2023年【全国ⅱ卷】2019年普通高等学校全国统一考试理数试题.pdf

绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=x|x2-5 x+60，B=x|x-10，则 A B=A(-，1)B(-2，1)C(-3，-1)D(3，+)2设 z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则 AB BC=A-3 B-2 C 2 D 3 4 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M，月球质量为 M，地月距离为 R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：1 2 12 2 3()()M M MR rR r r R.设 rR，由于的值很小，因此在近似计算中3 4 5323 33(1)，则 r 的近似值为 A21MRM B212MRM C2313MRM D2313MRM 5演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A中位数 B平均数 C方差 D极差 6若 ab，则 A ln(a b)0 B 3a0 D a b 7设，为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面 8若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆2 231x yp p 的一个焦点，则 p=A 2 B 3 C 4 D 8 9下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是 A f(x)=cos 2x B f(x)=sin 2x C f(x)=cos x D f(x)=sin x 10已知(0，2)，2sin 2=cos 2+1，则 sin=A15 B55 C33 D255 填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 象限已知则年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆我国航天事业取得又一重大成就实现月球 11设 F 为双曲线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆2 2 2x y a 交于 P，Q 两点.若PQ OF，则 C 的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 5 12设函数()f x的定义域为 R，满足(1)2()f x f x，且当(0,1 x 时，()(1)f x x x.若对任意(,x m，都有8()9f x，则 m 的取值范围是 A9,4 B7,3 C5,2 D8,3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 _.14已知()f x是奇函数，且当0 x 时，()eaxf x.若(ln 2)8 f，则a _.15ABC 的内角,A B C的对边分别为,a b c.若6,2,3b a c B，则ABC 的面积为 _.16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有 _个面，其棱长为_.（本题第一空 2 分，第二空 3 分.）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 象限已知则年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆我国航天事业取得又一重大成就实现月球 17（12 分）如图，长方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BE EC1.（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，求二面角 B EC C1的正弦值.18（12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束.（1）求 P（X=2）；（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.19（12 分）已知数列 an 和 bn 满足 a1=1，b1=0，14 3 4n n na a b，14 3 4n n nb b a.（1）证明：an+bn 是等比数列，an bn 是等差数列；（2）求 an 和 bn 的通项公式.20（12 分）已知函数 11lnxf x xx.（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（2）设 x0是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线exy 的切线.21（12 分）已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 12.记 M 的轨迹为曲线 C.（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 象限已知则年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆我国航天事业取得又一重大成就实现月球（2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PE x 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G.（i）证明：PQG 是直角三角形；（ii）求PQG 面积的最大值.（二）选考题：共 10 分 请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点0 0 0(,)(0)M 在曲线:4sin C 上，直线 l 过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为 P.（1）当0=3时，求0及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.23 选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知()|2|().f x x a x x x a（1）当1 a 时，求不等式()0 f x 的解集；（2）若(,1 x 时，()0 f x，求a的取值范围.2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 1 A 2 C 3 C 4 D 5 A 6 C 7 B 8 D 9 A 10 B 11 A 12 B 13 0.98 14 3 15 6 3 16 26；2 1 17解：（1）由已知得，1 1B C 平面1 1ABB A，BE平面1 1ABB A，故1 1B C BE 又1BE EC，所以BE 平面1 1EB C（2）由（1）知190 BEB 由题设知1 1Rt Rt ABE A B E，所以45 AEB，故AE AB，12 AA AB 填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 象限已知则年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆我国航天事业取得又一重大成就实现月球 以 D为坐标原点，DA的方向为 x轴正方向，|DA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，则 C（0，1，0），B（1，1，0），1C（0，1，2），E（1，0，1），(1,1,1)CE，1(0,0,2)CC 设平面 EBC的法向量为 n=（x，y，x），则 0,0,CBCE nn即0,0,xx y z 所以可取 n=(0,1,1).