八年级数学上册 第14章 整式的乘法与因式分解 预习作业.pdf

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘法【预习速填】1.同底数幂的乘法法则.用公式表示是:am an=(m,n都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变,指数相加理解同底数幂的乘法法则要注意以下几点:同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用,其中法则中的 a 可以是单项式,也可以是多项式,如果底数是多项式时,要把底数当作一个整体看待;单个字母或数字可以看成指数为 的幂,进行同底数幂的运算时,不能忽略了指数为 1 的幂:对于底数为负数时幂的符号由指数的奇偶性确定:当指数为奇数时,符号为 :当指数为偶数时,符号为 .拓展:同底数幂的乘法法则对于 3 个或 3 个以上同底数幂相乘同样适用,即 amanap=am+p(m,n,p 都是正整数);同底数幂的乘法法则的逆用 am+n=(m,n都是正整数).2.幂的乘方法则.用公式表示是:(am)n=(m,n都是正整数),即幂的乘方,底数不变,指数相乘运用此法则时要理解以下几点:底数 a 可以是单项式,也可以是习多项式,在计算过程中,要注意底数的符号;不能把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆,其相同点都是底数不变,不同点是同底数幂的乘法是指数 ,而幂的乘方材是指数 .拓展:幂的乘方法则可以推广,即(am)np=(m,n,p都是正整数);幂的乘方法则可以逆用,即 amn=(am)n=(m,n都是正整数).3.积的乘方法则.用公式表示是(ab)n=(n为正整数),即积的 ,等于把的每一个因式分别 ,再把所得的幂相乘,理解时注意以下几点:幂的底数是乘积的形式,其中“a”和“b”可以代表一个单项式,也可以代表一个多项式;运用积的乘方法则时,应先看积中有哪些因式,再把每一个因式分别乘方,不能漏掉任何一个因式;字母的系数应连同它的符号一起乘方,系数是负数时,要注意符号.拓展:当积中的因式为三个或三个以上时,积的乘方法则仍然适用,即(abc)n=(n为正整数);积的乘方法则还可以逆用,即 anbn=(n为正整数).4.单项式与单项式相乘.两个单项式相乘的实质是按照乘法的运算律,将其转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法进行运算,具体步骤可分为:系数相乘:同底数幂相乘;只在一 个单项式里出现的字母,连同它的指数一起作为 .注意在计算中不要漏乘和出现符号错误.5.单项式与多项式相乘.单项式与多项式相乘的实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式的问题,其结果是一个 ,其项数与因式中多项式的项数 .在计算过程中,要注意符号问题,同时切记不要漏乘项,特别是常数项.6.多项式与多项式相乘.用两种方法表示出扩大后的绿地面积,分别为(a+b)(p+q)和(ap+aq+bp+bq),由此得出等式 ,从中抽象出多项式与多项式相乘的实质是将多项式乘多项式转化为单项式与多项式相乘的问题,最后转化为几个单项式乘积的 的形式,多项式与多项式相乘的结果仍为 ,在进行多项式乘多项式的运算时,要注意符号问题,不漏项,且展开式中有同类项的要合并同类项,在合并同类项之前,积的项数应等于两个多项式的项数之 .7.同底数幂的除法.由于同底数幂的乘法运算与除法运算互为逆运算,故同底数幂相除,底数不变,指数 .用公式表示是 aman=(a0,m,n 都是正整数,并且 mn),理解时注意以下几点:底数a可以是一个数,也可以是单项式或多项式;公式成立的条件是a0,当a=0时,an=0,除数为 0 无意义.拓展:同底数幂的除法法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相除,即 amanaq=am-n-q(a 0,m,n,p,q 都是正整数,并且 mn+p+q).同底数幂的除法法则可以逆用,即 am-n=(a0,m,n 都是正整数,并且 mn).8.零指数幂.零指数幂是同底数幂除法中的特殊情况,当同底数幂相除中被除式的指数等于除式的指数时,所得的商为 1,所以规定 a0=(a0),即任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于1.这里的 a 特别强调不能为 0,否则 a 没有意义.9.单项式除以单项式.