圆中最值问题10种求法复习课程.pdf

圆中最值问题 10 种求法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 圆中最值的十种求法 在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值 1如图：O 的半径为 2，点 A、B、C 在O 上，OAOB，AOC=60，P 是 OB 上一动点，求 PA+PC 的最小值.分析：延长 AO 交O 于 D，连接 CD 交O 于 P，即此时 PA+PC 最小，且 PA+PC 的最小值就等于弦 CD 的长.解：延长 AO 交O 于 D，连接 CD 交 OB 于 P 连接 PA，过 O 作 OECD，垂足为 E 在OCD 中，因为AOC=60 所以D=C=30 在 RtODE 中 cos30=即 DE=2cos30=所以 CD=2DE=2 即 PA+PC 的最小值为 2.二、利用垂线段最短求最值 2如图：在直角坐标系中，点 A 的坐标为(3,2)，A 的半径为 1，P为 x 轴上一动点，PQ 切A 于点 Q，则 PQ 长度的最小值为 .分析：连接 AQ、PA，可知 AQPQ.在 RtPQA 中，PQ=，求 PQ 的最小值转化为求 PA 的最小值，根据垂线段最短易求 PA 的最小值为 2.解：连接 PA、QA 因为 PQ 切A 于点 Q 所以 PQAQ 在 RtAPQ 中，PQ2=PA2AQ2 即 PQ=又因为 A(3,2)，根据垂线段最短。所以 PA 的最小值为 2 所以 PQ 的最小值=纳如下一利用对称求最值如图的半径为点在上是上一动点求的最小值分析延长交于连接交于即此时最小且的最小值就如图在直角坐标系中点的坐标为的半径为为轴上一动点切于点则长度的最小值为分析连接可知在中求的最小值转化为的最小值收集于网络如有侵权请联系管理员删除精品文档三利用两点之间线段最短求最值如图圆锥的底面半径为母线精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 三、利用两点之间线段最短求最值 3如图：圆锥的底面半径为 2，母线 PB 的长为 6，D 为 PB 的中点，一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点 D，则蚂蚁爬行的最短路程为()A B2 C3 D3 分析：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从 A 爬行到点 D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图 2，连接 AB 根据题意得：弧 AC 的长为 2r=22=4，PA=6 因为 4=所以 n=120 即APB=60 又因为 PA=PB 所以PAB 是等边三角形 因为 D 为 PB 中点 所以 ADPB PD=DB=3 在 RtPAD 中，AD=，故选 C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值 4如图：半径为 2.5 的O 中，直径 AB 的两侧有定点 C 和动点 P，已知BC：CA=4：3，点 P 在劣弧 AB 上运动，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点 Q，（1）求P 的正切值；（2）当 CPAB 时，求 CD 和 CQ 的长；当点 P 运动到什么位置时，CQ 取得最大值，并求出此时 CQ 的长.分析：易证明ACBPCQ，所以，即 CQ=PC.当 PC 最大时，CQ 最大，而 PC 是O 的动弦，当 PC 是O 的直径时最大.纳如下一利用对称求最值如图的半径为点在上是上一动点求的最小值分析延长交于连接交于即此时最小且的最小值就如图在直角坐标系中点的坐标为的半径为为轴上一动点切于点则长度的最小值为分析连接可知在中求的最小值转化为的最小值收集于网络如有侵权请联系管理员删除精品文档三利用两点之间线段最短求最值如图圆锥的底面半径为母线精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值 5如图：已知O 的半径为 2，弦 BC 的长为 2，点 A 为弦 BC 所对优弧上任意一点，(B、C 两点除外)，求ABC 面积的最大值.分析：设 BC 边上的高为 h 因为 SABC=BC h=2h=h 当 h 最大时 SABC 最大，当点 A 在优弧的中点时 h 最大.解：当点 A 为优弧的中点时，作 ADBC 于 D 连接 BO 即 BD=CD=在 RtBDO 中，OD2=OB2 BD2=22()2=1 所以 OD=1 所以 AD=2+1=3 所以 SABC=BCAD=23=3 即ABC 面积的最大值为 3 六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值 6用 48 米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.分析：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大 设 S1、S2 分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积 则 S1=()2=144 S2=()2=因为4 所以 所以=144 所以 S2S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大 七、利用判别式求最值 纳如下一利用对称求最值如图的半径为点在上是上一动点求的最小值分析延长交于连接交于即此时最小且的最小值就如图在直角坐标系中点的坐标为的半径为为轴上一动点切于点则长度的最小值为分析连接可知在中求的最小值转化为的最小值收集于网络如有侵权请联系管理员删除精品文档三利用两点之间线段最短求最值如图圆锥的底面半径为母线精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 7如图：在半径为 1 的O 中，AB 是弦，OMAB，垂足为 M，求OM+AB 的最大值.分析：可设 AM=x，把 OM 用 x 的代数式表示出来，构造关于 x 的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设 AM=x，在 RtOAM 中 OM=所以 OM+AB=+2x=a 整理得：5x24ax+(a21)=0 因为=(4a)245(a21)0 即 a25 所以 a 所以 OM+AB 的最大值为 八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值 8如图：海边立有两座灯塔 A、B，暗礁分布在经过 A、B 两点的弓形(弓形的弧是O 的一部分)区域内，AOB=80，为避免触礁，轮船 P 与 A、B的张角APB 的最大值为 .分析：连接 AC，易知ACB=AOB=40，又因为ACBP，所以P 的最大值为 40.解：如图：连接 AC，根据圆周角定理可知 ACB=AOB=80=40 又因为ACBP 即APB40 所以APB 的最大值为 40 九、利用经过O 内一定点 P 的所有弦中，与 OP 垂直的弦最短来求最值 9如图：O 的半径为 5cm，点 P 为O 内一点，且 OP=3cm，则过点 P的弦 AB 长度的最小值为 cm.分析：过 P 作 ABOP，交O 于 A、B，则 AB 的长最小.解：在 RtOAP 中，AP=所以 AB=2AP=2 4=8 所以 AB 的最小值为 8 十、利用经过圆外一点与圆心的直线与O 的两个交点与点 P 的距离最大或最小求最值 10如图：点 P 为O 外一点，PQ 切O 于点 Q，O 的半径为 3cm，切线 PQ 的长为 4cm，则点 P 与O 上各点的连线长度的最大值为 ，最小值为 .分析：过 P、O 两点作直线交O 于 A、B，则 PA 的长度最大，PB 的长度最小.解：连接 OQ 因为 PQ 切O 于 Q 所以 OQPQ 纳如下一利用对称求最值如图的半径为点在上是上一动点求的最小值分析延长交于连接交于即此时最小且的最小值就如图在直角坐标系中点的坐标为的半径为为轴上一动点切于点则长度的最小值为分析连接可知在中求的最小值转化为的最小值收集于网络如有侵权请联系管理员删除精品文档三利用两点之间线段最短求最值如图圆锥的底面半径为母线精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 在 RtPQO 中 PQ2+OQ2=OP2 即 42+32=OP2 所以 OP=5 所以 PB=53=2 PA=6+2=8 所以点 P 与O 上各点连线长度的最大为 8cm，最小值为 2cm.纳如下一利用对称求最值如图的半径为点在上是上一动点求的最小值分析延长交于连接交于即此时最小且的最小值就如图在直角坐标系中点的坐标为的半径为为轴上一动点切于点则长度的最小值为分析连接可知在中求的最小值转化为的最小值收集于网络如有侵权请联系管理员删除精品文档三利用两点之间线段最短求最值如图圆锥的底面半径为母线