2023年【全国ⅰ卷】2019年普通高等学校全国统一考试理数试题.pdf

绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 24 2 6 0 M x x N x x x，则M N=A.4 3 x x B.4 2 x x C.2 2 x x D.2 3 x x【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法，利用数形结合的思想解题【详解】由题意得，4 2,2 3 M x x N x x，则 2 2 M N x x 故选 C【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分 2.设复数 z 满足=1 i z，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A.2 2+1 1()x y B.2 2(1)1 x y C.2 2(1)1 x y D.2 2(+1)1 y x 【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为 1，可选正确答案 C【详解】,(1),z x yi z i x y i 2 2(1)1,z i x y 则2 2(1)1 x y 故选 C【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法，利用方程思想解题 3.已知0.2 0.32log 0.2,2,0.2 a b c，则 A.a b c B.a c b C.c a b D.b c a【答案】B【解析】【分析】运用中间量 0 比较,a c，运用中间量 1比较,b c【详解】2 2log 0.2 log 1 0,a 0.2 02 2 1,b 0.3 00 0.2 0.2 1,则0 1,c a c b 故选 B【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 12（5 120.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 12若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190cm【答案】B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解【详解】设人体脖子下端至腿根的长为 x cm，肚脐至腿根的长为 y cm，则26 26 5 1105 2xx y，得42.07,5.15 x cm y cm 又其腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，所以其身高约为42 07+5 15+105+26=178 22，接近 175cm故选 B【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法，利用转化思想解题 5.函数 f(x)=2sincosx xx x在，的图像大致为 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x是奇函数，排除 A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案【详解】由2 2sin()()sin()()cos()()cosx x x xf x f xx x x x，得()f x是奇函数，其图象关于原点对称 又时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 2214 22()1,2()2f 2()01f 故选 D【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养 采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题 6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 A.516 B.1132 C.2132 D.1116【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有 3 个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算【详解】由题知，每一爻有 2 中情况，一重卦的 6 爻有62 情况，其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有36C，所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为3662C=516，故选 A【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题 7.已知非零向量 a，b 满足a=2b，且（a b）b，则 a 与 b 的夹角为 A.6 B.3 C.23 D.56【答案】B 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由()a b b 得出向量,a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为()a b b，所以2()a b b a b b=0，所以2a b b，所以cos=22|12|2a b ba b b，所以a与b的夹角为3，故选 B【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0,8.如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入 A.A=12 A B.A=12A C.A=11 2A D.A=112A【答案】A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利【详解】执行第 1 次，1,1 22A k 是，因为第一次应该计算1122=12 A，1 k k=2，循环，执行第 2 次，2 2 k，是，因为第二次应该计算112122=12 A，1 k k=3，循环，执行第 3 次，2 2 k，否，输出，故循环体为12AA，故选 A【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12AA 9.记nS为等差数列 na的前 n 项和已知4 50 5 S a，则 A.2 5na n B.3 10na n C.22 8nS n n D.2122nS n n【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前 n 项和公式 本题还可用排除，对 B，55 a，44(7 2)10 02S，排除 B，对 C，24 5 5 40,2 5 8 5 0 10 5 S a S S，排 除 C 对 D，24 5 5 410,4 2 4 0 0 52S a S S，排除 D，故选 A【详解】由题知，4 15 14 4 3 024 5dS aa a d，解得132ad，2 5na n，故选 A【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断 10.