理解单项式相除的运算法则包括三方面:系数相除,将被除式的系数除以除式的系数的商作为商的系数;同底数幂相除,用被除式里这个字母指数 除式里这个字母的指数,所得的差作为商中这个字母的指数;只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个 .10.多项式除以单项式.多项式除以单项式的实质是将其转化为单项式除以单项式的问题来解决.理解时注意以下几点:多项式除以单项式所得的商的项数与该多项式的项数,谨防漏除现象;当被除式中有一项与除式相同时,这项相除以后所得的商为 而不是 0;在计算时,多项式的每一项都应包括它前面的符号.【自我检测】1.一种计算机每秒可做 4108次运算,它工作 3103s 可做运算的次数为()D.121024 B.1.21012 C.121012 A.12108 2.下列式子的计算结果为 x2-5x-6 的是()A.(x-2)(x-3)B.(x-6)(x+1)C.(x-2)(x+3)D.(x+2)(x-3)3.若(4a-3)0=1,则()A.a=4 B.a4 C.a=0 D.a0 4.下列运算中:(-x2)3=-x5;(3x)y-(3y)x=0;-x4x2=x6;(a3)52=a10;(-32)4=(25)4,正确的有 .(填序号)5.若(ambn)3=a9b12,则 m=,n=.6.一个三角形的底边长是(5m-4n),底边上的高是(2m+3n),则这个三角形的面积是 .7.计算(1)103104=;(2)a*a3=;(3)x2m*x3m+4=.8.(1)已知 am=3,an=8,求 am+n的值.(2)若 3n+3=a,请用含 a 的式子表示 3n的值.(3)已知 2a=3,2b=6,2c=18,试问 a、b、c 之间有怎样的关系?请说明理由.9.一个棱长为 10 的正方体,在某种条件下,其体积以每秒扩大为上一秒的 102倍的速 度膨胀,求 10 秒后该正方体的体积.10.若 am=4,bm=112上,求(ab)3m的值 11.先化简,再求值,2a3b22ab3-(-23 a2b2)(3a-92 a2b3),其中 a=13,b=-3.12.有一道题:计算(2x+3)(3x+2)-6x(x+3)+5x+16的值,其中 x=-660 小明把 x=-666 错抄成x=666,但他的结果也正确,这是为什么?13.(1)已知 3m=5,3n=4,求 32m-n的值.(2)已知 642x82x4=16,求 x 的值.14.已知一个长方体的体积为 3a3b5 cm3,它的长为 ab cm,宽为32ab2 cm求这个长方体的高.15.已知一个多项式与单项式-7x5y4的积为 21x5y7-28x6y5+7y(2x3y2)3,求这个多项式.参考答案【预习速填】1.【答案】am+n ，1，负，正，aman 2.【答案】amn ，相加，相乘，amnp，(an)m 3.【答案】anbn ，乘方，anbncn，(ab)n 4.【答案】积的因式 5.【答案】多项式 ，相同 6.【答案】(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq，和，多项式，积 7.【答案】相减，am-n，aman 8.【答案】1 9.【答案】减去,因式 10.【答案】相同,1 【自我检测】1.【解析】由题可知，1238102.1103104。【答案】B 2.【解析】分别将选项中的括号乘开，可知 B正确。【答案】B 3.【解析】任何非零数的 0 次幂为 1.【答案】B 4.【解析】由整式乘法可知，只有正确。【答案】.5.【解析】由题可知，3m=9,3n=12，因此 m=3，n=4 【答案】3，4 6.【解析】直接利用三角形的面积公式进行化简即可。【答案】5m2+72mn6n2 7.【解析】(1)107;(2)a4(3)x5m+4 8.【解析】(1)am+n=38=24(2)3n+3=3n33=273n=a,3n=a27(3)a+b=c.理由如下:2a=3,2b=6,2c=18,2c=2a2b=2a+b,a+b=c 9.【解析】解:V=(103)2(102)10=1029 10 秒后该正方体的体积是 1029.10.【解析】am=4,bm=112,(ab)3m=am bm=4112=13.(ab)3m=(13)3=127 11.【解析】原式=4a4b5+2a3b2-3a4b5=a4b5+2a3b2，a=13,b=-3 代入原式=-3+23=73 12.【解析】原式=6x2+13x+6-6x2-18x+5x+16=22 原式的值为常数 22,与 x 的取值无关,所以小明的结果也正确.13.【解析】(1)3m=5,3n=4,32m-n=(3m)23n=524=254(2)642x82x4=16,(26)2x(23)2x22=24,212x26x22=26x-2=24 6x-2=4,x=1 14.