杆 GH的高度为 14.7m.任务三:答案不唯一:没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.2（2019常德）如图是一种淋浴喷头，右图是的示意图，若用支架把喷头固定在 A点处，手柄长 AB=25cm，AB与墙壁 DD的夹角DAB=37，喷出的水流 BC与 AB行程的夹角ABC=72，现在住户要求：当人站在 E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的 C处，且使 DE=50cm，CE=130cm 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin720.95，cos720.31，tan723.08，sin350.57，cos350.82，tan350.70）解：过 B点作 MN DE，分别交直线 AD和直线 EC于点 M、N，由题意可知 AD CE，ADE=90 四边形 DMNE 为矩形，AMB=BNC=9 0，MN=DE，MD=NE 在 RtABM 中，DAB=37，sin MAB=MBAB，MB=ABsin37=250.6=15，cos MAB=AMAB，AM=ABcos37=250.8=20，MN=DE=50，NB=5015=35，ABM=9037=53，ABC=72，NBC=1805372=55，BCN=9055=35 在 RtBNC中，tan BCN=BNCN，CN=350.75=50，EN=CN+CE=50+130=180=MD，AD=MDAM=18020=160（cm）答：安装师傅应将支架固定在离地面 160cm高的位置 考向 2 设计方案搭配问题 1.（2019遵义）某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动，旅游公司有 A，B 两种客车可供租用，A型客车每辆载客量 45 人，B型客车每辆载客量 30 人，若租用 4 辆 A型客车和 3 辆 B型客车共需费用 10700 元；若租用 3 辆 A型客车和 4 辆 B型客车共需费用 10300 元（1）求租用 A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；（2）为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有几种租车方案？哪种方案最省钱？解（1）设租用 A型客车的费用是 x 元，B型客车的费用是 y 元，根据题意得 4x+3y=10700;3x+4y=10300，解得，x=1700，y=1300;答：租用 A型客车的费用 1700 元，B型客车的费用是 1300 元.（2）设租用 A型客车 a 辆，B型客车 b 辆，根据题意得 45a+30b240；1700a+1300b10000；17b13-1003b2-16 a，a，b 均为正整数，a=2，b=5;a=4，b=2 两种方案，当 a=2，b=5 时，费用为99005130021700（元），当 a=4，b=2 时，费用为94002130041700（元），答：租用 A型客车 4 辆，B型客车 2 辆时费用最低，最低费用为 9400 元.2（2019 山东滨州，22，12 分）有甲、乙两种客车，2 辆甲种客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 180 人，1辆甲种客车与 2 辆乙种客车的总载客量为 105 人（1）请问 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织 240 名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共 6 辆，一次将全部师生送到指定地点 若每辆甲种客车的租金为 400 元，每辆乙种客车的租金为 280 元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用 解：（1）设辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 a 人，b 人，23=1802=105abab，+，解得=45=30.ab，答：1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 45 人和 30 人 （2）设租用甲种客车 x 辆，租车费用为 y 元，根据题意，得 y=400 x+280（6x）=120 x+1680 由 45x+30（6x）240，得 x4 1200，y 随 x 的增大而增大，当 x 为最小值 4 时，y 值最小 即租用甲种客车 4 辆，乙种客车 2 辆，费用最低，此时，最低费用 y=1204+1680=2160（元）3（2019 浙江省温州市）某旅行团 32 人在景区 A游玩，他们由成人、少年和儿童组成已知儿童 10 人，成人比少年多 12 人（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人?（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各 1 名）带领 10 名儿童去另一景区 B游玩景区 B的门票价格为 100 元/张，成人全票，少年 8 折，儿童 6 折，一名成人可以免费携带一名儿童若由成人 8 人和少年 5 人带队，则所需门票的总费用是多少元?