图形折叠问题的探究说课材料.pdf
图 形 折 叠 问 题 的 探 究 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 图形折叠问题的探究 已知矩形纸片 ABCD，AB 2，AD 1 将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点E 重合.（1）如果折痕 FG 分别与 AD，AB 交于点 F，G（如图（1），）AF23.求 DE 的长.（2）如果折痕 FG 分别与 CD，AB 交于点 F，G（如图（2），），AED 的外接圆与直线 BC 相切，求折痕 FG 的长.（2012 南宁）如图，已知矩形纸片 ABCD，AD=2，AB=4 将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合，折痕 FG 分别与 AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点 O（1）如图 1，求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形；（2）如图 2，当 AED 的外接圆与 BC 相切于点 N时，求证：点 N 是线段 BC 的中点；（3）如图 2，在（2）的条件下，求折痕 FG 的长 本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性 变式：已知点 P 是矩形 ABCD 边 AB 上的任意一点（与点 A、B 不重合）（1）如图，现将 PBC沿 PC翻折得到 PEC；再在 AD 上取一点 F，将PAF沿 PF翻折得到 PGF，并使得射线 PE、PG 重合，试问 FG 与 CE 的位置关系如何，请说明理由；精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（2）在（1）中，如图，连接 FC，取 FC 的中点 H，连接 GH、EH，请你探索线段 GH 和线段 EH 的大小关系，并说明你的理由；（3）如图，分别在 AD、BC 上取点 F、C，使得 APF=BPC，与（1）中的操作相类似，即将 PAF 沿 PF 翻折得到 PFG，并将 CPB沿 CP翻折得到 CPE，连接 CF，取 CF的中点 H，连接 GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由 例 4.（1）观察与发现：小明将三角形纸片 ABC（AB AC）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到 AEF（如图）小明认为 AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由（2）实践与运用：将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F处，折痕为 BE（如图）；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点D处，折痕为 EG（如图）；再展平纸片（如图）求图中的大小 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 如图,矩形纸片 ABCD 中,AD=9,AB=3,将其折叠,使点 D 与点 B 重合,折痕为 EF,则 EF 的长为 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿着直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为 cm（2008 荆门）如图，矩形纸片 ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，那么折痕 EF 的长为 本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解 例 6.如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A 2 B 4 C 8 D 10 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理 分析：先根据矩形的特点求出 BC 的长，再由翻折变换的性质得出 CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出 CF 的长，再在 ABC 中利用勾股定理即可求出 AB 的长 点评：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键 如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=18cm，把矩形纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E处，AE 交 DC 于点 F，若 AF=13，则 AD 的长为（）考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质 分析：根据折叠前后角相等可证 AF=FC，在直角三角形 ADF 中，运用勾股定理求解 解答：解：根据折叠前后角相等可知 ADF CEF，设 DA=x，又 AF=13，DF=18-13=5，在直角三角形 ADF 中，x2+5 2=13 2，解之得，x=12cm 故选 D 点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等 求线段与面积间的变化关系 例 5 已知一三角形纸片 ABC，面积为 25，BC 的长为 10，?B 和?C 都为锐角，M 为 AB 上的一动点(M 与A、B 不重合)，过点 M 作 MN BC，交 AC 于点 N，设 MN=x.(1)用 x 表示 AMN 的面积 SAMN。(2)AMN 沿 MN 折叠，设点 A 关于 AMN 对称的点为 A1，A1MN 与四边形 BCMN 重叠部分的面积为y.试求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 X 的取值范围；当 x 为何值时，重叠部分的面积 y 最大，最大为多少？