2023届初升高数学衔接专题讲义第六讲 集合的概念（精讲）含解析.docx

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第六讲 集合的概念（精讲）（原卷版）【知识点透析】一、元素与集合的概念及表示1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，表示2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，表示3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的二、元素的特性1、确定性给定的集合，它的元素必须是确定的也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了简记为“确定性”【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等2、互异性一个给定集合中的元素是互不相同的也就是说，集合中的元素是不重复出现的简记为“互异性”利用集合中元素的特异性求参数：（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的简记为“无序性”三、元素与集合的关系1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA2、元素与集合关系的判断方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征四、常用的数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或五、列举法把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开(2)集合中的元素必须是明确的(3)集合中的元素不能重复(4)集合中的元素可以是任何事物六、描述法1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x)，这种表示集合的方法称为描述法有时也用冒号或分号代替竖线2、用描述法表示集合（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内【知识点精讲】题型一：集合的概念【例题1】（2021四川雅安高一期末）下列各组对象能构成集合的是A所有很大的实数B好心的人C大于1的全体自然数D新款的手机【例题2】（2021陕西榆林高一期末）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）A2021年所有的欧盟国家B校园中长的高大的树木C学校篮球水平较高的学生D中国经济发达的城市【变式1】（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中）面各组对象中不能形成集合的是（ ）A所有的直角三角形 B一次函数C高一年级中家离学校很远的学生 D大于2的所有实数【变式2】（2023·银川一中高一月考）给出下列表述：联合国常任理事国；充分接近的实数的全体；方程的实数根全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）A B C D题型二 元素与集合的关系【例题3】（2021山东曲阜高一期末）下列元素与集合的关系表示正确的是；ABCD【例题4】（2022·四川宜宾高一课时检测）（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（       ）ABCD【变式1】（2022·浙江义乌高一课时检测）（多选）下列关系中，正确的是（ ）A B C D【变式2】（2021·山西太原一中高一课时检测）已知集合，若，则下列结论中可能成立的是（       ）ABCD题型三 元素特性的应用【例题5】（2021春西湖区期中）已知是由0，三个元素组成的集合，且，则实数为A2B3C0或3D0，2，3均可【例题6】（2021江西九江模拟）已知集合，只有一个元素，则的取值集合为ABC，D，【例题7】（2021银川一中高一期末）设集合，则（ ）A2B3C5D6【例题8】（2021云南曲靖一中高一期末）设集合，已知且,则实数的取值集合为（ ）ABCD【变式1】（2022甘肃景泰二中高一期末）已知集合由，组成，且，求_【变式2】（2023云南曲靖一中高一期末）由，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个题型四 列举法【例题9】（2021四川雅安高一期末）设集合，则M中的元素个数为（ ）A5B6C7D8【例题10】（2021湖北武汉高一期末）已知集合，则中元素的个数为（ ）A15B14C13D12【例题11】（2021四川宜宾高一检测）集合，则中元素的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个【变式1】（2022·陕西宝鸡高一期中考试）集合用列举法可表示为（       ）ABCD【变式2】（2022·陕西宝鸡高一期中考试）方程组的解集是（ ）A B C D题型五 描述法【例题12】（2021四川绵阳高一期末）直角坐标平面中除去两点可用集合表示为（ ）AB或CD【例题13】（2021陕西宝鸡高一期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）A，B，C，D，【变式】（2022·辽宁抚顺高一课时检测）集合是（   ）A第一象限的点集B第二象限的点集C第三象限的点集D第四象限的点集2023年初高中衔接素养提升专题讲义第六讲 集合的概念（精讲）（解析版）【知识点透析】一、元素与集合的概念及表示1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，表示2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，表示3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的二、元素的特性1、确定性给定的集合，它的元素必须是确定的也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了简记为“确定性”【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等2、互异性一个给定集合中的元素是互不相同的也就是说，集合中的元素是不重复出现的简记为“互异性”利用集合中元素的特异性求参数：（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的简记为“无序性”三、元素与集合的关系1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA2、元素与集合关系的判断方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征四、常用的数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或五、列举法把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开(2)集合中的元素必须是明确的(3)集合中的元素不能重复(4)集合中的元素可以是任何事物六、描述法1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x)，这种表示集合的方法称为描述法有时也用冒号或分号代替竖线2、用描述法表示集合（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内【知识点精讲】题型一：集合的概念【例题1】（2021四川雅安高一期末）下列各组对象能构成集合的是A所有很大的实数B好心的人C大于1的全体自然数D新款的手机【答案】C【解析】A、因为“很大的实数”不确定，所以不满足集合的确定性，不能构成集合，不符合题意；B、好心的人不确定，所以不满足集合的确定性，不能构成集合，不符合题意；C、大于1的全体自然数具有确定性，能构成集合，符合题意；D、新款的手机的意义不明确，不满足集合的确定性，因此不能组成集合，不符合题意；故选：C【例题2】（2021陕西榆林高一期末）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）A2021年所有的欧盟国家B校园中长的高大的树木C学校篮球水平较高的学生D中国经济发达的城市 