2023年【推荐】截长补短专题.pdf
1/3 ADBCE图 2-1 截长补短法人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1.已知，如图 1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+BCD=180.分析：因为平角等于180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作 DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图 1-2 BD平分ABC，DE=DF，在RtADE与RtCDF中，CDADDFDERtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=180例2.如图 2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC，如图 2-2 在FCE与BCE中，CECEBCEFCECBCFFCEBCE（SAS）,2=1.ABCD图 1-1 FEDCBA图 1-2 ADBCEF1234图 2-2 2/3 又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，43DEDEADEFDEFDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例3.已知，如图3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180.分析：与例 1 相类似，证两个角的和是180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作 PE 垂直 BA 的延长线于点E，如图 3-2 1=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，BPBPPDPERtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE与RtCPD中,DCAEPDCPEAPDPERtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180 ,BAP+BCP=180 例4.已知：如图4-1，在ABC中，C2B，1 2.求证：AB=AC+CD.ABCDP12N图 3-1 P12NABCDE图 3-2 DCBA12图 4-1 然开朗请看几例例已知如图在四边形中平分求证分析因为平角等于因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平线于点作于点如图平分在与中又即图例如图点在线段上求证分析结论是可考虑用截长补短法中的截长即在取只要再证知如图为上一点且于点求证分析与例相类似证两个角的和是可把它们移到一起让它们是邻补角即证明因而此题适用补3/3 分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图 4-2 ACB 2E，ACB 2B，BE，在ABD与AED中,ADADEB21ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图 4-3 在AFD与ACD中,ADADACAF21AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。EDCBA12图 4-2 FDCBA12图 4-3 然开朗请看几例例已知如图在四边形中平分求证分析因为平角等于因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平线于点作于点如图平分在与中又即图例如图点在线段上求证分析结论是可考虑用截长补短法中的截长即在取只要再证知如图为上一点且于点求证分析与例相类似证两个角的和是可把它们移到一起让它们是邻补角即证明因而此题适用补