（2010 荆门）将三角形纸片 ABC（AB AC）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，再次展平后连接 DE、DF，如图 2，证明：四边形 AEDF 是菱形 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（2012 衢州）课本中，把长与宽之比为 2 的矩形纸片称为标准纸请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸 ABCD（AB BC）对折，如图 1 所示，所得的矩形纸片 ABEF 是标准纸请给予证明（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片 ABCD（AB BC）进行如下操作：第一步：沿过 A 点的直线折叠，使 B 点落在 AD 边上点 F 处，折痕为 AE（如图2 甲）；第二步：沿过 D 点的直线折叠，使 C 点落在 AD 边上点 N 处，折痕为 DG（如图 2 乙），此时 E 点恰好落在 AE 边上的点 M 处；第三步：沿直线 DM 折叠（如图 2 丙），此时点 G 恰好与 N 点重合 请你探究：矩形纸片 ABCD 是否是一张标准纸？请说明理由（3）不难发现：将一张标准纸按如图 3 一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸现有一张标准纸 ABCD，AB=1，BC=2，问第 5 次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第 2012 次对开后所得标准纸的周长 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 四折叠后得图形 例 9.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形是（）A矩形 B三角形 C梯形 D菱形 例 10.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开（如图 1）；第二步：再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN（如图 2）请解答以下问题：（1）如图 2，若延长 MN 交 BC 于 P，BMP 是什么三角形？请证明你的结论；（2）在图 2 中，若 AB=a，BC=b，a、b 满足什么关系，才能在矩形纸片 ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片 BMP？（3）设矩形 ABCD 的边 AB=2，BC=4，并建立如图 3所示的直角坐标系设直线 BM为 y=kx，当 M BC=60时，求 k 的值此时，将 ABM沿 BM折叠，点 A 是否落在 EF 上（E、F 分别为 AB、CD 中点），为什么？例 11.如图 1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（）精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 例 12.如图，已知 BC 为等腰三角形纸片 ABC 的底边，AD BC，AD=BC.将此三角形纸片沿 AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.五折叠后得结论 六折叠和剪切的应用 例 15.在一张长 12cm、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC 折出 CAE=DAC，ACF=ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？七以折叠为背景的存在性问题 例 16.已知矩形纸片 OABC 的长为 4，宽为 3，以长 OA 所在的直线为 x 轴，O为坐标原点建 立平面直角坐标系；点 P 是 OA 边上的动点（与点 O、A 不重合），现将 POC 沿 PC 翻折 得到 PEC，再在 AB 边上选取适当的点 D，将 PAD 沿 PD 翻折，得到 PFD，使得 直线 PE、PF 重合（1）若点 E 落在BC 边上，如图，求点 P、C、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点 E 落在矩形纸片 OABC 的内部，如图，设 OP x，AD y，当 x 为何值时，y 取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点 P、C、D 三点的抛物线上是否存在点 Q 使 PDQ 是以 PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 八以折叠为背景的探索题 例 17.已知：矩形纸片 ABCD 中，AB 26cm，BC 18.5cm，点 E 在 AD 上，且AE 6cm，点 P 是 AB 边上一动点，按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点 P与点 E 重合，展开纸片得折痕 MN（如图（1）所示）；步骤二，过点 P 作 PT AB 交 MN 所在的直线于点 Q，连结 QE（如图（2）所示）；（1）无论点 P在 AB 边上任何位置，都有 PQ QE（填“”、“=”、“”号）（2）如图（3）所示，将矩形纸片 ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：当点 P 在 A 点时，PT 与 MN 交于点 Q1，Q1 点的坐标是（，）；当 PA 6cm 时，PT 与 MN 交于点 Q2，Q2 点的坐标是（，）；当 PA 12cm 时，在图（3）中画出 MN，PT（不要求写画法）并求出 MN 与 PT 的交点 Q3 的坐标；（3）点 P 在在运动过程中，PT与 MN 形成一系列的交点 Q1，Q2，Q3观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式 解：、过点 N 作 NR AB，垂足为 R，连接 BB 交 MN 于点 Q 则由折叠知，MBQ 与 MBQ 关于直线 MN对称，MQ BB 在 RNM和 ABB 中，A=MRN=90，ABB+BMQ=RNM+BMN=90 ABB=RNM，又 RN=AB=1，RNM ABB，BB=MN 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除、由可知 MQB BAB，MQB A=BQAB=MBB B，AB=x，则 BB=21 x，BQ=2121 x，代入上式得：BM=21(x2+1)、由得：BM=21(x2+1)CN=BR=BM-MR=21(x2+1)-x=21(x-1)2 MB NC，四边形 MNCB 是梯形，S=2121(x-1)2+21(x2+1)1=21(x2-x+1)由 S=21(x2-x+1)=21(x-21)2+83，故当 x=21时，即 B 落在 AD 的中点处时，梯形面积最小，其最小值为83
