2023年【精品】高考统计与概率专题.pdf

高 考 统 计 与 概 率 专 题 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除2 2018 年高考统计与概率专题（全国卷 1 文）2为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A x1，x2，xn的平均数 B x1，x2，xn的标准差 C x1，x2，xn的最大值 D x1，x2，xn的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选 B（全国卷 1 理）2如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A14 B8 C12 D4【考点】：几何概型【思路】：几何概型的面积问题，=P基本事件所包含的面积总面积。【解析】：21212=82rSPSr，故而选 B。（全国卷 2 理）6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A 12 种 B 18 种 C 24 种 D 36 种（全国卷 2 文）6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90 B.63 C.42 D.36【答案】B 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除3【解析】由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱，故其体积为2 213 6 3 4 632V，故选 B.（天津卷）文（3）有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A）45（B）35（C）25（D）15（全国卷 2 文）11.从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A.110 B.15 C.310 D.25【答案】D【解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数 总计有 25 种情况，满足条件的有 10 种 所以所求概率为10 225 5。（全国卷 3 文 理）3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除4 根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【考点】折线图【名师点睛】用样本估计总体时统计图表主要有 1.频率分布直方图,(特点:频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应区间概率,所有小长方形的面积之和为 1);2.频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图 3.茎叶图.对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据（山东卷）文（8）如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）。若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为 A 3,5 B 5，5 C 3，7 D 5，7 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除5【答案】A【解析】由题意,甲组数据为 56，62，65，70 x，74，乙组数据为 59，61，67，60 y，78.要使两组数据中位数相等，有 65 60 y，所以 5 y，又平均数相同，则 56 62 65(70)74 59 61 67 65 785 5x，解得 3 x.故选 A.（山东卷）理（5）为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 y bx a 已知101225iix，1011600iiy，4 b 该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为（A）160（B）163（C）166（D）170【答案】C【解析】22.5,160,160 4 22.5 70,4 24 70 166 x y a y,选 C.（天津卷）理（14）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 _个.（用数字作答）【答案】1080【解析】4 1 3 45 4 5 41080 A C C A（江苏卷）3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件.（山东卷）文（16）（本小题满分 12 分）某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1,A2,A3和 3 个欧洲国家 B1,B2,B3 中选择 2 个国家去旅游。（）若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除6（）若从亚洲国家和欧洲国家中个任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1但不包括 B1的概率。【答案】1(1)5；2(2).9【解析】23263 1(1)15 5CpC 1 11 21 13 32(2)9C CPC C（天津卷）理 16.（本小题满分 13 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为1 1 1,2 3 4.（）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.【答案】(1)1312(2)1148【解析】（）随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.1 1 1 1(0)(1)(1)(1)2 3 4 4P X，1 1 1 1 1 1 1 1 1 11(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2 3 4 2 3 4 2 3 4 24P X，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(2)(1)(1)(1)2 3 4 2 3 4 2 3 4 4P X，1 1 1 1(3)2 3 4 24P X.所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 14 1124 14 124 随机变量 X 的数学期望1 11 1 1 13()0 1 2 34 24 4 24 12E X.（）设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除7 1 11 11 1 114 24 24 4 48.所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为1148.（全国卷 2 文）19（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法 新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。附：P（）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除8(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 K 2=200 66-34 3815.705100 100 96 104（62）由于 15.705 6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在 45kg 到 50kg 之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.（全国卷 2 理）18.（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg,新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除9 箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法 新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）P（）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d 18.解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”由题意知 P A P BC P B P C 旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为 0.040 0.034 0.024 0.014 0.012 5=0.62（）故 P B的估计值为 0.62 新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为 0.068 0.046 0.010 0.008 5=0.66（）故 P C的估计值为 0.66 因此，事件 A 的概率估计值为0.62 0.66 0.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 50kg 箱产量 50 kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 22200 62 66 34 3815.705100 100 96 104K 由于 15.705 6.635 故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除10 0.004 0.020 0.044 5 0.34 0.5，箱产量低于55kg的直方图面积为 0.004 0.020 0.044+0.068 5 0.68 0.5 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 0.5-0.3450+2.35 kg0.068（）5（全国卷 1 文）19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716iix x，16 162 2 21 11 1()(16)0.21216 16i ii is x x x x，1621(8.5)18.439ii，161()(8.5)2.78iix x i，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,16 i（1）求(,)ix i(1,2,16)i 的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|0.25 r，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）从这一天抽检的结果看，学.科网是否需对当天的生产过程进行检查？