2023年【全国Ⅲ卷】2019年高等学校招生全国统一考试理数试题.pdf

绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2 1,0,1,2 1 A B x x，则A B A 1,0,1 B 0,1 C 1,1 D 0,1,2 2若(1 i)2i z，则 z=A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i 3 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过 西游记 或 红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A 0.5 B 0.6 C 0.7 D 0.8 4（1+2x2）（1+x）4的展开式中 x3的系数为 A 12 B 16 C 20 D 24 5已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4 项为和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=A 16 B 8 C 4 D 2 6已知曲线e lnxy a x x 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则 Ae 1 a b，B a=e，b=1 C1e 1 a b，D1e a，1 b 7函数322 2x xxy在 6,6 的图象大致为 A B C D 8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前 A BM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 B BM EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C BM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线 D BM EN，且直线 BM，EN 是异面直线 9执行下边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出s的值等于 A.4122 B.5122 C.6122 D.7122 10双曲线 C：2 24 2x y=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF，则 PFO 的面积为 A3 24 B3 22 C 2 2 D 3 2 11设 f x是定义域为 R 的偶函数，且在 0,单调递减，则 Af（log314）f（322）f（23 2）Bf（log314）f（23 2）f（322）其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前 C f（322）f（23 2）f（log314）Df（23 2）f（322）f（log314）12设函数 f x=sin（5x）(0)，已知 f x在 0,2有且仅有 5 个零点，下述四个结论：f x在（0,2）有且仅有 3 个极大值点 f x在（0,2）有且仅有 2 个极小值点 f x在（0,10）单调递增 的取值范围是 12 295 10，)其中所有正确结论的编号是 A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 a，b 为单位向量，且 ab=0，若 2 5 c a b，则cos,a c_.14记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和，1 2 10 3 a a a，则105SS_.15 设1 2F F，为椭圆 C:2 2+136 20 x y的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若1 2MF F 为等腰三角形，则 M 的坐标为 _.16 学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1 1 1 1ABCD A B C D 挖去四棱锥 O EFGH 后所得几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB=BC=,AA=，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 _.其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A、B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18（12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知sin sin2A Ca b A 其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前（1）求 B；（2）若 ABC 为锐角三角形，且 c=1，求 ABC 面积的取值范围 19（12 分）图 1 是由矩形 ADEB、Rt ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 B-CG-A的大小.20（12 分）已知函数3 2()2 f x x ax b.（1）讨论()f x的单调性；（2）是否存在,a b，使得()f x在区间0,1的最小值为 1 且最大值为 1？若存在，求出,a b的所有值；若不存在，说明理由.21已知曲线 C：y=22x，D 为直线 y=12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.（1）证明：直线 AB 过定点：（2）若以 E(0，52)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积.其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD.（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线 M 由1M，2M，3M构成，若点 P 在 M 上，且|3 OP，求 P 的极坐标.23 选修 4-5：不等式选讲（10 分）设,x y z R，且1 x y z.（1）求2 2 2(1)(1)(1)x y z 的最小值；（2）若2 2 21(2)(1)()3x y z a 成立，证明：3 a 或1 a.2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题 1 A 2 D 3 C 4 A 5 C 6 D 7 B 8 B 9 C 10 A 11 C 12 D 二、填空题 其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前 13 23 14 4 15(3,15)16 118.8 三、解答题 17解：（1）由已知得 0.70=a+0.20+0.15，故 a=0.35 b=1 0.05 0.15 0.70=0.10（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2 0.15+3 0.20+4 0.30+5 0.20+6 0.10+7 0.05=4.