已知椭圆 C 的焦点为1 21,0 1,0 F F()，()，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点.若2 22 AF F B，1AB BF，则 C 的方程为 A.2212xy B.2 213 2x y C.2 214 3x y D.2 215 4x y【答案】B【解析】时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n，则2 12,3 AF n BF AB n，由椭圆的定义有1 2 1 22 4,2 2 a BF BF n AF a AF n 在1 2AF F 和1 2BF F 中，由 余 弦 定 理 得2 22 12 22 14 4 2 2 2 cos 4,4 2 2 cos 9n n AF F nn n BF F n，又2 1 2 1,AF F BF F 互补，2 1 2 1cos cos 0 AF F BF F，两 式 消 去2 1 2 1cos cos AF F BF F,，得2 23 6 11 n n，解 得32n 2 2 22 4 2 3,3,3 1 2,a n a b a c 所求椭圆方程为2 213 2x y，故选B【详 解】如 图，由 已 知 可 设2F B n，则2 12,3 AF n BF AB n，由 椭 圆 的 定 义 有1 2 1 22 4,2 2 a BF BF n AF a AF n 在1A F B 中，由 余 弦 定 理 推 论 得2 2 214 9 9 1cos2 2 3 3n n nF ABn n 在1 2AF F 中，由余弦定理得2 214 4 2 2 2 43n n n n，解得32n 2 2 22 4 2 3,3,3 1 2,a n a b a c 所求椭圆方程为2 213 2x y，故选 B【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 11.关于函数()sin|sin|f x x x 有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间（2,）单调递增 f(x)在,有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A.B.C.D.时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利【答案】C【解析】【分析】画出函数 sin sin f x x x 的图象，由图象可得正确，故选 C【详解】sin sin sin sin,f x x x x x f x f x 为偶函数，故正确当2x 时，2sin f x x，它在区间,2 单调递减，故错误 当0 x 时，2sin f x x，它有两个零点：0；当0 x 时，sin sin 2sin f x x x x，它有一个零点：，故 f x在,有3个零点：0，故错误当 2,2 x k k k N时，2sin f x x；当 2,2 2 x k k k N时，sin sin 0 f x x x，又 f x为偶函数，f x 的最大值为2，故正确综上所述，正确，故选 C【点睛】化简函数 sin sin f x x x，研究它的性质从而得出正确答案 12.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，PB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A.8 6 B.4 6 C.2 6 D.6【答案】D【解析】【分析】本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的适合空间想象能力略差学生 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 设 2 PA PB PC x，,E F分别为,PA AB中点，/EF PB，且12EF PB x，ABC 为边长为 2的等边三角形，3 CF 又90 CEF 213,2CE x AE PA x AEC 中余弦定理 2 24 3cos2 2x xEACx，作PD AC 于 D，PA PC，D Q为AC中点，1cos2ADEACPA x，2 24 3 14 2x xx x，2 21 22 1 22 2x x x，2 PA PB PC，又=2 AB BC AC，,PA PB PC 两两垂直，2 2 2 2 6 R，62R，34 4 6 663 3 8V R，故选 D.【详解】,PA PB PC ABC 为边长为 2 的等边三角形，P ABC 为正三棱锥，PB AC，又E，F 分别PA、AB中点，/EF PB，EF AC，又E F CE，,CE AC C EF 平面PAC，PB 平面PAC，2 PAB PA PB PC，P ABC 为正方体一部分，2 2 2 2 6 R，即 36 4 4 6 6,62 3 3 8R V R，故选 D 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利【点睛】本题考查学生空间想象能力，补型法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.曲线23()exy x x 在点(0,0)处的切线方程为 _【答案】3 0 x y.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/2 23(2 1)3()3(3 1),x x xy x e x x e x x e 所以，/0|3xk y 所以，曲线23()exy x x 在点(0,0)处的切线方程为3 y x，即3 0 x y【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求 14.记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和若21 4 613a a a，则 S5=_【答案】1213.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S题目的难时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】设等比数列的公比为q，由已知21 4 61,3a a a，所以3 2 51 1(),3 3q q 又0 q，所以3,q 所以55151(1 3)(1)12131 1 3 3a qSq【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误 15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4 1 获胜的概率是 _【答案】0.216.【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查【详解】前五场中有一场客场输时，甲队以 4:1 获胜的概率是30.6 0.5 0.5 2 0.108,前五场中有一场主场输时，甲队以 4:1 获胜的概率是2 20.4 0.6 0.5 3 0.108,综上所述，甲队以 4:1 获胜的概率是00.108 0.108 0.216.q【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以 4:1 获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算 16.