2023年【精品推荐】二次函数的几何最值问题.pdf

二次函数与几何图形结合-探究面积最值问题 方法总结：在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下：根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长；观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的 坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需 将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解；结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。（2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点 O（0，0），A（5，0），B（4，4）（1）求过 O、B、A 三点的抛物线的解析式 （2）在第一象限的抛物线上存在点 M，使以 O、A、B、M 为顶点的四边形面积最大，求点 M 的坐标（3）作直线 x=m 交抛物线于点 P，交线段 OB 于点 Q，当PQB 为等腰三角形时，求 m 的值 （2014 自贡）如图，已知抛物线 y ax 2 3 x c 与 x 轴相交于 A、B 两点，并与直线 y 1 x 2 交于 B、C 两 2 2 点，其中点 C 是直线 y 1 x 2 与 y 轴的交点，连接 AC 2 （1）求抛物线的解析式；（2）证明：ABC 为直角三角形；（3）ABC 内部能否截出面积最大的矩形 DEFG？（顶点 D、E、F、G 在ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由 -1-/5 据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出最大值时的点坐标或字母范围达州如图在平面直角坐标系中己知点求过三点的抛物线的解析式在第一象限的抛物线上于两点并与直线交于两与轴的交点连接自贡如图已知抛物线点其中点是直线求抛物线的解析式证明为直角三角形内部 （2014 黔西南州）（16 分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为 D，连接 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点（不与 A、D 重合），过点 P 作 y 轴 的垂线，垂足点为 E，连接 AE （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）如果 P 点的坐标为（x，y），PAE 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，直接写出自变量 x 的取值范 围，并求出 S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当 S 取到最大值时，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 F，连接 EF，把PEF 沿直线 EF 折叠，点 P 的对应点为点 P，求出 P的坐标，并判断 P是否在该抛物线上 （2014 兰州）（12 分）如图，抛物线 y=1 x 2+mx n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的 2 对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0），C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边 据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出最大值时的点坐标或字母范围达州如图在平面直角坐标系中己知点求过三点的抛物线的解析式在第一象限的抛物线上于两点并与直线交于两与轴的交点连接自贡如图已知抛物线点其中点是直线求抛物线的解析式证明为直角三角形内部 -2-/5 据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出最大值时的点坐标或字母范围达州如图在平面直角坐标系中己知点求过三点的抛物线的解析式在第一象限的抛物线上于两点并与直线交于两与轴的交点连接自贡如图已知抛物线点其中点是直线求抛物线的解析式证明为直角三角形内部 形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标 （2014?衡阳）二次函数 y=ax 2+bx+c（a 0）的图象与 x 轴的交点为 A（-3，0）、B（1，0）两点，与 y 轴交 于点 C（0，-3m）（其中 m 0），顶点为 D （1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示）；（2）如图，当 m=2 时，点 P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，设 APC 的面积为 S，试求出 S 与点 P 的 横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值；（3）如图，当 m 取何值时，以 A、D、C 为顶点的三角形与 BOC 相似？二次函数与几何图形结合-探究等腰三角形存在性问题 方法总结：在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下：假设结论成立；当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时，要对其进行分类讨论，假设 某两条边相等，等到三种情况；设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；计算求解，根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可。据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出最大值时的点坐标或字母范围达州如图在平面直角坐标系中己知点求过三点的抛物线的解析式在第一象限的抛物线上于两点并与直线交于两与轴的交点连接自贡如图已知抛物线点其中点是直线求抛物线的解析式证明为直角三角形内部 -3-/5 据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出最大值时的点坐标或字母范围达州如图在平面直角坐标系中己知点求过三点的抛物线的解析式在第一象限的抛物线上于两点并与直线交于两与轴的交点连接自贡如图已知抛物线点其中点是直线求抛物线的解析式证明为直角三角形内部 （2014 长沙）如图，抛物线 的对称轴为 轴，且经过（0,0），（）两点，点 P 在抛物线上运动，以 P 为圆心的 P 经过定点 A（0,2），(1)求 的值；(2)求证：点 P 在运动过程中，P 始终与 轴相交；（3）设 P 与 轴相交于 M，N（）两点，当AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标。（2014?绵阳）如图，抛物线 y=ax 2+bx+c（a 0）的图象过点 M（2，），顶点坐标为 N（1，），且与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点 （1）求抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线对称轴上的动点，当 PBC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；（3）在直线 AC 上是否存在一点 Q，使QBM 的周长最小？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 （2014?张家界）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）过 O、B、C 三点，B、C 坐标分别为（10，0）和（，），以 OB 为直径的 A 经过 C 点，直线 l 垂直 x 轴于 B 点 （1）求直线 BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出最大值时的点坐标或字母范围达州如图在平面直角坐标系中己知点求过三点的抛物线的解析式在第一象限的抛物线上于两点并与直线交于两与轴的交点连接自贡如图已知抛物线点其中点是直线求抛物线的解析式证明为直角三角形内部 -4-/5 据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出最大值时的点坐标或字母范围达州如图在平面直角坐标系中己知点求过三点的抛物线的解析式在第一象限的抛物线上于两点并与直线交于两与轴的交点连接自贡如图已知抛物线点其中点是直线求抛物线的解析式证明为直角三角形内部 （3）点 M 是 A 上一动点（不同于 O，B），过点 M 作 A 的切线，交 y 轴于点 E，交直线 l 于点 F，设线段 ME 长为 m，MF 长为 n，请猜想 m?n 的值，并证明你的结论；（4）若点 P 从 O 出发，以每秒一个单位的速度向点 B 作直线运动，点 Q 同时从 B 出发，以相同速度向点 C 作 直线运动，经过 t（0 t 8）秒时恰好使 BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的 t 值 (2014 年四川资阳 )如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（3，0），与 y 轴的交点为 B（0，3），其顶点为 C，对称轴为 x=1 （1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M 为 y 轴上的一个动点，当 ABM 为等腰三角形时，求点 M 的坐标；（3）将AOB 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度（0 m 3）得到另一个三角形，将所得的三角形与 ABC 重叠部 分的面积记为 S，用 m 的代数式表示 S 据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出最大值时的点坐标或字母范围达州如图在平面直角坐标系中己知点求过三点的抛物线的解析式在第一象限的抛物线上于两点并与直线交于两与轴的交点连接自贡如图已知抛物线点其中点是直线求抛物线的解析式证明为直角三角形内部 -5-/5 据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出最大值时的点坐标或字母范围达州如图在平面直角坐标系中己知点求过三点的抛物线的解析式在第一象限的抛物线上于两点并与直线交于两与轴的交点连接自贡如图已知抛物线点其中点是直线求抛物线的解析式证明为直角三角形内部