设平面1ECC的法向量为 m=（x，y，z），则 10,0,CCCE mm即2 0,0.zx y z 所以可取 m=（1，1，0）于是1cos,|2 n mn mn m 所以，二面角1B EC C 的正弦值为32 18解：（1）X=2就是 10：10平后，两人又打了 2个球该局比赛结束，则这 2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此 P（X=2）=0.5 0.4+（1 0.5）（1 04）=05（2）X=4且甲获胜，就是 10：10平后，两人又打了 4个球该局比赛结束，且这 4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 1分，后两球均为甲得分 因此所求概率为 0.5（1 0.4）+（1 0.5）0.4 0.5 0.4=0.1 填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 象限已知则年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆我国航天事业取得又一重大成就实现月球 19解：（1）由题设得1 14()2()n n n na b a b，即1 11()2n n n na b a b 又因为 a1+b1=l，所以 n na b 是首项为 1，公比为12的等比数列 由题设得1 14()4()8n n n na b a b，即1 12n n n na b a b 又因为 a1 b1=l，所以 n na b 是首项为 1，公差为 2的等差数列（2）由（1）知，112n nna b，2 1n na b n 所以1 1 1()()2 2 2n n n n nna a b a b n，1 1 1()()2 2 2n n n n nnb a b a b n 20解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+）单调递增 因为 f（e）=e 11 0e 1，2 222 2e 1 e 3(e)2 0e 1 e 1f，所以 f（x）在（1，+）有唯一零点 x1，即 f（x1）=0 又110 1x，11 11 11 1()ln()01xf x f xx x，故 f（x）在（0，1）有唯一零点11x 综上，f（x）有且仅有两个零点（2）因为0ln01exx，故点 B（lnx0，01x）在曲线 y=ex上 由题设知0()0 f x，即0001ln1xxx，故直线 AB 的斜率000 0 000 0 0001 1 1ln1 11ln1xxx x xkxx x xxx 填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 象限已知则年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆我国航天事业取得又一重大成就实现月球 曲线 y=ex在点001(ln,)B xx处切线的斜率是01x，曲线ln y x 在点0 0(,ln)A x x处切线的斜率也是01x，所以曲线ln y x 在点0 0(,ln)A x x处的切线也是曲线 y=ex的切线 21解：（1）由题设得12 2 2y yx x，化简得2 21(|2)4 2x yx，所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为(0)y kx k 由2 214 2y kxx y 得221 2xk 记221 2uk，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u 于是直线QG的斜率为2k，方程为()2ky x u 由2 2(),214 2ky x ux y 得 2 2 2 2 2(2)2 8 0 k x uk x k u 设(,)G GG x y，则u 和Gx是方程的解，故22(3 2)2Gu kxk，由此得322Gukyk 从而直线PG的斜率为322212(3 2)2ukukku k kuk 所以PQ PG，即PQG 是直角三角形（ii）由（i）得2|2 1 PQ u k，222 1|2uk kPGk，填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 象限已知则年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆我国航天事业取得又一重大成就实现月球 所以 PQG 的面积22 2218()1 8(1)|12(1 2)(2)1 2()kk kkS PQ PGk kkk 设 t=k+1k，则由 k0 得 t 2，当且仅当 k=1 时取等号 因为281 2tSt在 2，+）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值为169 因此，PQG 面积的最大值为169 22解：（1）因为 0 0,M 在 C上，当03时，04sin 2 33.由已知得|cos 23OP OA.设(,)Q 为 l上除 P的任意一点.在Rt OPQ 中cos|23OP，经检验，点(2,)3P在曲线cos 23 上.所以，l的极坐标方程为cos 23.（2）设(,)P，在Rt OAP 中，|cos 4cos,OP OA 即 4cos.因为 P在线段 OM上，且AP OM，故的取值范围是,4 2.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,4 2.23解：（1）当 a=1 时，()=|1|+|2|(1)f x x x x x.当1 x 时，2()2(1)0 f x x；当1 x 时，()0 f x.所以，不等式()0 f x 的解集为(,1).（2）因为()=0 f a，所以1 a.当1 a，(,1)x 时，()=()+(2)()=2()(1)0 f x a x x x x a a x x 所以，a的取值范围是1,).填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 象限已知则年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆我国航天事业取得又一重大成就实现月球 填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 象限已知则年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆我国航天事业取得又一重大成就实现月球