（）在(3,3)x s x s 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到 0.01）资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除11 附：样本(,)i ix y(1,2,)i n 的相关系数12 21 1()()()()ni iin ni ii ix x y yrx x y y，0.008 0.09（ii）剔除 9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为16 9.22 16 9.97 9.2210.0215 15x，标准差为 162211(10.02)9.22 10.2 0.008 0.0916iis x 2216 10.02 9.220.0115s（全国卷 1 理）19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求(1)P X 及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除12 经计算得16119.9716iix x，16 162 2 2 21 11 1()(16)0.21216 16i ii is x x x x，其中ix 为抽取的第 i 个零件的尺寸，1,2,16 i 用样本平均数 x 作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到 0.01）附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(3 3)0.997 4 P Z，160.997 4 0.959 2，0.008 0.09【考点】：统计与概率。【思路】：（1）这是典型的二项分布，利用正态分布的性质计算即可。（2）考察正态分布，代入运算即可。【解析】：（1）161 1 0 1 0.9974 1 0.9592 0.0408 P X P X 由题意可得，X 满足二项分布 16,0.0016 X B，因此可得 16,0.0016 16 0.0016 0.0256 EX（2）1由（1）可得 1 0.0408 5%P X，属于小概率事件，故而如果出现(3,3)的零件，需要进行检查。2由题意可得 9.97,0.212 3 9.334,3 10.606，故而在 9.334,10.606 范围外存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。此时：9.97 16 9.2210.0215x，15110.0915ix x。18（12 分）（全国卷 3 理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除13 最高气温 10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？18.解：（1）由题意知，X 所有的可能取值为 200,300,500，由表格数据知 2 16200 0.290P X 36300 0.490P X 25 7 4500 0.490P X.因此X的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500，至少为 200，因此只需考虑 200 500 n 当 300 500 n 时，若最高气温不低于 25，则 Y=6n-4n=2n 若最高气温位于区间 20，,25，则 Y=6 300+2（n-300）-4n=1200-2n;若最高气温低于 20，则 Y=6 200+2（n-200）-4n=800-2n;因此 EY=2n 0.4+（1200-2n）0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n 当 200 300 n 时，若最高气温不低于 20，则 Y=6n-4n=2n;若最高气温低于 20，则 Y=6 200+2（n-200）-4n=800-2n;因此 EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n 所以 n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520元。（全国卷 3 文）18（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除14 气温位于区间 20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率【答案】（1）53；（2）51（2）Y 的可能值列表如下：最高气温 10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）Y 100 100 300 900 900 900 低于 C20：100 4 450 2 250 6 200 y；)25,20：300 4 450 2 150 6 300 y；不低于 C25：900)4 6(450 y Y 大于 0 的概率为36 25 7 40.890.【考点】古典概型概率【名师点睛】点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除15(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（数学理 北京卷）（17）（本小题 13 分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者.（）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（）从图中 A，B，C，D四人中随机 KS5U.选出两人，记为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求的分布列和数学期望 E（）；（）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.（只需写出结论）（）由图知，A,B,C,D 四人中，指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C.所以 的所有可能取值为 0,1,2.资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除16 2 1 1 22 2 2 22 2 24 4 4C C C C 1 2 1(0),(1),(2)C 6 C 3 C 6P P P.所以 的分布列为 0 1 2 P 16 23 16 故 的期望1 2 1()0 1 2 16 3 6E.（）在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差.（数学文 北京卷）（17）（本小题 13 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20,30），30,40），80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间 40,50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数 KS5U 不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例【答案】（）0.4；（）5 人；（）32.资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除17（）由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为(0.02 0.04)10 100 60，所以样本中分数不小于 70 的男生人数为160 302.所以样本中的男生人数为 30 2 60，女生人数为 100 60 40，男生和女生人数的比例为60:40 3:2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为 3:2.（山东卷）理（18）（本小题满分 12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙中心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4名 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5人接受甲种心理暗示，另 5人接受乙种心理暗示。（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B3的频率。（II）用 X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 EX。【答案】（I）5.18(II)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 X 的数学期望是 2 EX.资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除18【解析】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的事件为 M，则485105().18CP MC(II)由题意知 X 可取的值为：0,1,2,3,4.则 565101(0),42CP XC 4 16 45105(1),21C CP XC 3 26 451010(2),21C CP XC 2 36 45105(3),21C CP XC 1 46 45101(4),42C CP XC 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X=1 5 10 5 10 1 2 3 4 2.42 21 21 21 42（江苏卷）23.（本小题满分 10）已知一个口袋有 m 个白球，n 个黑球（m,n 2N,n 2）,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 1,2,3，m+n 的抽屉内，其中第 k次取球放入编号为 k 的抽屉（k=1,2,3，m+n）.资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除19（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p;（2）随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是 x 的数学期望，证明 23.【必做题】本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质,考查运算求解能力和推理论证能力.满分 10 分.解:(1)编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p 为:11C Cnm nnm nnpm n.(2)随机变量 X 的概率分布为:X 1n 11 n 12 n 1k 1m n P 11CCnnnm n 1CCnnnm n 11CCnnnm n 11CCnknm n 11CCnn mnm n 随机变量 X 的期望为：11C 1 1 1(1)!()C C(1)!()!nm n m nkn nk n k nm n m nkE Xk k n k n.所以1(2)!1(2)!()C(1)!()!(1)C(2)!()!m n m nn nk n k nm n m nk kE Xn k n n n k n 2 2 21 21(1 C C C)(1)Cn n nn n m nnm nn 1 2 2 21 1 21(C C C C)(1)Cn n n nn n n m nnm nn 1 2 221(C C C)(1)Cn n nn n m nnm nn 1 22 21(C C)(1)Cn nm n m nnm nn 11C(1)C()(1)nm nnm nnn m n n()()(1)nE Xm n n.