相似三角形的综合应用.pdf

。-可编辑修改-相似三角形的应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）【知识回顾】一、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等（2）相似三角形的周长比等于相似比（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比二、相似三角形的应用:1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；2、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度如求河的宽度、求建筑物的高度等【典型例题】例 1：如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB、AC 上，（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2 倍，则边长是多少？。-可编辑修改-【同步练习】如图，ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上试求正方形的边长是多少？例 2：阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4 名同学选择了测量学校里的四棵树的高度在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1 米的竹竿的影长为0.8 米，甲树的影长为4.08 米（如图 1）小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为 1.2 米，落在地面上的影长为2.4 米小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2 米，一级台阶高为0.3 米，落在地面上的影长为4.4 米小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4 米，落在坡面上影长为3.2 米（如图 4）身高是 1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ABCQMDNPE。-可编辑修改-（1）在横线上直接填写甲树的高度为米（2）求出乙树的高度（画出示意图）（3）请选择丙树的高度为（）A、6.5 米B、5.75 米C、6.05 米D、7.25 米（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部 B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长 DF 3m，沿 BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG 4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB 的高度图 1图 2图 3图 4。-可编辑修改-。-可编辑修改-例 3：如图，已知AD 是ABC 的中线，M 是边 AC 上的一动点，=CMnAM，BM 交 AD 于N 点。如图 ，若1n，则=ANND。如图，若2n，则=ANND。如图，若3n，则=ANND。猜想，ANND与n存在怎样的关系？并证明你的结论。当n时，恰有ANCMNDAM【同步练习】如图，DE 是ABC 的中位线，M 是 DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点 N，则SDMNS四边形 ANME=例 4：如图，在ABC中，9010ABCABC，的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DEBC，交AC于点E设DEx，以DE为折线将ADE翻折（使ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的A DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（1）用x表示ADE的面积；（2）求出05x时y与x的函数关系式；（3）求出510 x时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？。-可编辑修改-【同步练习】如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F.（1）求证：APEADQ；（2）设AP的长为x，试求 PEF的面积 SPEF关于 x 的函数关系式，并求当P在何处时，SPEF取得最大值?最大值为多少?例 5：等腰 ABC，AB=AC=8，BAC=120，P 为 BC 的中点，小慧拿着含30 角的透明三角板，使 30 角的顶点落在点P，三角板绕P 点旋转（1）如图 a，当三角板的两边分别交AB、AC 于点 E、F 时求证：BPE CFP；BCAEADBCA。-可编辑修改-（2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点 E、F探究 1：BPE 与CFP 还相似吗？（只需写出结论）探究 2：连结 EF，BPE 与 PFE 是否相似？请说明理由；设 EF=m，EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S