2023年【全国Ⅰ卷】2019年高等学校招生全国统一考试理数试题.pdf

绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合24 2 6 0 M x x N x x x，则M N=A 4 3 x x B4 2 x x C 2 2 x x D 2 3 x x 2设复数 z 满足=1 i z，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A2 2+1 1()x y B 2 21(1)x y C 2 2(1)1 y x D 2 2(+1)1 y x 3已知0.2 0.32 log 0.2 2 0.2 a b c，则 Aa b c Ba c b Cc a b Db c a 4 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 12（5 12 0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 12若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A 165 cm B 175 cm C 185 cm D 190 cm 5函数 f(x)=2sincosx xx x在,的图像大致为 A B C D 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 A516 B1132 C2132 D1116 7已知非零向量 a，b 满足|2|a b，且()a bb，则 a 与 b 的夹角为 A6 B3 C23 D56 8如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入 A A=12 A B A=12A C A=11 2A D A=112A 9记nS 为等差数列 na的前 n 项和已知4 50 5 S a，则 干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 满足在复平面内对应的点为则已知则古希腊时人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为 满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为我国古代典籍周易 A 2 5na n B 3 10na n C 22 8nS n n D 2122nS n n 10已知椭圆 C 的焦点为1 21,0 1,0 F F()，()，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若2 2|2|AF F B，1|AB BF，则 C 的方程为 A2212xy B2 213 2x y C2 214 3x y D2 215 4x y 11关于函数()sin|sin|f x x x 有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间（2，）单调递增 f(x)在,有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 12已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A 68 B 64 C 62 D 6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线23()exy x x 在点(0)0，处的切线方程为 _ 14记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和若21 4 613a a a，则 S5=_ 15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4 1 获胜的概率是 _ 16已知双曲线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若1F A AB，1 20 F B F B，则 C 的离心率为 _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17(12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设2 2(sin sin)sin sin sin B C A B C 干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 满足在复平面内对应的点为则已知则古希腊时人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为 满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为我国古代典籍周易（1）求 A；（2）若2 2 a b c，求 sinC 18（12 分）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A MA1 N 的正弦值 19（12 分）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；（2）若3 AP PB，求|AB|20（12 分）已知函数()sin ln(1)f x x x，()f x为()f x的导数证明：（1）()f x 在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）()f x有且仅有 2 个零点 21（12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X 干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 满足在复平面内对应的点为则已知则古希腊时人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为 满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为我国古代典籍周易（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8)ip i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00 p，81 p，1 1 i i i ip ap bp cp(1,2,7)i，其中(1)a P X，(0)b P X，(1)c P X 假设0.5，0.8(i)证明：1 i ip p(0,1,2,7)i 为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt，（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2 cos 3 sin 11 0（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 23 选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）2 2 21 1 1a b ca b c；（2）3 3 3()()()24 a b b c c a 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 参考答案 一、选择题 1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 A 7 B 8 A 9 A 10 B 11 C 12 D 二、填空题 干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 满足在复平面内对应的点为则已知则古希腊时人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为 满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为我国古代典籍周易 13 y=3x 141213 15 0.18 16 2 三、解答题 17解：（1）由已知得2 2 2sin sin sin sin sin B C A B C，故由正弦定理得2 2 2b c a bc 由余弦定理得2 2 21cos2 2b c aAbc 因为0 180 A，所以60 A（2）由（1）知120 B C，由题设及正弦定理得 2 sin sin 120 2sin