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3 0.05+4 0.10+5 0.15+6 0.35+7 0.20+8 0.15=6.00 18解：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin2A CA B A 因为 sinA 0，所以sin sin2A CB 由180 A B C，可得sin cos2 2A C B，故cos 2sin cos2 2 2B B B 因为cos 02B，故1sin2 2B，因此 B=60（2）由题设及（1）知 ABC的面积34ABCS a 由正弦定理得 sin 120sin 3 1sin sin 2 tan 2Cc AaC C C 由于 ABC为锐角三角形，故 0 A90，0 C90，由（1）知 A+C=120，所以 30 C90，故122a，其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前 从而 3 38 2ABCS 因此，ABC面积的取值范围是3 3,8 2 19解：（1）由已知得 AD BE，CG BE，所以 AD CG，故 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，G，D四点共面 由已知得 ABBE，ABBC，故 AB平面 BCGE 又因为 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 BCGE（2）作 EHBC，垂足为 H因为 EH平面 BCGE，平面 BCGE平面 ABC，所以 EH平面 ABC 由已知，菱形 BCGE 的边长为 2，EBC=60，可求得 BH=1，EH=3 以 H为坐标原点，HC的方向为 x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 H xyz，则 A（1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG=（1，0，3），AC=（2，1，0）设平面 ACGD 的法向量为 n=（x，y，z），则 0,0,CGAC nn即3 0,2 0.x zx y 所以可取 n=（3，6，3）其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前 又平面 BCGE的法向量可取为 m=（0，1，0），所以3cos,|2 n mn mn m 因此二面角 B CG A的大小为 30 20.解：（1）2()6 2 2(3)f x x ax x x a 令()0 f x，得 x=0 或3ax.若 a0，则当(,0),3ax 时，()0 f x；当0,3ax 时，()0 f x 故()f x在(,0),3a 单调递增，在0,3a 单调递减；若 a=0，()f x在(,)单调递增；若 a0，则当,(0,)3ax 时，()0 f x；当,03ax 时，()0 f x 故()f x在,(0,)3a 单调递增，在,03a 单调递减.（2）满足题设条件的 a，b 存在.（i）当 a 0 时，由（1）知，()f x在 0，1单调递增，所以()f x在区间 0，l的最小值为(0)=f b，最大值为(1)2 f a b.此时 a，b 满足题设条件当且仅当1 b，2 1 a b，即 a=0，1 b（ii）当 a 3 时，由（1）知，()f x在 0，1单调递减，所以()f x在区间 0，1的最大值为(0)=f b，最小值为(1)2 f a b 此时 a，b 满足题设条件当且仅当2 1 a b，b=1，即 a=4，b=1（iii）当 0a3 时，由（1）知，()f x在 0，1的最小值为33 27a af b，最大值为 b 或2 a b 若3127ab，b=1，则3 3 2 a，与 0a3 矛盾.其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前 若 3127ab，2 1 a b，则3 3 a 或3 3 a 或 a=0，与 0a3 矛盾 综上，当且仅当 a=0，1 b 或 a=4，b=1 时，()f x在 0，1的最小值为 1，最大值为 1 21解：（1）设 1 11,2D t A x y，则21 12 x y.由于 y x，所以切线 DA的斜率为1x，故11112yxx t.整理得1 12 2+1=0.tx y 设 2 2,B x y，同理可得2 22 2+1=0 tx y.故直线 AB的方程为 2 2 1 0 tx y.所以直线 AB过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线 AB的方程为12y tx.由2122y txxy，可得22 1 0 x tx.于是 21 2 1 2 1 2 1 22,1,1 2 1 x x t x x y y t x x t，22 2 21 2 1 2 1 2|1 1 4 2 1 AB t x x t x x x x t.设1 2,d d 分别为点 D，E到直线 AB的距离，则21 2221,1d t dt.因此，四边形 ADBE的面积 2 21 21|3 12S AB d d t t.其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前 设 M为线段 AB的中点，则21,2M t t.由于 EM AB，而 2,2 EM t t，AB 与向量(1,)t 平行，所以 22 0 t t t.解得 t=0或 1 t.当 t=0时，S=3；当 1 t 时，4 2 S.因此，四边形 ADBE的面积为 3或 4 2.22.解：（1）由题设可得，弧,AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos.所以1M的极坐标方程为2cos 04，2M的极坐标方程为 32sin4 4，3M的极坐标方程为32cos 4.（2）设(,)P，由题设及（1）知 若04，则2cos 3，解得6；若 34 4，则2sin 3，解得3 或23；若34，则2cos 3，解得56.综上，P的极坐标为3,6 或3,3 或23,3 或53,6.23解：（1）由于2(1)(1)(1)x y z 2 2 2(1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y y z z x 其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前 2 2 23(1)(1)(1)x y z，故由已知得2 2 24(1)(1)(1)3x y z，当且仅当 x=53，y=13，13z 时等号成立 所以2 2 2(1)(1)(1)x y z 的最小值为43.（2）由于 2(2)(1)()x y z a 2 2 2(2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)x y z a x y y z a z a x 2 2 23(2)(1)()x y z a，故由已知22 2 2(2)(2)(1)()3ax y z a，当且仅当43ax，13ay，2 23az时等号成立 因此2 2 2(2)(1)()x y z a 的最小值为2(2)3a 由题设知2(2)13 3a，解得3 a 或1 a 其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题 浒传和红梦是中国古典文学瑰宝并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了 该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为的展开式中的系数为已知各项均为正数的等比数列的前