已知双曲线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b 左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若1F A AB，1 20 F B F B，则 C 的离心率为 _【答案】2.【解析】【分析】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取几何法，利用数形结合思想解题 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利【详解】如图，由1,F A AB 得1.F A AB 又1 2,OF OF 得 OA 是三角形1 2F F B的中位线，即2 2/,2.BF OA BF OA 由1 20 F B F B，得1 2 1,F B F B OA F A 则1 2,OB OF OF 有2 2 1 12 2,OBF BF O OBF OF B 1AOB AOF 又 OA 与 OB 都是渐近线，得2 1,BOF AOF 则0260 BOF 又渐近线 OB 的斜率为0tan 60 3ba，所以该双曲线的离心率为2 21()1(3)2c bea a【点睛】此题若不能求出直角三角形的中位线的斜率将会思路受阻，即便知道双曲线渐近线斜率和其离心率的关系，也不能顺利求解，解题需要结合几何图形，关键得到02 1 260,BOF AOF BOA 即得到渐近线的倾斜角为060,从而突破问题障碍 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.VABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设2 2(sin sin)sin sin sin B C A B C（1）求 A；（2）若 2 2 a b c，求 sinC【答案】（1）3A；（2）6 2sin4C.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：2 2 2b c a bc，从而可整理出cos A，根据 0,A 可时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 求得结果；（2）利用正弦定理可得2 sin sin 2sin A B C，利用 sin sin B A C、两角和差正弦公式可得关于sin C和cos C的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）22 2 2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C 即：2 2 2sin sin sin sin sin B C A B C 由正弦定理可得：2 2 2b c a bc 2 2 21cos2 2b c aAbc 0,A 3A=（2）2 2 a b c，由正弦定理得：2 sin sin 2sin A B C 又 sin sin sin cos cos sin B A C A C A C，3A 3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C 整理可得：3sin 6 3cos C C 2 2sin cos 1 C C 223 s i n 6 3 1 s i n C C 解得：6 2sin4C 或6 24 因为6sin 2sin 2sin 2sin 02B C A C 所以6sin4C，故6 2sin4C.（2）法二：2 2 a b c，由正弦定理得：2 sin sin 2sin A B C 又 sin sin sin cos cos sin B A C A C A C，3A 3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C 整理可得：3sin 6 3cos C C，即3sin 3cos 2 3sin 66C C C 2sin6 2C 512C 或1112 3A且A C 512C 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 6 4 6 4 6 4 4C【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.18.如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A-MA1-N的正弦值【答案】（1）见解析；（2）105.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和1 1/AD BC可证得/ME ND，证得四边形MNDE为平行四边形，进而证得/MN DE，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB中点 F，可证得 DF 平面1AMA，得到平面1AMA的法向量DFuuu r；再通过向量法求得平面1MAN的法向量n，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接 ME，1B C 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 M，E 分别为1BB，BC中点 ME 为1B BC 的中位线 1/ME BC 且112ME B C 又N为1A D中点，且1 1/AD BC 1/ND BC 且112ND B C/ME ND 四边形MNDE为平行四边形/MN DE，又MN 平面1C DE，DE 平面1C DE/MN 平面1C DE（2）设AC BD O，1 1 1 1 1AC BD O 由直四棱柱性质可知：1OO 平面ABCD 四边形ABCD为菱形 AC BD 则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：3,0,0 A，0,1,2 M，13,0,4 A，D（0，-1,0）3 1,22 2N 取AB中点 F，连接 DF，则03 1,2 2F 四边形ABCD为菱形且 60 BAD BAD 为等边三角形 DF AB 又1AA 平面ABCD，DF 平面ABCD 1DF AA 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 DF 平面1 1ABB A，即 DF 平面1AMA DF 为平面1AMA的一个法向量，且3 3,02 2DF 设平面1MAN的法向量,n x y z，又 13,1,2 MA，3 3,02 2MN 13 2 03 302 2n MA x y zn MN x y，令 3 x，则1 y，1 z 3,1,1 n 3 15cos,515DF nDF nDF n 10sin,5DF n 二面角1A MA N 的正弦值为：105【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.19.已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；（2）若 3 AP PB，求|AB|【答案】（1）12 8 7 0 x y；（2）4 133.