【解析】利用长方体的体积公式计算即可。【答案】高为:3a3b5ab32ab2=3a2b432ab2=2ab2(cm)15.【解析】21x5y7-28x6y5+7y(2x3y2)3(-7x5y4)=(21x5y7-28x6y5+56x9y7)(-7x5y4)=-3y3+4xy-8x4y3 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式【预习速填】1.平方差公式.平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中 p=a,q=-b 的特殊情形.用文字叙述是两个数的和与这两个数的差的 ,等于这两个数的平方差;用式表示是(a+b)(a-b)=.理解这个公式要注意以下几点:公式左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;公式右边是相同项的平方减去相反项的平方;公式中的 a和 b 可以是一个数,也以是单项式或多项式;有些算式表面上不能运用公式,但通过加法的交换律或乘法的交换律、结合律适当变形就能运用公式了.拓展:平方差公式的几何证明如图所示,分别用两种方法表示阴影图形的面积,即 S=,或 S=,由此可得 =,由此可证明平方差公式.2.完全平方公式.完全平方公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中 p=a,q=b 的特殊情形,用文字叙述是两个数的和(或差)的平方,等于它们的 ,加上(减去)它们的积的 2 倍;用公式表示是(a+b)2=,(a-b)2=.理解这个公式要注意以下几点:公式中的 a、b 可以是数,可以是整式;在运用公式时,要保持前后符号的一致性;完全平方公式常和平方差公式综合使用,使用时要分清两个公式各自的特征,以免混淆.拓展:完全平方公式的几何证明.如图 1 所示,大正方形的面积用两种方法表示为 S1=(a+b)2或 a2+2ab+b2由此可得 =;如图 2 所示,阴影图形的面积可用两种方法表示为S2=(a-b)2或 S2=a2-2ab+b2,由此可得 =，即完全平方公式得证.3.添括号法则.添括号添加括号时，如果括号前面是正号,括到括号里的各项都 ,如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 符号.运用添括号法则时,首先要清楚要括到括号里的是哪些项,同时可以运用去括号法则进行验证.【自我检测】1.下列各式计算正确的是()A.(2m-n)2=4m2-n2 B.(5x-2y)2=25x2-10 xy+4y2 C.(-a-1)2=-a2-2a-1 D.(-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b 2.用平方差公式计算:(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3)(-x+2y)(-x-2y)；(4)6258 3.街心花园有一块边长为 am的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要加长 2m，而东西方向要缩短 2m问改造后的长方形草坪的面积是多少?4.利用完全平方公式进行计算 (1)1022(2)1992(3)(10110)2 参考答案【预习速填】1.【答案】积,a2-b2,a2-b2,(a+b)(a-b),a2-b2,(a+b)(a-b)2.【答案】平方和,a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,(a+b)2,a2+2ab+b2(a-b)2,a2-2ab+b2 3.【答案】不变 ，改变 【自我检测】1.【解析】A选项222442nmnmnm，错误；B选项222420252y-x5yxyx，错误；C选项121a-22aa，错误；D选项正确。【答案】D 2.【解析】（1）4923232x3222xxx（2）22224222bbababaa（3）22224222x-yxyxyxy（4）3596436002-60260260586222【答案】(1)(1)9x2-4 (2)4a2-b2(3)x2-4y2(4)3596 3.【解析】由题可知，改造后长方形草坪的长为 a+2，宽为 a-2.【答案】S=(a+2)(a-2)=(a2-4)m2 改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)m2 4.