若剩余经费只有 1200 元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少【解题过程】（1）该旅行团中成人有 x 人，少年有 y 人，根据题意，得：103212xyxy ，解得175xy.答：该旅行团中成人有 17 人，少年有 5 人；（2）成人 8 人可免费带 8 名儿童，所需门票的总费用为：1008+1000.85+1000.6(10-8)=1320(元).设可以安排成人 a 人、少年 b 人带队，则 1a17，1b5.设 10a17 时，(i)当 a=10 时，10010+80b1200，b52，b最大值=2，此时 a+b=12，费用为 1160 元；(ii)当 a=11 时，10011+80b1200，b54，b最大值=1，此时 a+b=12，费用为 1180 元；(iii)当 a12 时，100a1200，即成人门票至少需要 1200 元，不符合题意，舍去.设 1a10 时，(i)当 a=9 时，1009+80b+601200，b3，b最大值=3，此时 a+b=12，费用为 1200 元；(ii)当 a=8 时，1008+80b+6021200，b72，b最大值=3，此时 a+b=11 12，不符合题意，舍去；(iii)同理，当 a8 时，a+b12，不符合题意，舍去.综上所述，最多可以安排成人和少年共 12 人带队，有三个方案：成人 10 人、少年 2 人；成人 11 人、少年 1 人；成人 9 人、少年 3 人.其中当成人 10 人、少年 2 人时购票费用最少.考向 3 设计产品销售方案问题 1.（2019赤峰）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品这种文具袋标价每个 10 元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共 50 支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过 400 元其中钢笔标价每支 8 元，签字笔标价每支 6 元，经过沟通，这次老板给予 8 折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？解：（1）设小明原计划购买文具袋 x 个，则实际购买了（x+1）个，依题意得：10（x+1）0.85=10 x17解得 x=17答：小明原计划购买文具袋 17 个（2）设小明可购买钢笔 y 支，则购买签字笔（50 x）支，依题意得：8y+6（50y）80%400-1710+17解得 y4.375 即 y最大值=4答：明最多可购买钢笔 4 支 2.（2019孝感）为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B 两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套 B型一体机的价格比每套 A型一体机的价格多 0.6 万元，且用 960 万元恰好能购买 500 套 A型一体机和 200 套 B型一体机.(1)求今年每套 A型、B型一体机的价格各是多少万元？(2)该市明年计划采购 A型、B型一体机 1100 套，考虑物价因素，预计明年每套 A型一体机的价格比今年上涨 25%，每套 B型一体机的价格不变，若购买 B型一体机的总费用不低于购买 A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？解：（1）设今年每套 A型一体机的价格为 x 万元，每套 B型一体机的价格为 y 万元 由题意得：y-x=0.6500 x+200y=960解得x=1.2y=1.8 故今年每套 A型一体机的价格为 1.2 万元，每套 B型一体机的价格为 1.8 万元.（2）设该市明年购买 A型一体机 m套，则购买 B型一体机（1100-m）套，由题意得：1.8（1100-m）1.2（1+25%）m，解得 m600 设明年需投入 W万元，W=1.2（1+25%）m+1.8（1100-m）=-0.3m+1980-0.30，W随 m的增大而减小 m600，当m=600时，W有最小值为-0.3600+1980=1800.故该市明年至少需投入 1800 万元才能完成采购计划.考向 4 设计图案问题 1.（2019河北）如图 3，在小正三角形组成的网格中，已有 6 个小正三角形涂黑，还需涂照 n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则 n 的最小值为（）A10 B6 C3 D2 【答案】C【解析】如图所示，n 的最小值为 3.2.(2019宁波)图 1，图 2 都是有边长为 1 的小等边三角形构成的网格，每个网格图中由 5 个小等边三角形已图上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个图上阴影:(1)使得 6 个阴影小等边三角形中组成一个轴对称图形;(2)使得 6 个阴影小等边三角形中组成一个中心对称图形.(请将两个小题一次作答在图 1，图 2 中，均只需画出符合条件的一种情形)解：(1)画出下列其中一种即可 (2)画出下列其中一种即可.