【解析】【分析】（1）设直线l：3y=x m2，1 1,A x y，2 2,B x y；根据抛物线焦半径公式可得1 21 x x+；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果；（2）设直线l：23x y t；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用 3 AP PB 可得1 23 y y，结合韦达定理可求得1 2y y；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线l方程为：3y=x m2，1 1,A x y，2 2,B x y 由抛物线焦半径公式可知：1 2342AF BF x x 1 252x x 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 联立 2323y x my x 得：2 29 12 12 4 0 x m x m 则 2212 12 144 0 m m 12m 1 212 12 59 2mx x，解得：78m 直线l的方程为：3 72 8y x，即：12 8 7 0 x y（2）设,0 P t，则可设直线l方程为：23x y t 联立2233x y ty x 得：22 3 0 y y t 则4 12 0 t 13t 1 22 y y，1 23 y y t 3 AP PB 1 23 y y 21 y，13 y 1 23 y y 则 21 2 1 24 13 4 131 4 4 129 3 3AB y y y y【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.20.已知函数()sin ln(1)f x x x，()f x为()f x的导数证明：（1）()f x在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）()f x有且仅有 2 个零点【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2 上单调递减，根据零点存在定理可判断出00,2x，使得 00 g x，进而得到导函数在1,2 上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0 x 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 为 f x在 1,0 上的唯一零点；当0,2xp骣西 桫时，首先可判断出在()00,x上无零点，再利用零点存在定理得到 f x在0,2x 上的单调性，可知 0 f x，不存在零点；当,2x 时，利用零点存在定理和 f x单调性可判断出存在唯一一个零点；当,x，可证得 0 f x；综合上述情况可证得结论.【详解】（1）由题意知：f x定义域为：1,且 1cos1f x xx 令 1cos1g x xx，1,2x 21sin1g x xx，1,2x 211 x 在1,2 上单调递减，11 1 1,7n na a 在1,2 上单调递减 g x在1,2 上单调递减 又 0 sin0 1 1 0 g，2 24 4sin 1 02 22 2g 00,2x，使得 00 g x 当 01,x x 时，0 g x；0,2x x 时，0 g x 即 g x在 01,x 上单调递增；在0,2x 上单调递减 则0 x x 为 g x唯一的极大值点 即：f x 在区间1,2 上存在唯一的极大值点0 x.（2）由（1）知：1cos1f x xx，1,x 当 1,0 x 时，由（1）可知 f x 在 1,0 上单调递增 0 0 f x f f x 在 1,0 上单调递减 又 0 0 f 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 0 x 为 f x在 1,0 上的唯一零点 当0,2x 时，f x 在()00,x上单调递增，在0,2x 上单调递减 又 0 0 f 00 f x f x 在()00,x上单调递增，此时 0 0 f x f，不存在零点 又2 2cos 02 2 2 2f 1 0,2x x，使得 10 f x f x 在 0 1,x x上单调递增，在1,2x 上单调递减 又 00 0 f x f，2sin ln 1 ln ln1 02 2 2 2ef 0 f x 在0,2x 上恒成立，此时不存在零点 当,2x 时，sin x单调递减，ln 1 x 单调递减 f x 在,2 上单调递减 又02f，sin ln 1 ln 1 0 f 即 02f f，又 f x在,2 上单调递减 f x在,2 上存在唯一零点 当,x 时，sin 1,1 x，ln 1 ln 1 ln 1 x e sin ln 1 0 x x 即 f x在,上不存在零点 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 综上所述：f x有且仅有 2 个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求 X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8)ip i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00 p，81 p，1 1 i i i ip ap bp cp(1,2,7)i，其中(1)a P X，(0)b P X，(1)c P X 假设0.5，0.8(i)证明：1 i ip p(0,1,2,7)i 为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）41257p.【解析】【分析】（1）首先确定 X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出,a b c的取值，可得 1 10.4 0.5 0.1 1,2,7i i i ip p p p i，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p和0p的值可求得1p；再次利用累加法可求出4p.【详解】（1）由题意可知 X 所有可能的取值为：1，0，1 1 1 P X；0 1 1 P X；1 1 P X 时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案 如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效考生必须保证答题卡的整洁 合题目要的已知集合则答案解析分析本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法渗透了数学运算素养采取数轴法利 则 X 的分布列如下：X 1 0 1 P 1 1 1 1（2）0.5，0.8 0.5 0.8 0.4 a，0.5 0.8 0.5 0.2 0.5 b，0.5 0.2 0.1 c（i）1 11,2,7i i i ip ap bp cp i 即 1 10.4 0.5 0.1 1,2,7i i i ip p p p i 整理可得：1 15 4 1,2,7i i ip p p i 1 14 1,2,7i i i ip p p p i（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做