【答案】A【解析】A：因为2007年欧盟国家是确定的，所以本选项符合题意；B：因为不确定什么样子的树木叫高大的树木，所以本选项不符合题意；C：因为不确定篮球水平较高是一种什么水平，所以本选项不符合题意；D：因为不确定经济水平什么样叫发达，所以本选项不符合题意，故选：A【变式1】（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中）面各组对象中不能形成集合的是（ ）A所有的直角三角形 B一次函数C高一年级中家离学校很远的学生 D大于2的所有实数【答案】C【解析】所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合，而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，故选：C【变式2】（2023·银川一中高一月考）给出下列表述：联合国常任理事国；充分接近的实数的全体；方程的实数根全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）A B C D【答案】A【解析】 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合. 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合. 方程的实数根是确定，所以能构成集合. 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合. 故选：A题型二 元素与集合的关系【例题3】（2021山东曲阜高一期末）下列元素与集合的关系表示正确的是；ABCD【答案】B【解析】对于：不是自然数，故，故错误；对于：是无理数不是整数，表示整数集合，故正确； 对于：是有理数，表示有理数集，故正确； 对于：是无理数，表示无理数集，故错误故选B【例题4】（2022·四川宜宾高一课时检测）（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（       ）ABCD【答案】AB【分析】分x，y都大于零，x，y中一个大于零，另一个小于零和x，y都小于零求解判断即可【详解】当x，y都大于零时，；当x，y中一个大于零，另一个小于零时，；当x，y都小于零时，根据元素与集合的关系，可知，故选：AB【变式1】（2022·浙江义乌高一课时检测）（多选）下列关系中，正确的是（ ）A B C D【答案】AD【解析】因为是整数集，故，所以A正确；因为是实数集，故，所以B错误；因为是有理数集，故，所以C错误；因为是自然数集，故，所以D正确，故选：AD.【变式2】（2021·山西太原一中高一课时检测）已知集合，若，则下列结论中可能成立的是（       ）ABCD【答案】C【分析】由集合中元素形式，确定，的性质，然后判断【详解】由题意设，则，不是3的整数倍，A不可能；，同理B不可能；，如取，则，即，C成立；，同A可知D不可能故选：C题型三 元素特性的应用【例题5】（2021春西湖区期中）已知是由0，三个元素组成的集合，且，则实数为A2B3C0或3D0，2，3均可【答案】B【解析】， 或当时，不合题意，舍去；当时，或，但不合题意，舍去综上可知，故选B【例题6】（2021江西九江模拟）已知集合，只有一个元素，则的取值集合为ABC，D，【答案】D【解析】只有一个元素，方程只有一个解，时满足题意；时，解得，的取值集合为，故选D【例题7】（2021银川一中高一期末）设集合，则（ ）A2B3C5D6【答案】C【解析】当时, , 则或，当时，该方程组无解，当时，解得当时，则或.当时，该方程组无解，当时，解得当，即时，显然，则，此时，当时，该方程组无解，当时，该方程组无解.综上所述，或，故【例题8】（2021云南曲靖一中高一期末）设集合，已知且,则实数的取值集合为（ ）ABCD【答案】D【解析】当时，可得或，若，则，不合题意；若，则，符合题意；当，可得或，若，则，不合题意；若，则，不合题意.综上所述：.故选：D.【变式1】（2022甘肃景泰二中高一期末）已知集合由，组成，且，求_【答案】【解析】根据题意，因，于是有：若，则，此时集合中元素为，2，不满足集合元素的互异性，不符合题意，若，即，解得或，时，此时集合中元素为，符合题意，显然不符合题意；若，无解，综上得：【变式2】（2023云南曲靖一中高一期末）由，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】A【解析】当时，当时，三个数分别为2，4，1，符合元素的互异性；当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；当时，三个数分别为5，5，2，不符合元素的互异性.所以实数a的值可能为1，只有一个.故选：A题型四 列举法【例题9】（2021四川雅安高一期末）设集合，则M中的元素个数为（ ）A5B6C7D8【答案】C【解析】，所以M中的元素个数为7.故选：C.【例题10】（2021湖北武汉高一期末）已知集合，则中元素的个数为（ ）A15B14C13D12【答案】C【解析】 ， ，当时，； 当时，；当时， 当时，；当时，；所以共有个，故选：C.【例题11】（2021四川宜宾高一检测）集合，则中元素的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个 【答案】C【解析】由已知得，又，所以中元素的个数为个故选：C.【变式1】（2022·陕西宝鸡高一期中考试）集合用列举法可表示为（       ）ABCD【答案】C【分析】解方程求解集，根据集合的描述列举出集合元素.【详解】由，得，因为，所以.故选：C【变式2】（2022·陕西宝鸡高一期中考试）方程组的解集是（ ）A B C D【答案】A【解析】由可得：或.所以方程组的解集是.故选：A题型五 描述法【例题12】（2021四川绵阳高一期末）直角坐标平面中除去两点可用集合表示为（ ）AB或CD【答案】C【解析】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，选项中除去的是四条线；选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；选项，则且，即除去两点，符合题意；选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点故选：C【例题13】（2021陕西宝鸡高一期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】：A两个集合的元素不相同，点的坐标不同，B两个集合的元素相同，C中M的元素为点，N的元素为数，D中M的元素为点，N的元素为数，故A，C，D都不对故选：B【变式】（2022·辽宁抚顺高一课时检测）集合是（   ）A第一象限的点集B第二象限的点集C第三象限的点集D第四象限的点集【答案】C【分析】利用不等式的性质可得，进而判断出集合的意义【详解】由，故集合是第三象限的点集故选：C.