【解析】(1)原式=(100+2)2=1002+21002+22=10404(2)原式=(200-1)=2002-22001+1=39601(3)原式=(10+110)2=102+210110+（110)2=1021100 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解【预习速填】1.因式分解的概念.因式分解与整式乘法是两种互逆的变形.因式分解就是把一个多项式化成几个整式的 的形式.进行因式分解时,要注意必须是恒等变形且必须分解到每个多项式的因式不能分解为止.2.公因式.公因式顾名思义是指多项式中各项都含有的公共的因式,确定一个多式的公因式的步骤可概括为:定系数,即确定各项系数的最大公约数;定字母,即确定各项的相同字母;定指数,即确定各项相同字母的 指数.3.提公因式法分解因式.用提公因式法分解因式的一般步骤是:确定公因式;提公因式并确定另一个因式;写成整式的乘积的形式.注意:如果多项式中首项数为负时,一般先提出“一”,使括号内的首项系数为正,在提出“一”时,多项式各项都要 .4.用平方差公式分解因式.用文字叙述是两个数的平方差,等于这两个数的 与两个数的 的积.用公式表示是:a2-b2=,运用平方差公分解因式时,首先明确公式中的 a、b 可以是单项式,也可以是多项式,但并不是所的多项式都能利用平方差公式分解因式,其次理解运用 平方差公式分解因式的条件是:所给多项式是两项的形式;两项符号相反;这两项(不含符号)分别可以为一个数或整式的平方的形式.5.完全平方式.我们把形如 和 这样的式子叫做全平方式.完全平方式的结构有如下特征:完全平方式是二次三项式;首末项是两个数(或式子)的平方且符号相同,中间项是这两个数(或式子)的积的 2 倍,符号正负均可.判断一个多项式是否是完全平方式,就可依据以上特征进行.6.用完全平方公式分解因式.用文字叙述是两个数的平方和加上(或减去)这两个的积的 倍,等于这两个数的和(或差)的平方用公式表示 a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.这样我们就可以利用它们对多项式进行因式解,同时由此我们可以看出只有形如完全平方式的多项式才能利用完全平方式分解因式.7.公式法.公式法是指把乘法公式的等号两边 ,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式的方法,如学过的用平方差公式分解因式和本课时的利用完全平方公式分解因式都属于公式法.【自我检测】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是()A.x2-6x-9 B.a2-16a+32 C.x2-2xy+4y2 D.4a2-4a+1 2.把 x4-2x2y2+y4分解因式,结果是()A.(x-y)4 B.(x2-y2)4 C.(x+y)2(x-y)2 D.(x-y)2 3.多项式 4a4b3-6a3b2-2a2b 的公因式是 .4.下列多项式可以用平方差公式分解因式的有 .(填序号)a2+4b2;4a2-b2;a2-(-b)2;-4+a2;-4-a2x2-14x2n+2-x2n.5.若 9x2-6xy+ky2是完全平方式,则 k 的值是 .6.把下列各式分解因式(1)8m2n+2mn;(2)12xyz-9xy2;(3)2a(y-z)-3b(z-y);(4)a(a+1)+2(a+1).7.分解因式(1)x2-9y2(2)2x4-18(3)169a2+814b2(4)4(a-b)2-9c2 8.简算(1)2142-862;(2)2.992-3.992 参考答案【预习速填】1.【答案】积 2.【答案】最低 3.【答案】变号 4.【答案】和，差，(a+b)(a-b)5.【答案】a2+2ab+b2，a2-2ab+b2 6.【答案】2 7.【答案】互换位置 【自我检测】1.【解析】运用十字交叉法进行判断，可知只有 D选项可以使用完全平方公式分解因式。【答案】D 2.【解析】由题可知，分解因式后是完全平方公式，即 222222xyxyxyxyxy【答案】C 3.【解析】由公因式的定义可求得。【答案】2a2b 4.【解析】由题可知，不能使用平方差公式。【答案】5.【解析】由题可知，2ab=-6xy，a=3x，因此 b=-y，k=1【答案】1 6.【解析】(1)2mn(4m+1)(2)3xy(4z-3y)(3)(2a+3b)(y-z)(4)(a+2)(a+1)7.【解析】(1)(x-3y)(x+3y)(2)2(x2+14)(x+12)(x-12)(3)(43a+92b)(43a+92b)(4)(2a-2b+3c)(2a-2b-3c)8.【解析】(1)原式=(214+86)(214-86)=38400(2)原式=(2.99+3.99)(2.99-3.99)=-6.98