A C C，即6 3 1cos sin 2sin2 2 2C C C，可得 2cos 602C 由于0 120 C，所以 2sin 602C，故 sin sin 60 60 C C sin 60 cos60 cos 60 sin 60 C C 6 24 18解：（1）连结 B1C，ME 因为 M，E分别为 BB1，BC的中点，所以 ME B1C，且 ME=12B1C 又因为 N为 A1D的中点，所以 ND=12A1D 由题设知 A1B1DC，可得 B1CA1D，故 MEND，因此四边形 MNDE 为平行四边形，MN ED 又 MN平面 EDC1，所以 MN平面 C1DE（2）由已知可得 DE DA 以 D为坐标原点，DA的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz，则 干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 满足在复平面内对应的点为则已知则古希腊时人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为 满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为我国古代典籍周易(2,0,0)A，A1(2，0，4)，(1,3,2)M，(1,0,2)N，1(0,0,4)A A，1(1,3,2)A M，1(1,0,2)A N，(0,3,0)MN 设(,)x y z m为平面 A1MA的法向量，则1100A MA A mm，所以3 2 04 0 x y zz，可取(3,1,0)m 设(,)p q r n为平面 A1MN的法向量，则100MNA N，nn 所以3 02 0qp r，可取(2,0,1)n 于是2 3 15cos,|52 5 m nm nm n，所以二面角1A MA N 的正弦值为105 19解：设直线 1 1 2 23:,2l y x t A x y B x y（1）由题设得3,04F，故1 23|2AF BF x x，由题设可得1 252x x 干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 满足在复平面内对应的点为则已知则古希腊时人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为 满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为我国古代典籍周易 由 2323y x ty x，可得2 29 12(1)4 0 x t x t，则1 212(1)9tx x 从而12(1)59 2t，得78t 所以l的方程为3 72 8y x（2）由3 AP PB 可得1 23 y y 由2323y x ty x，可得22 2 0 y y t 所以1 22 y y 从而2 23 2 y y，故2 11,3 y y 代入C的方程得1 213,3x x 故4 13|3AB 20解：（1）设()()g x f x，则1()cos1g x xx，21sin()(1x xg x.当1,2x 时，()gx单调递减，而(0)0,()02g g，可得()g x在1,2 有唯一零点，设为.则当(1,)x 时，()0 g x；当,2x 时，()0 g x.所以()g x 在(1,)单调递增，在,2 单调递减，故()g x 在 1,2 存在唯一极大值点，即()f x 在 1,2 存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,).（i）当(1,0 x 时，由（1）知，()f x 在(1,0)单调递增，而(0)0 f，所以当(1,0)x 时，()0 f x，故()f x 在(1,0)单调递减，又(0)=0 f，从而 0 x 是()f x 在(1,0 的唯一干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 满足在复平面内对应的点为则已知则古希腊时人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为 满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为我国古代典籍周易 零点.（ii）当 0,2x 时，由（1）知，()f x 在(0,)单调递增，在,2 单调递减，而(0)=0 f，02f，所以存在,2，使得()0 f，且当(0,)x 时，()0 f x；当,2x 时，()0 f x.故()f x 在(0,)单调递增，在,2 单调递减.又(0)=0 f，1 ln 1 02 2f，所以当 0,2x 时，()0 f x.从而，()f x 在 0,2 没有零点.（iii）当,2x 时，()0 f x，所以()f x 在,2 单调递减.而 02f，()0 f，所以()f x 在,2 有唯一零点.（iv）当(,)x 时，ln(1)1 x，所以()f x 0，从而()f x 在(,)没有零点.综上，()f x 有且仅有 2个零点.21解：X 的所有可能取值为1,0,1.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P XP XP X，所以X的分布列为（2）（i）由（1）得0.4,0.5,0.1 a b c.因此1 1=0.4+0.5+0.1i i i ip p p p，故 1 10.1 0.4i i i ip p p p，即 1 14i i i ip p p p.干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 满足在复平面内对应的点为则已知则古希腊时人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为 满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为我国古代典籍周易 又因为 1 0 10 p p p，所以 1(0,1,2,7)i ip p i 为公比为 4，首项为1p的等比数列（ii）由（i）可得 88 8 7 7 6 1 0 0 8 7 7 6 1 0 13 4 1 p p p p p p p p p p p p p p p.由于8=1 p，故1834 1p，所以 44 4 3 3 2 2 1 1 0 14 1 1.3 25 7 p p p p p p p p p p 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.22解：（1）因为2211 11tt，且 222 222 221 412 11y t txtt，所以 C的直角坐标方程为221(1)4yx x.l的直角坐标方程为2 3 11 0 x y.（2）由（1）可设 C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，）.C上的点到l的距离为4cos 11|2cos 2 3sin 11|37 7.当23 时，4cos 113 取得最小值 7，故 C上的点到l距离的最小值为7.23解：（1）因为2 2 2 2 2 22,2,2 a b ab b c bc c a ac，又1 abc，故有 2 2 21 1 1 ab bc caa b c ab bc caabc a b c.所以2 2 21 1 1a b ca b c.（2）因为,a b c为正数且1 abc，故有 3 3 3 3 3 33()()()3()()()a b b c c a a b b c a c 干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 满足在复平面内对应的点为则已知则古希腊时人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为 满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为我国古代典籍周易=3(+)(+)(+)a b b c a c 3(2)(2)(2)ab bc ac=24.所以3 3 3()()()24 a b b c c a.干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 满足在复平面内对应的点为则已知则古希腊时人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为 满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为我国古代典籍周易